Геодезические Шварцшильда

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Введение История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Общая ковариация Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Рама отдыха Кадр с центром импульса Кривизна Геодезический Геон Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантный Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Скорость света Производная по времени Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Пространство конфигурации Государственное пространство Фазовое пространство Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца Замкнутая времениподобная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Преобразование Лоренца Лоренцево многообразие Глобально гиперболическое многообразие Условия причинности Причинная структура Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

В ОТО , Шварцшильд Геодезические описывают движение пробных частиц в гравитационном поле центральной фиксированной массы , которая, движение в метрике Шварцшильда. Шварцшильда геодезическими сыграли ключевую роль в проверке теории Эйнштейна общей теории относительности . Например, они обеспечивают точные предсказания аномальной прецессии планет Солнечной системы и отклонения света под действием силы тяжести.${\ textstyle M,}$

Геодезические Шварцшильда относятся только к движению частиц с массой настолько малой, что они вносят небольшой вклад в гравитационное поле. Однако они очень точны во многих астрофизических сценариях при условии, что они во много раз меньше центральной массы , например, для планет, вращающихся вокруг своего Солнца. Геодезические Шварцшильда также являются хорошим приближением к относительному движению двух тел произвольной массы при условии, что масса Шварцшильда установлена ​​равной сумме двух отдельных масс и . Это важно для предсказания движения двойных звезд в общей теории относительности.${\ textstyle m}$${\ textstyle M}$${\ textstyle M}$${\ textstyle m_ {1}}$${\ textstyle m_ {2}}$

Исторический контекст [ править ]

Метрика Шварцшильда названа в честь ее первооткрывателя Карла Шварцшильда , который нашел решение в 1915 году, всего через месяц после публикации общей теории относительности Эйнштейна. Это было первое точное решение уравнений поля Эйнштейна, отличное от тривиального решения в плоском пространстве .

В 1935 году Юсуке Хагихара опубликовал статью, показывающую, что траектория пробной частицы в метрике Шварцшильда может быть выражена в терминах эллиптических функций . ^[1]

Метрика Шварцшильда [ править ]

Точным решением уравнений поля Эйнштейна является метрика Шварцшильда , которая соответствует внешнему гравитационному полю незаряженного, невращающегося сферически-симметричного тела массы . Решение Шварцшильда можно записать как ^[2]${\ textstyle M}$

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

где

${\displaystyle \tau }$ - собственное время (время, измеренное часами, движущимися вместе с частицей) в секундах,

${\displaystyle c}$является скорость света в метрах в секунду,

${\displaystyle t}$ - координата времени (время, измеренное стационарными часами на бесконечности) в секундах,

${\displaystyle r}$радиальная координата (длина окружности с центром в звезде, деленная на ) в метрах,${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \theta }$это коширота (угол с севера) в радианах,

${\displaystyle \varphi }$является долготой в радианах, и

${\displaystyle r_{s}}$- радиус Шварцшильда массивного тела (в метрах), который связан с его массой соотношением${\textstyle M}$

${\displaystyle r_{\rm {s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

где - гравитационная постоянная . Классическая ньютоновская теория гравитации восстанавливается в пределе, когда отношение стремится к нулю. В этом пределе метрика возвращается к определенной в специальной теории относительности .${\textstyle G}$${\textstyle {\frac {r_{s}}{r}}}$

На практике это соотношение почти всегда крайне мало. Например, радиус Шварцшильда Земли составляет примерно 9 мм ( ³ / ₈  дюйма); на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют лишь одну часть на миллиард. Радиус Солнца по Шварцшильду намного больше, примерно 2953 метра, но на его поверхности это соотношение составляет примерно 4 части на миллион. Белый карлик звезда гораздо плотнее, но даже здесь отношение на ее поверхности составляет около 250 частей на миллион. Отношение становится большим только вблизи сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды (где соотношение составляет примерно 50%) и черные дыры .${\textstyle r_{s}}$${\textstyle {\frac {r_{s}}{r}}}$

Орбиты тестовых частиц [ править ]

Мы можем упростить задачу, используя симметрию, чтобы исключить одну переменную из рассмотрения. Поскольку метрика Шварцшильда симметрична относительно , любая геодезическая, которая начинает движение в этой плоскости, будет оставаться в этой плоскости неопределенно долго (плоскость полностью геодезическая ). Поэтому мы ориентируем систему координат так, чтобы орбита частицы лежала в этой плоскости, и фиксируем координату так, чтобы метрика (этой плоскости) упростилась до${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle \theta }$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}.}$

