Длина капилляра

Длина капилляра будет разной для разных жидкостей и разных условий. Вот изображение капли воды на листе лотоса. Если температура 20 ^o, то = 2,71 мм${\ displaystyle \ lambda _ {c}}$

Длина капилляра или постоянная капилляра - это масштабный коэффициент длины, который связывает силу тяжести и поверхностное натяжение . Это фундаментальное физическое свойство, которое определяет поведение менисков, и обнаруживается, когда объемные силы (гравитация) и поверхностные силы ( давление Лапласа ) находятся в равновесии.

Давление статической жидкости не зависит от формы, общей массы или площади поверхности жидкости. Он прямо пропорционален удельному весу жидкости - силе тяжести в определенном объеме и ее вертикальной высоте. Однако жидкость также испытывает давление, вызванное поверхностным натяжением, обычно называемое давлением Юнга-Лапласа . ^[1] Поверхностное натяжение возникает из-за сил сцепления между молекулами и в объемежидкости молекулы испытывают силы притяжения со всех сторон. Поверхность жидкости искривлена, потому что открытые молекулы на поверхности имеют меньше взаимодействий с соседями, что приводит к результирующей силе, которая сжимает поверхность. По обе стороны от этой кривизны существует перепад давления, и когда это уравновешивает давление из-за силы тяжести, можно перестроиться, чтобы найти длину капилляра. ^[2]

В случае границы раздела жидкость-жидкость, например капли воды, погруженной в другую жидкость, длина капилляра обозначается или чаще всего определяется формулой${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {c}}}$${\ displaystyle l _ {\ rm {c}}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {c}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma} {\ Delta \ rho g}}}}$,

где - поверхностное натяжение границы раздела жидкостей, - ускорение свободного падения и - разность массовых плотностей жидкостей. Длина капилляра иногда обозначается относительно математического обозначения кривизны . Термин капиллярная постоянная несколько вводит в заблуждение, потому что важно понимать, что${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ Delta \ rho}$${\ Displaystyle \ каппа ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {c}}}$представляет собой композицию переменных величин, например, значение поверхностного натяжения будет изменяться с температурой, а разница плотностей будет меняться в зависимости от жидкостей, участвующих в межфазном взаимодействии. Однако, если эти условия известны, длину капилляра можно считать постоянной для любой данной жидкости и использовать в многочисленных задачах механики жидкости для масштабирования полученных уравнений так, чтобы они были действительными для любой жидкости. ^[3] Для молекулярных жидкостей межфазное натяжение и разница плотностей обычно порядка мН · м ^-1 и г · мл ^-1 соответственно, что приводит к длине капилляра в мм для воды и воздуха при комнатной температуре на Земле. ^[4]${\ displaystyle 10-100}$${\ displaystyle 0.1-1}$${\ displaystyle \ sim 3}$С другой стороны, для воды и воздуха на Луне длина капилляра будет равна миллиметрам. Для мыльного пузыря поверхностное натяжение нужно разделить на среднюю толщину, в результате чего длина капилляра в воздухе составит около метров! ^[5] Уравнение для также может быть найдено с дополнительным членом, наиболее часто используемым при нормализации высоты капилляра. ^[6]${\ displaystyle {\ lambda \ scriptscriptstyle c} = 6,68}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {c}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Происхождение [ править ]

Теоретический [ править ]

Один из способов теоретически определить длину капилляра - представить каплю жидкости в точке, где поверхностное натяжение уравновешивает силу тяжести.

