Теорема Атьи – Зингера об индексе

В дифференциальной геометрии , то теорема об индексе Атия-Зингер , подтверждается Атиями и Изадоры Singer  ( 1963 ), утверждает , что для эллиптического дифференциального оператора на компактное многообразии , то аналитический индекс (связанный с размерностью пространства решений) равен к топологическому индексу (определенному в терминах некоторых топологических данных). Она включает в себя множество других теорем, такие как Черна-Гаусса-Бонне теорема и теорема Римана-Роха , в особых случаях, и имеет приложения к теоретической физике ^{[1] стр 11} .

История [ править ]

Проблема индекса для эллиптических дифференциальных операторов была поставлена Израилем Гельфандом  ( 1960 ). Он заметил гомотопическую инвариантность индекса и попросил формулу для него с помощью топологических инвариантов . Некоторые из мотивирующих примеров включали теорему Римана-Роха и ее обобщение на теорему Хирцебрух-Римана-Роха , и теорема Хирцебруха подписи . Фридрих Хирцебрух и Арман Борель доказали целостность рода Â спинового многообразия, а Атья предположил, что эту целостность можно было бы объяснить, если бы это был индекс оператора Дирака (который был заново открыт Атьей и Сингером в 1961 году).

Теорема Атьи – Сингера была анонсирована Атьей и Сингером (1963) . Доказательство, приведенное в этом объявлении, никогда ими не публиковалось, хотя оно есть в книге ( Palais 1965 ). Это также появляется в «Семинаре Картана-Шварца 1963/64» ( Картан-Шварц 1965 ), который проводился в Париже одновременно с семинаром, проводимым Ричардом Пале в Принстонском университете . Последний доклад в Париже был Атьей о многообразиях с краем. Их первое опубликованное доказательство ( Atiyah & Singer 1968a ) заменило теорию кобордизма первого доказательства на K-теорию., И они использовали это , чтобы дать доказательства различных обобщений в работах Атьи и Зингера ( 1968а , 1968b , 1971a , 1971b ).

• 1965: Сергей П. Новиков ( Новиков, 1965 ) опубликовал свои результаты о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина на гладких многообразиях.
• Результаты Робиона Кирби и Лорана К. Зибенмана ( Кирби и Зибенманн, 1969 ) в сочетании с работой Рене Тома ( Том, 1956 ) доказали существование рациональных классов Понтрягина на топологических многообразиях. Рациональные классы Понтрягина являются существенными составляющими теоремы об индексе гладких и топологических многообразий.
• 1969: Майкл Ф. Атья  ( 1970 ) определяет абстрактные эллиптические операторы в произвольных метрических пространствах. Абстрактные эллиптические операторы стали главными действующими лицами теории Каспарова и некоммутативной дифференциальной геометрии Конна.
• 1971: Исадор М. Сингер  ( 1971 ) предлагает всеобъемлющую программу будущих расширений теории индекса.
• 1972: Геннадий Г. Каспаров ( 1972 ) публикует свою работу о реализации K-гомологий абстрактными эллиптическими операторами.
• 1973: Атья, Рауль Ботт и Виджай Патоди  ( 1973 ) дали новое доказательство теоремы об индексе, используя уравнение теплопроводности , описанное у Мелроуза (1993) .
• 1977: Деннис Салливан  ( 1979 ) устанавливает свою теорему о существовании и единственности липшицевых и квазиконформных структур на топологических многообразиях размерности, отличной от 4.
• Эзра Гетцлер  ( 1983 ), мотивированный идеями Эдварда Виттена  ( 1982 ) и Луиса Альвареса-Гауме , дал краткое доказательство теоремы о локальном индексе для операторов, которые являются локально операторами Дирака ; это охватывает многие из полезных случаев.
• 1983: Николае Телеман ( 1983 ) доказывает, что аналитические индексы операторов сигнатур со значениями в векторных расслоениях являются топологическими инвариантами.
• 1984: Телеман (1984) устанавливает теорему об индексе топологических многообразий.
• 1986: Ален Конн  ( 1986 ) публикует свою фундаментальную статью по некоммутативной геометрии .
• 1989: Саймон К. Дональдсон и Салливан ( 1989 ) изучают теорию Янга – Миллса на квазиконформных многообразиях размерности 4. Они вводят сигнатурный оператор S, определенный на дифференциальных формах степени два.
• 1990: Конн и Анри Московичи ( 1990 ) доказывают формулу локального индекса в контексте некоммутативной геометрии.
• 1994: Конн, Салливан и Телеман ( 1994 ) доказывают теорему об индексе для операторов сигнатур на квазиконформных многообразиях.