Можно выделить две константы движения (значения, которые не изменяются в течение определенного времени ) (см. Вывод, приведенный ниже ). Один - это полная энергия :${\displaystyle \tau }$${\textstyle E}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}$

а другой - удельный угловой момент :

${\displaystyle h={\frac {L}{\mu }}=r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }},}$

где L - полный угловой момент двух тел, а - приведенная масса . Когда приведенная масса примерно равна . Иногда предполагается, что . В случае планеты Меркурий это упрощение вносит ошибку, более чем в два раза превышающую релятивистский эффект. При обсуждении геодезических можно считать фиктивными, а главное - константы и . Чтобы охватить все возможные геодезические, нам необходимо рассмотреть случаи, в которых бесконечна (дающая траектории фотонов ) или мнимая (для тахионической${\textstyle \mu }$${\textstyle M\gg m}$${\textstyle m}$${\textstyle m=\mu }$${\textstyle m}$${\textstyle {\frac {E}{m}}}$${\textstyle h}$${\textstyle {\frac {E}{m}}}$геодезические). Для фотонного случая нам также необходимо указать число, соответствующее отношению двух констант, а именно , которое может быть нулем или ненулевым действительным числом.${\textstyle {\frac {mh}{E}}}$

Подставляя эти константы в определение метрики Шварцшильда

${\displaystyle c^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2},}$

дает уравнение движения для радиуса как функции от собственного времени :${\textstyle \tau }$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).}$

Формальным решением этого является

${\displaystyle \tau =\int {\frac {dr}{\pm {\sqrt {{\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right)}}}}.}$

Обратите внимание, что квадратный корень будет мнимым для тахионических геодезических.

Используя отношение выше между и , мы также можем написать${\textstyle {\frac {dt}{d\tau }}}$${\textstyle E}$

${\displaystyle t=\int {\frac {dr}{\pm c\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\sqrt {1-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {m^{2}c^{2}}{E^{2}}}}}}}.}$

Поскольку асимптотически подынтегральная функция обратно пропорциональна , это показывает, что в системе отсчета, если она приближается, она делает это экспоненциально, никогда не достигая ее. Однако, как функция , достигает .${\textstyle r-r_{\rm {s}}}$${\textstyle r,\theta ,\varphi ,t}$${\textstyle r}$${\textstyle r_{s}}$${\textstyle \tau }$${\textstyle r}$${\textstyle r_{s}}$

Вышеупомянутые решения действительны, пока подынтегральное выражение конечно, но полное решение может включать две или бесконечное количество частей, каждая из которых описывается интегралом, но с чередующимися знаками для квадратного корня.

Когда и , мы можем решить для и явно:${\textstyle E=mc^{2}}$${\textstyle h=0}$${\textstyle t}$${\textstyle \tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&={\text{constant}}\pm {\frac {r_{\rm {s}}}{c}}\left({\frac {2}{3}}\left({\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)^{\frac {3}{2}}+2{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}+\ln {\frac {\left|{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}-1\right|}{{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}+1}}\right)\\\tau &={\text{constant}}\pm {\frac {2}{3}}{\frac {r_{\rm {s}}}{c}}\left({\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)^{\frac {3}{2}}\end{aligned}}}$

а для фотонных геодезических ( ) с нулевым угловым моментом${\textstyle m=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&={\text{constant}}\pm {\frac {1}{c}}\left(r+r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right|\right)\\\tau &={\text{constant}}.\end{aligned}}}$

(Хотя собственное время тривиально в фотонном случае, можно определить аффинный параметр , и тогда решение геодезического уравнения будет .) ${\textstyle \lambda }$${\textstyle r=c_{1}\lambda +c_{2}}$

Другой разрешимый случай - это случай, когда и и постоянны. В том объеме, где это дает в свое время${\textstyle E=0}$${\textstyle t}$${\textstyle \varphi }$${\textstyle r<r_{s}}$

${\displaystyle \tau ={\text{constant}}\pm {\frac {r_{\rm {s}}}{c}}\left(\arcsin {\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}-{\sqrt {{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\left(1-{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)}}\right).}$

Это близко к решениям с маленьким и позитивным. Вне в растворе тахионная и «надлежащее время» пространственноподобно:${\textstyle {\frac {E^{2}}{m^{2}}}}$${\textstyle r_{s}}$${\textstyle E=0}$

${\displaystyle \tau ={\text{constant}}\pm i{\frac {r_{\rm {s}}}{c}}\left(\ln \left({\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}+{\sqrt {{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1}}\right)+{\sqrt {{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\left({\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right)}}\right).}$