Рассмотрим сферическую каплю с радиусом ,${\ displaystyle \ lambda _ {c}}$

Характерное давление Лапласа , обусловленное поверхностным натяжением, равно${\ displaystyle P _ {\ gamma}}$

${\ displaystyle P _ {\ gamma} = 2 {\ frac {\ gamma} {\ lambda _ {\ rm {c}}}}}$,

где - поверхностное натяжение. Давление под действием силы тяжести (гидростатическое давление) столба жидкости определяется${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle P _ {\ rm {h}}}$

${\displaystyle P_{\rm {h}}=\rho gh=2\rho g\lambda _{\rm {c}}}$,

где - плотность капли, ускорение свободного падения, - высота капли.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle g}$${\displaystyle h=2\lambda _{\rm {c}}}$

В точке, где давление Лапласа уравновешивает давление из-за силы тяжести , мы получаем, что${\displaystyle P_{\rm {h}}=P_{\gamma }}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}}}$.

Связь с числом Этвёша [ править ]

Мы можем использовать приведенный выше вывод, имея дело с числом Этвёша , безразмерной величиной, которая представляет собой соотношение между силами плавучести и поверхностным натяжением жидкости. Несмотря на то, что он был представлен Лорандом Этвешем в 1886 году, с тех пор он в значительной степени отделился от него, будучи замененным Уилфридом Ноэлем Бондом , так что теперь это число называется числом Бонда в недавней литературе.

Число Бонда можно записать так, чтобы оно включало характеристическую длину - обычно радиус кривизны жидкости и длину капилляра ^[7].

${\displaystyle \mathrm {Bo} ={\frac {\Delta \rho \,g\,L^{2}}{\gamma }}}$,

с параметрами, определенными выше, и радиусом кривизны.${\displaystyle L}$

Поэтому мы можем записать номер облигации как

${\displaystyle \mathrm {Bo} =\left({\frac {L}{\lambda _{\rm {c}}}}\right)^{2}}$,

с длиной капилляра.${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}}$

Если номер связи установлен на 1, то характеристическая длина - это длина капилляра.

Экспериментальный [ править ]

Длину капилляра также можно определить, манипулируя множеством различных физических явлений. Один из методов - сосредоточиться на капиллярном действии , т. Е. На притяжении поверхности жидкости к окружающему твердому телу. ^[8]

Связь с законом Джурина [ править ]

Закон Журина - это количественный закон, который показывает, что максимальная высота, которой может достичь жидкость в капиллярной трубке, обратно пропорциональна диаметру трубки. Этот закон можно проиллюстрировать математически во время капиллярного подъема, который представляет собой традиционный эксперимент по измерению высоты жидкости в капиллярной трубке. Когда капиллярная трубка вводится в жидкость, жидкость будет подниматься или опускаться в трубке из-за дисбаланса давления. Характерная высота - это расстояние от дна мениска до основания, и существует, когда давление Лапласа и давление силы тяжести уравновешены. Можно перестроить, чтобы показать длину капилляра как функцию поверхностного натяжения и силы тяжести.

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr}{2\cos \theta }}}$,

с высотой жидкости, радиусом капиллярной трубки, и на угле контакта .${\displaystyle h}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$

Краевой угол определяется как угол, образованный пересечением границы раздела жидкость-твердое тело и границы раздела жидкость-пар. ^[2] Размер угла определяет смачиваемость жидкости, то есть взаимодействие между жидкостью и твердой поверхностью. Здесь мы рассмотрим угол контакта идеального смачивания.${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr}{2}}}$.

Таким образом, образует циклическое трехфакторное уравнение с .${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}}$${\displaystyle r,h}$

Это свойство обычно используется физиками для оценки высоты, на которую жидкость поднимется в определенной капиллярной трубке с известным радиусом, без необходимости проведения эксперимента. Когда характерная высота жидкости значительно меньше длины капилляра, тогда влиянием гидростатического давления из-за силы тяжести можно пренебречь. ^[9]

Используя те же предположения о подъеме капилляров, можно найти длину капилляра как функцию увеличения объема и периметра смачивания стенок капилляра. ^[10]

Ассоциация с сидячей каплей [ править ]

Другой способ найти длину капилляра - использовать различные точки давления внутри неподвижной капли , каждая из которых имеет радиус кривизны, и приравнять их к уравнению давления Лапласа. На этот раз уравнение решается для высоты уровня мениска, которую снова можно использовать для определения длины капилляра.

