Сопряженные функторы

В математике , в частности в теории категорий , присоединение — это отношение, которое может иметь два функтора . Два функтора, которые находятся в этом отношении, известны как присоединенные функторы , один из которых является присоединенным слева , а другой — присоединенным справа . Пары присоединенных функторов широко распространены в математике и часто возникают из конструкций «оптимальных решений» определенных задач (т. е. конструкций объектов, обладающих определенным универсальным свойством ), таких как построение свободной группы на множестве в алгебре или построение стоун - чеховской компактификации топологическое пространство в топологии.

По определению присоединение между категориями и является парой функторов (считается ковариантной ) ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

и для всех объектов в и в биекции между соответствующими множествами морфизмов ${\ Displaystyle Х}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

такое, что это семейство биекций естественно в и . Естественность здесь означает, что существуют естественные изоморфизмы между парой функторов и при фиксированном в , а также между парой функторов и при фиксированном в . ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (F-, X): {\ mathcal {D}} \ to \ mathrm {Set}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (-, GX): {\ mathcal {D}} \ to \ mathrm {Set}}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (FY, -): {\ mathcal {C}} \ to \ mathrm {Set}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (Y, G-): {\ mathcal {C}} \ to \ mathrm {Set}}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

Функтор называется присоединенным слева функтором или присоединенным слева к , а называется присоединенным справа функтором или присоединенным справа к . ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle F}$