Это близко к другим тахионным решениям с малым и отрицательным. Постоянная тахионная геодезическая снаружи не продолжается постоянной геодезической внутри , а, скорее, продолжается в «параллельную внешнюю область» (см. Координаты Крускала – Секереса ). Другие тахионические решения могут входить в черную дыру и повторно выходить в параллельную внешнюю область. Решение с постоянным t внутри горизонта событий ( ) продолжается решением с постоянным t в белой дыре .${\textstyle {\frac {E^{2}}{m^{2}}}}$${\textstyle t}$${\textstyle r_{s}}$${\textstyle t}$${\textstyle r_{s}}$${\textstyle r_{s}}$

Когда угловой момент не равен нулю, мы можем заменить зависимость от собственного времени зависимостью от угла, используя определение${\textstyle \varphi }$${\textstyle h}$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {r^{2}}{h}}\right)^{2},}$

что дает уравнение для орбиты

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

где для краткости две шкалы длины и определены как${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {h}{c}},\\b&={\frac {cL}{E}}={\frac {hmc}{E}}.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что в случае тахионов они будут воображаемыми и реальными или бесконечными.${\textstyle a}$${\textstyle b}$

Это же уравнение может быть получено с использованием лагранжевого подхода ^[3] или уравнения Гамильтона – Якоби ^[4] (см. Ниже ). Решение уравнения орбиты:

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{\pm r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}}}.}$

Это можно выразить через эллиптическую функцию Вейерштрасса . ^[5]${\textstyle \wp }$

Локальные и задержанные скорости [ править ]

В отличие от классической механики, в координатах Шварцшильда и не являются радиальными и поперечными компонентами локальной скорости (относительно неподвижного наблюдателя), вместо этого они дают компоненты скорости, которые связаны с${\textstyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\tau }}}$${\textstyle r\ {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}\tau }}}$${\textstyle v_{\parallel }}$${\textstyle v_{\perp }}$ ${\textstyle v}$${\textstyle v}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\tau }}=v_{\parallel }{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\ \gamma }$

для радиального и

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}\tau }}={\frac {v_{\perp }}{r}}\ \gamma }$

для поперечной составляющей движения, с . Координатор вдали от места происшествия наблюдает скорость , запаздывающую по Шапиро , которая определяется соотношением${\textstyle v^{2}=v_{\parallel }^{2}+v_{\perp }^{2}}$${\textstyle {\hat {v}}}$

${\displaystyle {\hat {v}}_{\perp }=v_{\perp }{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}}$и .${\displaystyle {\hat {v}}_{\parallel }=v_{\parallel }\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)}$

Коэффициент замедления времени между бухгалтером и движущейся тестовой частицей также можно представить в виде

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\tau }{{\rm {d}}t}}={\frac {\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}{\gamma }}}$

где числитель - гравитационный, а знаменатель - кинематическая составляющая замедления времени. Для частицы, падающей с бесконечности, левый множитель равен правому множителю, поскольку в этом случае скорость падения совпадает со скоростью убегания .${\textstyle v}$${\textstyle c{\sqrt {\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}$

Две постоянные угловой момент и полная энергия пробной частицы с массой выражаются в терминах${\textstyle L}$${\textstyle E}$${\textstyle m}$${\textstyle v}$

${\displaystyle L=m\ v_{\perp }\ r\ \gamma }$

и

${\displaystyle E=mc^{2}\ {\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\ \gamma }$

где

${\displaystyle E=E_{\rm {rest}}+E_{\rm {kin}}+E_{\rm {pot}}}$

и

${\displaystyle E_{\rm {rest}}=mc^{2}\ ,\ \ E_{\rm {kin}}=(\gamma -1)mc^{2}\ ,\ \ E_{\rm {pot}}=\left({\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}-1\right)\ \gamma \ mc^{2}}$

Для массивных тестовых частиц это фактор Лоренца и собственное время, в то время как для безмассовых частиц, таких как фотоны , устанавливается и играет роль аффинного параметра. Если частица безмассовая , заменяется на и на , где - постоянная Планка и локально наблюдаемая частота.${\textstyle \gamma }$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$${\textstyle \tau }$${\textstyle \gamma }$${\textstyle 1}$${\textstyle \tau }$${\textstyle E_{\rm {rest}}}$${\textstyle E_{\rm {kin}}}$${\textstyle mc^{2}}$${\textstyle hf}$${\textstyle h}$${\textstyle f}$

Точное решение с использованием эллиптических функций [ править ]

Основное уравнение орбиты легче решить ^{[примечание 1],} если оно выражено через обратный радиус${\textstyle u={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-ur_{\rm {s}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+u^{2}\right)}$

Правая часть этого уравнения представляет собой кубический многочлен , имеющий три корня , которые здесь обозначены как u ₁ , u ₂ и u _3.