Обозначение [ править ]

• X - компактное гладкое многообразие (без края).
• E и F являются гладкими векторные расслоения над X .
• D представляет собой эллиптический дифференциальный оператор из Е в F . Таким образом , в локальных координатах она действует как дифференциальный оператор, принимая гладкие участки Е для гладких сечений F .

Символ дифференциального оператора [ править ]

Если D является дифференциальным оператором на евклидовом пространстве порядка п в K переменных , то ее символом является функцией 2 K переменных , учитывая, понижая все члены порядка меньше , чем п и заменяя на . Таким образом, символ однороден по переменным y степени n . Этот символ хорошо определен, даже если он не коммутируется с, потому что мы сохраняем только члены высшего порядка, а дифференциальные операторы коммутируют «до членов более низкого порядка». Оператор называется эллиптическим, если символ отличен от нуля всякий раз, когда хотя бы один y${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k}}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k}, y_ {1}, \ dots, y_ {k}}$${\ Displaystyle \ partial / \ partial x_ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ Displaystyle \ partial / \ partial x_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}}$ отличен от нуля.

Пример: оператор Лапласа в k переменных имеет символ и поэтому является эллиптическим, поскольку он отличен от нуля, когда любой из 's отличен от нуля. Волновой оператор имеет символ , который не является эллиптическим, если , поскольку символ обращается в нуль для некоторых ненулевых значений y s.${\ displaystyle y_ {1} ^ {2} + \ cdots + y_ {k} ^ {2}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle -y_ {1} ^ {2} + \ cdots + y_ {k} ^ {2}}$${\displaystyle k\geq 2}$

Символ дифференциального оператора порядка п на гладкое многообразие X определен во многом таким же образом с использованием локальной системы координат диаграммы, и является функцией на кокасательный пучок из X , однородная степени п на каждом кокасательном пространстве. (В общем, дифференциальные операторы преобразуются довольно сложным образом при преобразовании координат (см. Расслоение струй ); однако члены высшего порядка преобразуются как тензоры, поэтому мы получаем хорошо определенные однородные функции на кокасательных пространствах, которые не зависят от выбора локальных карт .) В более общем смысле, символ дифференциального оператора между двумя векторными расслоениями E и Fявляется сечением откате расслоения Hom ( E , F ) в кокасательном пространстве X . Дифференциальный оператор называется эллиптическим , если элемент Хом ( Е _х , F _х ) обратим для всех векторов , отличных от нуля кокасательных в любой точке х из X .

Ключевым свойством эллиптических операторов является их почти обратимость; это тесно связано с тем фактом, что их символы почти обратимы. Точнее, эллиптический оператор D на компактном многообразии имеет (неединственный) параметрикс (или псевдообратный ) D ′ такой, что DD ′ −1 и D′D −1 оба являются компактными операторами. Важным следствием является то, что ядро D конечномерно, потому что все собственные подпространства компактных операторов, кроме ядра, конечномерны. (Псевдообратный к эллиптическому дифференциальному оператору почти никогда не бывает дифференциальным оператором. Однако это эллиптический псевдодифференциальный оператор.)

Аналитический указатель [ править ]

Поскольку эллиптический дифференциальный оператор D имеет псевдообратную форму, он является фредгольмовым оператором . Любой оператор Фредгольма имеет индекс , определяемый как разность между (конечным) размерностью ядра из D (растворы Df = 0), и (конечная) размерность коядра из D (ограничения на право- сторона неоднородного уравнения, такого как Df = g , или, что то же самое, ядро ​​сопряженного оператора). Другими словами,

Индекс ( D ) = dim Ker (D) - dim Coker ( D ) = dim Ker (D) - dim Ker ( D * ).

