Минимальная поверхность вращения

Растяжение мыльной пленки между двумя параллельными кольцевыми проволочными петлями создает катеноидальную минимальную поверхность вращения.

В математике , А минимальная поверхность вращения или минимальной поверхность вращения является поверхность вращения определяется из двух точек в полуплоскости , граница которой является осью вращения поверхности. Он образован кривой , лежащей в полуплоскости и соединяющей две точки; среди всех поверхностей , которые могут быть сгенерированы таким образом, это тот , который минимизирует на площадь поверхности . ^[1] Основная проблема вариационного исчисления - найти кривую между двумя точками, которая дает эту минимальную поверхность вращения. ^[1]

Отношение к минимальным поверхностям [ править ]

Минимальная поверхность вращения - это подтип минимальной поверхности . ^[1] Минимальная поверхность определяется не как поверхность минимальной площади, а как поверхность со средней кривизной 0. ^[2] Поскольку средняя кривизна 0 является необходимым условием поверхности минимальной площади, все минимальные поверхности вращения являются минимальными поверхностями, но не все минимальные поверхности являются минимальными поверхностями вращения. Поскольку точка образует круг при вращении вокруг оси , нахождение минимальной поверхности вращения эквивалентно нахождению минимальной поверхности, проходящей через два круговых каркаса . ^[1]Физической реализацией минимальной поверхности вращения является мыльная пленка, натянутая между двумя параллельными круглыми проволоками : мыльная пленка естественным образом принимает форму с наименьшей площадью поверхности. ^{[3] [4]}

Катеноид раствор [ править ]

катеноид

Если полуплоскость, содержащая две точки и ось вращения, задана декартовыми координатами , превращая ось вращения в ось x системы координат, тогда кривая, соединяющая точки, может быть интерпретирована как график функции . Если декартовы координаты двух данных точек равны , то площадь поверхности, порожденная неотрицательной дифференцируемой функцией, может быть математически выражена как${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} dx}$

и проблема нахождения минимальной поверхности вращения превращается в задачу нахождения функции, которая минимизирует этот интеграл, при соблюдении граничных условий, которые и . ^[5] В этом случае оптимальная кривая обязательно будет цепной . ^{[1] [5]} Ось вращения - это направляющая цепи, и минимальная поверхность вращения, таким образом, будет катеноидом . ^{[1] [6] [7]}${\ displaystyle f (x_ {1}) = y_ {1}}$${\ displaystyle f (x_ {2}) = y_ {2}}$

Решение Гольдшмидта [ править ]

Также могут быть определены решения, основанные на прерывных функциях. В частности, для некоторых размещений двух точек оптимальное решение порождается разрывной функцией, которая не равна нулю в двух точках и нулю везде. Эта функция приводит к поверхности вращения, состоящей из двух круговых дисков, по одному для каждой точки, соединенных вырожденным отрезком линии вдоль оси вращения. Это известно как раствор Goldschmidt ^{[5] [8]} после того, как немецкий математик Карл Wolfgang Benjamin Goldschmidt , ^[4]который объявил о своем открытии в своей статье 1831 года «Determinatio superficiei minimae rotatione curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae» («Определение кривой минимального вращения по двум точкам, соединенным относительно заданной исходной оси»). ^[9]

Продолжая приведенную выше физическую аналогию с мыльной пленкой, эти растворы Гольдшмидта можно представить как примеры, в которых мыльная пленка разрывается, когда круговые проволоки растягиваются. ^[4] Однако в физической мыльной пленке сегмент соединительной линии не будет присутствовать. Кроме того, если мыльная пленка растягивается таким образом, существует диапазон расстояний, в пределах которых раствор катеноидов все еще применим, но имеет большую площадь, чем раствор Гольдшмидта, поэтому мыльная пленка может растягиваться в конфигурацию, в которой площадь является локальный минимум, но не глобальный минимум. Для расстояний, превышающих этот диапазон, цепь, определяющая катеноид, пересекает ось x и ведет к самопересекающейся поверхности, поэтому возможно только решение Гольдшмидта.^[10]

Ссылки [ править ]