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}=r_{\rm {s}}\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{2}\right)\left(u-u_{3}\right)}$

Сумма трех корней равна коэффициенту члена u ²

${\displaystyle u_{1}+u_{2}+u_{3}={\frac {1}{r_{\rm {s}}}}}$

Кубический многочлен с действительными коэффициентами может иметь либо три действительных корня, либо один действительный корень и два комплексно сопряженных корня. Если все три корня являются действительными числами , корни помечаются так, что u ₁ < u ₂ < u ₃ . Если вместо этого существует только один реальный корень, то он обозначается как u ₃ ; комплексно сопряженные корни помечены как u ₁ и u ₂ . Используя правило знаков Декарта , может быть не более одного отрицательного корня; u ₁ отрицательно тогда и только тогда, когда b < a. Как обсуждается ниже, корни полезны при определении типов возможных орбит.

Учитывая такую ​​разметку корней, решение фундаментального уравнения орбиты имеет вид

${\displaystyle u=u_{1}+\left(u_{2}-u_{1}\right)\,\mathrm {sn} ^{2}\left({\frac {1}{2}}\varphi {\sqrt {r_{\rm {s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}+\delta \right)}$

где sn представляет собой синусоидальную функцию амплитуды (одна из эллиптических функций Якоби ), а δ - постоянная интегрирования, отражающая начальное положение. Эллиптический модуль к этой эллиптической функции задается формулой

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{3}-u_{1}}}}}$

Ньютоновский предел [ править ]

Чтобы восстановить ньютоновское решение для планетных орбит, нужно взять предел, когда радиус Шварцшильда r _s стремится к нулю. В этом случае третий корень u ₃ становится примерно и намного больше, чем u ₁ или u ₂ . Следовательно, модуль k стремится к нулю; в этом пределе sn становится тригонометрической синусоидальной функцией${\textstyle {\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$

${\displaystyle u=u_{1}+\left(u_{2}-u_{1}\right)\,\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\varphi +\delta \right)}$

В соответствии с решениями Ньютона для движения планет, эта формула описывает фокальную конику эксцентриситета e

${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$

Если u ₁ - положительное действительное число, то орбита представляет собой эллипс, где u ₁ и u ₂ представляют собой расстояние наиболее удаленного и наиболее близкого сближения, соответственно. Если u ₁ равно нулю или отрицательному действительному числу, орбита является параболой или гиперболой соответственно. В последних двух случаях u ₂ представляет собой расстояние наибольшего сближения; поскольку орбита уходит в бесконечность ( u = 0), дальнего сближения нет.

Корни и обзор возможных орбит [ править ]

Корень представляет собой точку орбиты, где производная обращается в нуль, т. Е. Где . В такой поворотной точке u достигает максимума, минимума или точки перегиба, в зависимости от значения второй производной, которая определяется формулой${\textstyle {\frac {du}{d\phi }}=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\left[\left(u-u_{2}\right)\left(u-u_{3}\right)+\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{3}\right)+\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{2}\right)\right]}$

Если все три корня являются различными действительными числами, вторая производная будет положительной, отрицательной и положительной в u ₁ , u ₂ и u ₃ соответственно. Отсюда следует, что график зависимости u от φ может колебаться между u ₁ и u ₂ , или он может удаляться от u _{3 в} сторону бесконечности (что соответствует стремлению r к нулю). Если u ₁отрицательно, фактически произойдет только часть «колебания». Это соответствует частице, исходящей из бесконечности, приближающейся к центральной массе, а затем снова удаляющейся к бесконечности, подобно гиперболической траектории в классическом решении.

Если частица обладает достаточным количеством энергии для ее углового момента, u ₂ и u ₃ сольются. В этом случае есть три решения. Орбита может закручиваться по спирали , приближаясь к этому радиусу (асимптотически) как убывающая экспонента от φ, τ или t . Или можно иметь круговую орбиту с этим радиусом. Или можно иметь орбиту, которая движется по спирали от этого радиуса к центральной точке. Рассматриваемый радиус называется внутренним радиусом и составляет от 3 до 3 раз больше r _s . Круговая орбита также получается, когда u ₂ равно u _1.${\textstyle r={\frac {1}{u_{2}}}={\frac {1}{u_{3}}}}$${\textstyle {\frac {3}{2}}}$, и это называется внешним радиусом. Эти различные типы орбит обсуждаются ниже.