Это иногда называют аналитический индекс из D .

Пример: Предположим, что многообразие - это окружность (представленная как R / Z ), а D - оператор d / dx - λ для некоторой комплексной постоянной λ. (Это простейший пример эллиптического оператора.) Тогда ядро ​​- это пространство, кратное exp (λ x ), если λ является целым кратным 2π i, и равно 0 в противном случае, а ядро ​​сопряженного оператора является аналогичным пространством с заменой λ на его комплексное сопряжение. Итак, Dимеет индекс 0. Этот пример показывает, что ядро ​​и коядро эллиптических операторов могут скачкообразно перескакивать при изменении эллиптического оператора, поэтому нет хорошей формулы для их размерностей в терминах непрерывных топологических данных. Однако скачки размеров ядра и коядра одинаковы, поэтому индекс, определяемый разницей их размеров, действительно непрерывно изменяется и может быть задан в терминах топологических данных с помощью теоремы об индексе.

Топологический указатель [ править ]

Топологический индекс эллиптического дифференциального оператора между гладких векторных расслоений и на качестве мерном компактном многообразии задается${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)[X]=\int _{X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$

другими словами, значение высшей размерной компоненты класса смешанных когомологий на фундаментальном классе гомологий многообразия . Здесь,${\displaystyle \operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \operatorname {Td} (X)}$- класс Тодда комплексифицированного касательного расслоения к .${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)}$равно , где${\displaystyle \varphi ^{-1}(\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))))}$
  • ${\displaystyle \varphi :H^{k}(X;\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X);\mathbb {Q} )}$является изоморфизмом Тома для расслоения сфер${\displaystyle p:B(X)/S(X)\to X}$
  • ${\displaystyle \operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$это персонаж Черна
  • ${\displaystyle d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))}$- это «элемент разности», связанный с двумя векторными расслоениями и на, и изоморфизм между ними на подпространстве .${\displaystyle K(B(X)/S(X))}$${\displaystyle p^{*}E}$${\displaystyle p^{*}F}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle \sigma (D)}$${\displaystyle S(X)}$
  • ${\displaystyle \sigma (D)}$ это символ ${\displaystyle D}$

Можно также определить топологический индекс, используя только K-теорию (и это альтернативное определение в определенном смысле совместимо с конструкцией характера Черна, приведенной выше). Если X - компактное подмногообразие многообразия Y, то существует прямое (или «кричащее») отображение из K ( TX ) в K ( TY ). Топологический индекс элемента K ( TX ) определяется как образ этой операции с Y в некотором евклидовом пространстве, для которого K ( TY ) естественным образом отождествляется с целыми числами Z (как следствие периодичности Ботта). Это отображение не зависит от вложения Xв евклидовом пространстве. Теперь дифференциальный оператор, как указано выше, естественным образом определяет элемент K ( TX ), и изображение в Z при этом отображении «является» топологическим индексом.

Как обычно, Д представляет собой эллиптический дифференциальный оператор между векторных расслоений E и F над компактным многообразием X .

Проблема индекса заключается в следующем: вычислить (аналитический) индекс D, используя только символ s и топологические данные, полученные из многообразия и векторного расслоения. Теорема Атьи – Зингера об индексе решает эту проблему и утверждает:

Аналитический индекс D равен его топологическому индексу.

Несмотря на громоздкое определение топологического индекса, обычно просто вычислить явным образом. Таким образом, это позволяет оценить аналитический индекс. (Коядро и ядро ​​эллиптического оператора, как правило, чрезвычайно трудно оценить по отдельности; теорема об индексе показывает, что обычно мы можем по крайней мере оценить их различие .) Многие важные инварианты многообразия (такие как сигнатура) могут быть заданы как индекс подходящих дифференциальных операторов, поэтому теорема об индексе позволяет нам оценивать эти инварианты в терминах топологических данных.

Хотя аналитический индекс обычно трудно оценить напрямую, он, по крайней мере, очевидно, является целым числом. Топологический индекс по определению является рациональным числом, но обычно из определения вовсе не очевидно, что он также является целым. Таким образом, теорема Атьи – Зингера об индексе подразумевает некоторые свойства глубокой целостности, так как она подразумевает, что топологический индекс является целым.