Форма сидящей капли прямо пропорциональна тому, больше или меньше радиус капилляра. Микрокапли - это капли с радиусом меньше длины капилляра, и их форма определяется исключительно поверхностным натяжением, образуя форму сферической крышки. Если капля имеет радиус больше, чем длина капилляра, они известны как макрокапли, и силы тяжести будут преобладать. Макрокапли будут «сплющены» под действием силы тяжести, а высота капли уменьшится. ^[11]

История [ править ]

Исследования капиллярности восходят к Леонардо да Винчи , однако идея длины капилляров не была развита намного позже. По сути, длина капилляров - результат работы Томаса Янга и Пьера Лапласа . Они оба понимали, что поверхностное натяжение возникает из-за сил сцепления между частицами и что форма поверхности жидкости отражает короткий диапазон этих сил. На рубеже XIX и XIX веков они самостоятельно извлекали давлениеуравнения, но из-за обозначений и представления, Лаплас часто получает признание. Уравнение показало, что давление внутри изогнутой поверхности между двумя статическими жидкостями всегда больше, чем за пределами изогнутой поверхности, но давление будет уменьшаться до нуля по мере приближения радиуса к бесконечности. Поскольку сила перпендикулярна поверхности и действует по направлению к центру кривизны, жидкость будет подниматься, когда поверхность вогнута, и понижаться, когда она выпуклая. ^[12] Это было математическое объяснение работы, опубликованной Джеймсом Юрином в 1719 году ^{[13], в} которой он количественно определил зависимость между максимальной высотой, занимаемой жидкостью в капиллярной трубке, и ее диаметром - закон Джурина . ^[10]Длина капилляра возникла благодаря использованию уравнения давления Лапласа в той точке, где оно уравновешивало давление из-за силы тяжести, и иногда называется капиллярной постоянной Лапласа после того , как было введено Лапласом в 1806 году ^[14].

В природе [ править ]

Пузыри [ править ]

Подобно капле, пузыри имеют круглую форму, потому что силы сцепления втягивают их молекулы в самую плотную группу - сферу. Из-за захваченного воздуха внутри пузыря площадь поверхности не может сжаться до нуля, следовательно, давление внутри пузыря больше, чем снаружи, потому что, если бы давления были равными, пузырек просто схлопнулся бы. ^[15] Этот перепад давления можно рассчитать из уравнения давления Лапласа,

${\displaystyle \Delta P={\frac {2\gamma }{R}}}$.

Для мыльного пузыря существует две граничные поверхности, внутренняя и внешняя, и поэтому два вклада в избыточное давление, а формула Лапласа удваивается до

${\displaystyle \Delta P={\frac {4\gamma }{R}}}$. ^[16]

Затем можно рассчитать длину капилляра таким же образом, за исключением того, что необходимо учитывать толщину пленки, поскольку пузырь имеет полый центр, в отличие от капли, которая является твердым телом. Вместо того чтобы думать о капле, где каждая сторона находится, как в приведенном выше выводе, теперь пузырек${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle \lambda _{c}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle m=\Delta \rho R^{2}e_{0}}$,

с и радиус и толщина пузырька соответственно.${\displaystyle R}$${\displaystyle e_{0}}$

Как и выше, давление Лапласа и гидростатическое давление приравниваются, что дает

${\displaystyle R={\frac {\gamma }{\Delta \rho ge_{0}}}={\frac {\lambda _{\rm {c}}^{2}}{e_{0}}}}$.

Таким образом, длина капилляра определяет физико-химический предел, который определяет максимальный размер мыльного пузыря. ^[5]

См. Также [ править ]

• Капиллярность
• Поверхностное натяжение
• Давление
• Номер облигации
• Закон Юрина
• Уравнение Юнга-Лапласа

Ссылки [ править ]