Если частица попадает в центральную массу с достаточной энергией и достаточно низким угловым моментом, тогда действительным будет только u ₁ . Это соответствует падению частицы в черную дыру. Орбита закручивается по спирали с конечным изменением φ.

Прецессия орбит [ править ]

Функция sn и ее квадрат sn ² имеют периоды 4 К и 2 К соответственно, где К определяется уравнением ^{[примечание 2]}

${\displaystyle K=\int _{0}^{1}{\frac {dy}{\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-k^{2}y^{2}\right)}}}}$

Следовательно, изменение φ за одно колебание u (или, что то же самое, за одно колебание r ) равно ^[6]

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {4K}{\sqrt {r_{\text{s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}}}$

В классическом пределе u ₃ приближается и намного больше, чем u ₁ или u ₂ . Следовательно, k ² приблизительно равно${\textstyle {\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$

${\displaystyle k^{2}={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{3}-u_{1}}}\approx r_{\text{s}}\left(u_{2}-u_{1}\right)\ll 1}$

По тем же причинам знаменатель Δφ приблизительно равен

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r_{\text{s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-r_{\text{s}}\left(2u_{1}+u_{2}\right)}}}\approx 1+{\frac {1}{2}}r_{\text{s}}\left(2u_{1}+u_{2}\right)}$

Поскольку модуль k близок к нулю, период K можно разложить по k ; до самого низкого порядка это разложение дает

${\displaystyle K\approx \int _{0}^{1}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}\left(1+{\frac {1}{2}}k^{2}y^{2}\right)={\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {k^{2}}{4}}\right)}$

Подставляя эти приближения в формулу для Δφ, получаем формулу для углового продвижения на радиальное колебание

${\displaystyle \delta \varphi =\Delta \varphi -2\pi \approx {\frac {3}{2}}\pi r_{\text{s}}\left(u_{1}+u_{2}\right)}$

Для эллиптической орбиты u ₁ и u ₂ представляют собой инверсии наибольшего и наименьшего расстояний соответственно. Их можно выразить через большую полуось эллипса A и его орбитальный эксцентриситет e ,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{max}}&={\frac {1}{u_{1}}}=A(1+e)\\r_{\text{min}}&={\frac {1}{u_{2}}}=A(1-e)\end{aligned}}}$

давая

${\displaystyle u_{1}+u_{2}={\frac {2}{A\left(1-e^{2}\right)}}}$

Подстановка определения r _s дает окончательное уравнение

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

Искривление света силой тяжести [ править ]

В пределе, когда масса частицы m стремится к нулю (или, что то же самое, если свет направляется прямо к центральной массе, поскольку масштаб длины a стремится к бесконечности), уравнение для орбиты принимает вид

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}}$

Разлагаясь по степеням , член в главном порядке в этой формуле дает приблизительное угловое отклонение δ φ для безмассовой частицы, входящей из бесконечности и уходящей обратно в бесконечность:${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {2r_{\rm {s}}}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}.}$

Здесь b - прицельный параметр, несколько превышающий расстояние максимального сближения, r ₃ : ^[7]

${\displaystyle b=r_{3}{\sqrt {\frac {r_{3}}{r_{3}-r_{\rm {s}}}}}}$

Хотя эта формула является приблизительной, она точна для большинства измерений гравитационного линзирования из-за малости отношения . Для света, скользящего по поверхности солнца, приблизительное угловое отклонение составляет примерно 1,75  угловой секунды , что составляет примерно одну миллионную часть круга.${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

Отношение к ньютоновской физике [ править ]

Эффективная радиальная потенциальная энергия [ править ]

Уравнение движения частицы, полученное выше

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{\rm {s}}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m\mu r^{2}}}+{\frac {r_{\rm {s}}L^{2}}{m\mu r^{3}}}}$

можно переписать, используя определение радиуса Шварцшильда r _s как

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}},}$

что эквивалентно движению частицы в одномерном эффективном потенциале

${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$

Первые два члена представляют собой хорошо известные классические энергии, первое - это притягивающая ньютоновская гравитационная потенциальная энергия, а второе - отталкивающая «центробежная» потенциальная энергия ; однако третий член - это привлекательная энергия, уникальная для общей теории относительности . Как показано ниже и в других местах , эта обратнокубическая энергия заставляет эллиптические орбиты постепенно прецессировать на угол δφ за оборот.