Индекс эллиптического дифференциального оператора, очевидно, обращается в нуль, если оператор самосопряженный. Он также обращается в нуль, если многообразие X имеет нечетную размерность, хотя существуют псевдодифференциальные эллиптические операторы, индекс которых не обращается в нуль в нечетных размерностях.

Отношение к Гротендику – Риману – Роху [ править ]

Теорема Гротендика – Римана – Роха была одним из основных мотивов теоремы об индексе, поскольку теорема об индексе является аналогом этой теоремы в контексте вещественных многообразий. Если теперь существует карта компактных стабильно почти комплексных многообразий, то существует коммутативная диаграмма ^[2]${\displaystyle f:X\to Y}$

если точка, то мы восстанавливаем приведенное выше утверждение. Здесь есть группа Гротендика комплексных векторных расслоений. Эта коммутативная диаграмма формально очень похожа на теорему GRR, потому что группы когомологий справа заменены кольцом Чжоу гладкого многообразия, а группа Гротендика слева задается группой Гротендика алгебраических векторных расслоений.${\displaystyle Y=*}$${\displaystyle K(X)}$

Расширения теоремы Атьи – Зингера об индексе [ править ]

Теорема Телемана об индексе [ править ]

Из-за ( Teleman 1983 ), ( Teleman 1984 ):

Для любого абстрактного эллиптического оператора ( Atiyah 1970 ) на замкнутом ориентированном топологическом многообразии аналитический индекс равен топологическому индексу.

Доказательство этого результата проходит через конкретные соображения, включая расширение теории Ходжа на комбинаторные и липшицевы многообразия ( Телеман, 1980 ), ( Телеман, 1983 ), расширение оператора сигнатуры Атьи – Зингера на липшицевы многообразия ( Телеман, 1983 ), K- гомологии ( Каспаров, 1972 ) и топологический кобордизм ( Кирби, Зибенманн, 1977 ).

Этот результат показывает, что теорема об индексе - это не просто утверждение о дифференцируемости, а, скорее, топологическое утверждение.

Теорема Конна – Дональдсона – Салливана – Телемана об индексе [ править ]

Из-за ( Donaldson & Sullivan 1989 ), ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ):

Для любого квазиконформного многообразия существует локальная конструкция характеристических классов Хирцебруха – Тома.

Эта теория основана на сигнатурном операторе S , определенном на дифференциальных формах средней степени на четномерных квазиконформных многообразиях (сравните ( Donaldson & Sullivan 1989 )).

Используя топологический кобордизм и K-гомологии, можно дать полную формулировку теоремы об индексе квазиконформных многообразий (см. Стр. 678 в ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 )). В работе ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) «представлены локальные конструкции для характеристических классов, основанные на родственниках измеримого риманова отображения в размерности два и теории Янга – Миллса в размерности четыре».

Эти результаты представляют собой значительный прогресс в соответствии с программой Зингера « Перспективы математики» ( Singer, 1971 ). В то же время они обеспечивают эффективное построение рациональных классов Понтрягина на топологических многообразиях. В статье ( Teleman 1985 ) приводится связь между оригинальной конструкцией Тома рациональных классов Понтрягина ( Thom 1956 ) и теорией индекса.

Важно отметить, что формула индекса является топологическим утверждением. Теории препятствий Милнора, Кервера, Кирби, Зибенмана, Салливана, Дональдсона показывают, что только меньшая часть топологических многообразий обладает дифференцируемыми структурами, и они не обязательно уникальны. Результат Салливана о липшицевых и квазиконформных структурах ( Sullivan 1979 ) показывает, что любое топологическое многообразие размерности, отличной от 4, обладает такой структурой, которая уникальна (с точностью до изотопии, близкой к единице).

Квазиконформные структуры ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) и в более общем плане L ^p -структуры, p > n (n + 1) / 2 , введенные М. Хилсумом ( Hilsum, 1999 ), являются самыми слабыми аналитическими структурами на топологических многообразиях размерности n, для которой, как известно, выполняется теорема об индексе.

