Длина дуги

Определение длины сегмента неправильной дуги путем аппроксимации сегмента дуги в виде соединенных (прямых) отрезков линии также называется выпрямлением кривой. Если спрямление кривой приводит к конечному числу (поэтому кривая имеет конечную длину), то кривая называется спрямляемой . Появление исчисления бесконечно малых привело к общей формуле, которая в некоторых случаях дает решения в замкнутой форме .

Кривая на плоскости может быть аппроксимирована путем соединения конечного числа точек на кривой с использованием (прямых) отрезков для создания многоугольного пути . Поскольку вычислить длину каждого линейного отрезка несложно (например, с помощью теоремы Пифагора в евклидовом пространстве), общую длину аппроксимации можно найти путем суммирования длин каждого линейного отрезка;это приближение известно как (кумулятивное) хордовое расстояние . ^[1]

Если кривая еще не является многоугольным путем, использование все большего числа отрезков линии меньшей длины приведет к лучшим приближениям, и такой метод определения длины кривой называется выпрямлением кривой. Длины последовательных приближений не будут уменьшаться и могут неограниченно возрастать, но для гладких кривых они будут стремиться к конечному пределу по мере того, как длины отрезков становятся сколь угодно малыми .

Для некоторых кривых существует наименьшее число , которое является верхней границей длины всех полигональных аппроксимаций. Эти кривые называются спрямляемыми , а длина дуги определяется числом . ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle L}$

Пусть — инъективная и непрерывно дифференцируемая (т. е. производная — непрерывная функция) функция. Длину кривой можно определить как предел суммы длин линейных сегментов для регулярного разбиения по мере приближения числа сегментов к бесконечности. Это означает ${\ Displaystyle е \ двоеточие [а, б] \ к \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$