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

где A - большая полуось, а e - эксцентриситет.

Третий член является привлекательным и доминирует при малых значениях r , давая критический внутренний радиус r _inner, при котором частица неумолимо втягивается внутрь до r = 0; этот внутренний радиус является функцией углового момента частицы на единицу массы или, что эквивалентно, длины шкалы , определенной выше.

Круговые орбиты и их устойчивость [ править ]

Эффективный радиальный потенциал для различных угловых моментов. На малых радиусах энергия стремительно падает, заставляя частицу неумолимо тянуться внутрь до r = 0. Однако, когда нормализованный угловой момент равен квадратному корню из трех, метастабильная круговая орбита возможна на радиусе, выделенном зеленым кружком. . При более высоких угловых моментах наблюдается значительный центробежный барьер (оранжевая кривая) и нестабильный внутренний радиус, выделенный красным.${\textstyle {\frac {a}{r_{\text{s}}}}={\frac {L}{mcr_{\text{s}}}}}$

Эффективный потенциал V можно переписать через длину .${\textstyle a={\frac {h}{c}}}$

${\displaystyle V(r)={\frac {\mu c^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{\rm {s}}a^{2}}{r^{3}}}\right]}$

Круговые орбиты возможны, когда эффективная сила равна нулю.

${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {\mu c^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{\rm {s}}r^{2}-2a^{2}r+3r_{\rm {s}}a^{2}\right]=0}$

то есть, когда две силы притяжения - ньютоновская гравитация (первый член) и притяжение, уникальное для общей теории относительности (третий член) - точно уравновешены отталкивающей центробежной силой (второй член). Есть два радиуса, на которых может происходить эта балансировка, обозначенные здесь как r _{внутренний} и r _{внешний.}

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&={\frac {a^{2}}{r_{\rm {s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{a^{2}}}}}\right)\\[3pt]r_{\text{inner}}&={\frac {a^{2}}{r_{\rm {s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\text{outer}}}}\end{aligned}}}$

которые получаются по формуле корней квадратного уравнения . Внутренний радиус r _inner нестабилен, потому что третья сила притяжения усиливается намного быстрее, чем две другие силы, когда r становится малым; если частица немного скользит внутрь от r _inner (где все три силы уравновешены), третья сила доминирует над двумя другими и неумолимо втягивает частицу внутрь до r = 0. Однако на внешнем радиусе круговые орбиты устойчивы; третий член менее важен, и система ведет себя больше как нерелятивистская проблема Кеплера .

Когда a много больше r _s (классический случай), эти формулы становятся приближенно

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&\approx {\frac {2a^{2}}{r_{\rm {s}}}}\\[3pt]r_{\text{inner}}&\approx {\frac {3}{2}}r_{\rm {s}}\end{aligned}}}$

График зависимости стабильного и нестабильного радиусов от нормированного углового момента выполнен синим и красным цветом соответственно. Эти кривые встречаются на уникальной круговой орбите (зеленый кружок), когда нормализованный угловой момент равен квадратному корню из трех. Для сравнения, классический радиус, предсказанный на основе центростремительного ускорения и закона всемирного тяготения Ньютона, показан черным цветом.${\textstyle {\frac {a}{r_{\text{s}}}}={\frac {L}{mcr_{\text{s}}}}}$

Подставляя определения и т _ы в г _{внешних} выходов классическую формулу для частицы массы т орбитального тела массы M .

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }^{3}={\frac {G(M+m)}{\omega _{\varphi }^{2}}}}$

где ω _φ - орбитальная угловая скорость частицы. Эта формула получается в нерелятивистской механике, устанавливая центробежную силу равной ньютоновской силе тяготения:

${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega _{\varphi }^{2}r}$

Там , где это приведенная масса .${\textstyle \mu }$

В наших обозначениях классическая орбитальная угловая скорость равна

${\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{\rm {s}}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{\rm {s}}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{\rm {s}}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{\rm {s}}^{4}}{16a^{6}}}}$

В другом крайнем случае , когда ² приближается к 3 г _с ² сверху, два радиуса сходятся к одному значению

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{\rm {s}}}$

Эти квадратичные решения выше того , чтобы г _{наружный} всегда больше , чем 3 г _с , в то время как г _{внутренних} лежит между ³ / ₂  г _с и 3 г _с . Круговые орбиты меньше , чем ³ / ₂  г _с не представляется возможным. Для частиц безмассовых, стремится к бесконечности, что подразумевает , что существует круговая орбита для фотонов при г _{внутренние} = ³ / ₂ г _сек . Сфера этого радиуса иногда называется фотонная сфера .