Другие расширения [ править ]

• Теорема Атьи – Зингера применима к эллиптическим псевдодифференциальным операторам во многом так же, как и к эллиптическим дифференциальным операторам. Фактически, по техническим причинам большинство ранних доказательств работало с псевдодифференциальными, а не с дифференциальными операторами: их дополнительная гибкость упрощала некоторые этапы доказательств.
• Вместо работы с эллиптическим оператором между двумя векторными расслоениями иногда удобнее работать с эллиптическим комплексом

${\displaystyle 0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow ...\rightarrow E_{m}\rightarrow 0}$

векторных расслоений. Разница в том, что символы теперь образуют точную последовательность (за пределами нулевого участка). В случае, когда в комплексе есть только два ненулевых расслоения, это означает, что символ является изоморфизмом от нулевого сечения, поэтому эллиптический комплекс с двумя членами по существу совпадает с эллиптическим оператором между двумя векторными расслоениями. Наоборот, теорема об индексе для эллиптического комплекса легко сводится к случаю эллиптического оператора: два векторных расслоения задаются суммами четных или нечетных членов комплекса, а эллиптический оператор представляет собой сумму операторов эллиптический комплекс и сопряженные к ним, ограниченные суммой четных расслоений.

• Если у многообразия может быть граница, то необходимо наложить некоторые ограничения на область определения эллиптического оператора, чтобы гарантировать конечный индекс. Эти условия могут быть локальными (например, требовать, чтобы разделы в области обращались в нуль на границе) или более сложными глобальными условиями (например, требовать, чтобы разделы в области решали какое-то дифференциальное уравнение). Локальный случай был разработан Атьей и Боттом, но они показали, что многие интересные операторы (например, оператор сигнатуры ) не допускают локальных граничных условий. Чтобы справиться с этими операторами, Atiyah , Patodi и Singerввели глобальные граничные условия, эквивалентные присоединению цилиндра к многообразию вдоль границы, а затем ограничению области до тех сечений, которые интегрируются с квадратом вдоль цилиндра. Эта точка зрения принята в доказательстве Мелроуз (1993) из теоремы об индексе Атьи-Патоди-Зингера .
• Вместо всего одного эллиптического оператора, можно рассматривать семейство эллиптических операторов параметризованных некоторого пространства Y . В этом случае индекс является элементом K-теории Y , а не целым числом. Если операторы в семье являются реальными, то индекс лежит в реальной K-теории Y . Это дает немного дополнительной информации, поскольку отображение реальной K-теории Y в комплексную K-теорию не всегда инъективно.
• Если существует групповое действие группы G на компактном многообразии X , коммутирующее с эллиптическим оператором, то обычную K-теорию заменяют эквивариантной K-теорией . Кроме того, один получают обобщения Лефшца фиксированной теорему точки , с условием исходя из фиксированных точек подмногообразие группы G . См. Также: теорема об эквивариантном индексе .
• Атья (1976) показал, как распространить теорему об индексе на некоторые некомпактные многообразия, на которых действует дискретная группа с компактным фактором. Ядро эллиптического оператора в этом случае, вообще говоря, бесконечномерно, но можно получить конечный индекс, используя размерность модуля над алгеброй фон Неймана ; этот индекс, как правило, является действительным, а не целочисленным. Эта версия называется L ² теоремой об индексе , и была использована Атьей & Schmid (1977) , чтобы заново вывести свойства дискретных серии представлений о полупростых группах Ли .
• Теорема Каллиаса об индексе - это теорема об индексе для оператора Дирака в некомпактном нечетномерном пространстве. Индекс Атьи – Зингера определен только на компактных пространствах и обращается в нуль, когда их размерность нечетная. В 1978 году Константин Каллиас по предложению его доктора философии. советник Роман Джекив использовал осевую аномалию для вывода этой теоремы об индексе для пространств, снабженных эрмитовой матрицей, называемой полем Хиггса . ^[3] Индекс оператора Дирака является топологическим инвариантом, который измеряет намотку поля Хиггса на бесконечно удаленную сферу. Если U- единичная матрица в направлении поля Хиггса, то индекс пропорционален интегралу от U ( dU ) ^{n −1} по ( n −1) -сфере на бесконечности. Если n четное, оно всегда равно нулю.
  • Топологическая интерпретация этого инварианта и его связи с индексом Хермандера, предложенная Борисом Федосовым , в обобщенном виде Ларсом Хермандером была опубликована Раулем Боттом и Робертом Томасом Сили . ^[4]