Прецессия эллиптических орбит [ править ]

Орбитальное скорость прецессии может быть получено с помощью этого радиального эффективного потенциала V . Небольшое радиальное отклонение от круговой орбиты радиуса r _{внешний} будет стабильно колебаться с угловой частотой.

${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}}$

что равно

${\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{\rm {s}}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{a^{2}}}}}}$

Извлечение квадратного корня из обеих частей и выполнение разложения в ряд Тейлора дает

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left[1-{\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{4a^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {r_{\rm {s}}^{4}}{a^{4}}}\right)\right]}$

Умножение на период T одного оборота дает прецессию орбиты за оборот

${\displaystyle \delta \varphi =T\left(\omega _{\varphi }-\omega _{r}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{\rm {s}}^{2}}$

где мы использовали ω _φ T = 2 п и определение масштаба a . Подставляя определение радиуса Шварцшильда r _s, получаем

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$

Это можно упростить, используя полуось A эллиптической орбиты и эксцентриситет e, связанные формулой

${\displaystyle {\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=A\left(1-e^{2}\right)}$

дать угол прецессии

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

Математические выводы орбитального уравнения [ править ]

Символы Кристоффеля [ править ]

Нетривиальность символы Кристоффеля для Шварцшильда-метрики: ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{rt}^{t}=-\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {r_{\rm {s}}}{2r(r-r_{\rm {s}})}}\\[3pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {r_{\rm {s}}(r-r_{\rm {s}})}{2r^{3}}}\\[3pt]\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=(r_{\rm {s}}-r)\sin ^{2}(\theta )\\[3pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=r_{\rm {s}}-r\\[3pt]\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{r\phi }^{\phi }&={\frac {1}{r}}\\[3pt]\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=-\sin(\theta )\cos(\theta )\\[3pt]\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=\cot(\theta )\end{aligned}}}$

Геодезическое уравнение [ править ]

Согласно общей теории относительности Эйнштейна, частицы незначительной массы перемещаются по геодезическим в пространстве-времени. В плоском пространстве-времени, вдали от источника гравитации, эти геодезические соответствуют прямым линиям; однако они могут отклоняться от прямых линий, когда пространство-время искривлено. Уравнение для геодезических линий имеет вид ^[9]

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=0}$

где Γ представляет собой символ Кристоффеля, а переменная параметризует путь частицы в пространстве-времени , ее так называемую мировую линию . Символ Кристоффеля зависит только от метрического тензора или, скорее, от того, как он изменяется с положением. Переменная является постоянной кратной собственному времени для времениподобных орбит (по которым движутся массивные частицы) и обычно принимается равной ей. Для светоподобных (или нулевых) орбит (которые перемещаются безмассовыми частицами, такими как фотон ) собственное время равно нулю и, строго говоря, не может использоваться в качестве переменной . Тем не менее светоподобные орбиты могут быть получены как${\textstyle q}$ ${\textstyle g_{\mu \nu }}$${\textstyle q}$ ${\textstyle \tau }$${\textstyle q}$ультрарелятивистский предел времениподобных орбит, то есть предел, при котором масса частицы m стремится к нулю, сохраняя при этом ее полную энергию фиксированной.

Таким образом, для определения движения частицы наиболее простым способом является решение уравнения геодезических, подход, принятый Эйнштейном ^[10] и другими. ^[11] Метрику Шварцшильда можно записать как

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=w(r)c^{2}dt^{2}-v(r)dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$

где две функции и их обратная величина определены для краткости. По этой метрике можно вычислить символы Кристоффеля и подставить результаты в уравнения геодезических${\textstyle w(r)=1-{\frac {r_{s}}{r}}}$${\textstyle v(r)={\frac {1}{w(r)}}}$${\textstyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d^{2}\theta }{dq^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\theta }{dq}}{\frac {dr}{dq}}-\sin \theta \cos \theta \left({\frac {d\phi }{dq}}\right)^{2}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}\phi }{dq^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\phi }{dq}}{\frac {dr}{dq}}+2\cot \theta {\frac {d\phi }{dq}}{\frac {d\theta }{dq}}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}t}{dq^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {dw}{dr}}{\frac {dt}{dq}}{\frac {dr}{dq}}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}r}{dq^{2}}}+{\frac {1}{2v}}{\frac {dv}{dr}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-{\frac {r}{v}}\left({\frac {d\theta }{dq}}\right)^{2}-{\frac {r\sin ^{2}\theta }{v}}\left({\frac {d\phi }{dq}}\right)^{2}+{\frac {c^{2}}{2v}}{\frac {dw}{dr}}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Можно проверить, что это верное решение, подставив в первое из этих четырех уравнений. По симметрии орбита должна быть плоской, и мы можем расположить систему координат так, чтобы экваториальная плоскость была плоскостью орбиты. Это решение упрощает второе и четвертое уравнения.${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle \theta }$

Для решения второго и третьего уравнений достаточно разделить их на и соответственно.${\textstyle {\frac {d\phi }{dq}}}$${\textstyle {\frac {dt}{dq}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dq}}\left[\ln {\frac {d\phi }{dq}}+\ln r^{2}\right]\\[3pt]0&={\frac {d}{dq}}\left[\ln {\frac {dt}{dq}}+\ln w\right],\end{aligned}}}$

что дает две постоянные движения.

Лагранжев подход [ править ]

Поскольку пробные частицы следуют геодезическим в фиксированной метрике, орбиты этих частиц могут быть определены с использованием вариационного исчисления, также называемого лагранжевым подходом. ^[12] Геодезические в пространстве-времени определяются как кривые, для которых небольшие локальные изменения их координат (при фиксированных конечных точках событий) не приводят к значительным изменениям в их общей длине s . Это можно выразить математически, используя вариационное исчисление.

${\displaystyle 0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau }$

где τ - собственное время , s = cτ - длина дуги в пространстве-времени, а T определяется как

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2}}$

по аналогии с кинетической энергией . Если производная по собственному времени представлена ​​точкой для краткости

${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$

T можно записать как

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}}$

Постоянные множители (такие как c или квадратный корень из двух) не влияют на ответ на вариационную задачу; следовательно, если взять вариацию внутрь интеграла, то получим принцип Гамильтона

${\displaystyle 0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .}$

Решение вариационной задачи дается уравнениями Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.}$

Применительно к t и φ эти уравнения обнаруживают две постоянные движения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]&=0,\\{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]&=0,\end{aligned}}}$

который может быть выражен двумя постоянными масштабами длины, и${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}&=ac,\\\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}&={\frac {a}{b}}.\end{aligned}}}$

Как показано выше , подстановка этих уравнений в определение метрики Шварцшильда дает уравнение для орбиты.

Гамильтонов подход [ править ]

Лагранжево решение может быть преобразовано в эквивалентную гамильтонову форму. ^[13] В этом случае гамильтониан определяется выражением${\displaystyle H}$

${\displaystyle 2H=c^{2}={\frac {p_{t}^{2}}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)p_{r}^{2}-{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}-{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

И снова орбита может быть ограничена симметрией. Поскольку и не входят в гамильтониан, их сопряженные импульсы постоянны; они могут быть выражены в терминах скорости света и двух постоянных масштабов длины и${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle t}$${\textstyle \varphi }$${\textstyle c}$${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\varphi }&=-ac\\p_{\theta }&=0\\p_{t}&={\frac {ac^{2}}{b}}\end{aligned}}}$

Производные по собственному времени даются формулами

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dr}{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}=-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)p_{r}\\{\frac {d\varphi }{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {-p_{\varphi }}{r^{2}}}={\frac {ac}{r^{2}}}\\{\frac {dt}{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{t}}}={\frac {p_{t}}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)}}={\frac {a}{b\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)}}\end{aligned}}}$

Разделив первое уравнение на второе, получим уравнение орбиты

${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}=-{\frac {r^{2}}{ac}}\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)p_{r}}$

Радиальный импульс p _r можно выразить через r, используя постоянство гамильтониана ; это дает фундаментальное орбитальное уравнение${\textstyle H={\frac {c^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

Подход Гамильтона – Якоби [ править ]

Орбитальное уравнение может быть получено из уравнения Гамильтона – Якоби . ^[14] Преимущество этого подхода состоит в том, что он приравнивает движение частицы к распространению волны и аккуратно приводит к выводу отклонения света гравитацией в общей теории относительности через принцип Ферма . Основная идея состоит в том, что из-за гравитационного замедления времени части волнового фронта, более близкие к гравитирующей массе, движутся медленнее, чем те, которые находятся дальше, таким образом изменяя направление распространения волнового фронта.

Используя общую ковариантность, уравнение Гамильтона – Якоби для отдельной частицы единичной массы может быть выражено в произвольных координатах как

${\displaystyle g^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=c^{2}.}$