Примеры [ править ]

Эйлерова характеристика [ править ]

Предположим, что M - компактное ориентированное многообразие. Если мы возьмем Е быть суммой даже внешних степеней кокасательного расслоения и F будет суммой нечетных степеней, определит D = d + d * , рассматривать как отображение из Е в F . Тогда топологический индекс D является эйлерово характеристики из ходжевых когомологий из М , а аналитический индекс является классом Эйлера многообразия. Формула индекса для этого оператора дает теорему Черна – Гаусса – Бонне .

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха [ править ]

Возьмем X быть комплексным многообразием с голоморфным векторным расслоением V . Пусть векторные расслоения E и F являются суммами расслоений дифференциальных форм с коэффициентами в V типа (0, i ) с четным или нечетным i , а дифференциальный оператор D - это сумма

${\displaystyle {\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

ограничивается E . Затем аналитический индекс D является голоморфной эйлерова характеристика из V :

${\displaystyle {\textrm {index}}(D)=\sum _{p}(-1)^{p}{\textrm {dim}}\,H^{p}(X,V)}$

Топологический индекс D определяется как

${\displaystyle {\textrm {index}}(D)={\textrm {ch}}(V)\,{\textrm {Td}}(X)[X]}$,

произведение Черна характера V и класса Тодда X оценивается по основному классу X . Приравнивая топологический и аналитический индексы, мы получаем теорему Хирцебруха – Римана – Роха . На самом деле мы получаем обобщение на все комплексные многообразия: доказательство Хирцебруха работал только для проективных комплексных многообразий X .

Этот вывод теоремы Хирцебруха – Римана – Роха будет более естественным, если мы будем использовать теорему об индексе для эллиптических комплексов, а не для эллиптических операторов. Мы можем считать комплекс

${\displaystyle 0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \,...}$

с дифференциалом, задаваемым . Тогда i- я группа когомологий - это просто группа когерентных когомологий H ⁱ ( X , V ), поэтому аналитическим индексом этого комплекса является голоморфная эйлерова характеристика Σ (−1) ⁱ dim (H ⁱ ( X , V )). Как и раньше, топологический индекс ch ( V ) Td ( X ) [ X ].${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

Теорема Хирцебруха о сигнатуре [ править ]

Теорема Хирцебруха о сигнатуре утверждает, что сигнатура компактного ориентированного многообразия X размерности 4 k задается родом L многообразия. Это следует из теоремы Атьи – Зингера об индексе, примененной к следующему оператору сигнатуры .

Расслоения E и F задаются собственными подпространствами +1 и −1 оператора на расслоении дифференциальных форм X , который действует на k -формах как

${\displaystyle i^{k(k-1)}}$

раз Ходж оператор * . Оператор D является лапласианом Ходжа

${\displaystyle D\equiv \Delta :=(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} )^{2}}$

ограничена на E , где d - внешняя производная Картана, а d * - ее сопряженная.

Аналитический индекс D - это сигнатура многообразия X , а его топологический индекс - это L-род X , поэтому они равны.

Род и теорема Рохлина [ править ]

Род Â - это рациональное число, определенное для любого многообразия, но, как правило, не целое. Борель и Хирцебрух показали, что он является целым для спиновых многообразий и четным целым числом, если вдобавок размерность равна 4 mod 8. Это можно вывести из теоремы об индексе, из которой следует, что род Â для спиновых многообразий является индексом дираковского оператор. Дополнительный множитель 2 в размерности 4 по модулю 8 связан с тем фактом, что в этом случае ядро ​​и коядро оператора Дирака имеют кватернионную структуру, так что, как и комплексные векторные пространства, они имеют четные размеры, поэтому индекс четный.

В размерности 4 из этого результата следует теорема Рохлина о том, что сигнатура 4-мерного спинового многообразия делится на 16: это следует потому, что в размерности 4 род Â равен минус одной восьмой сигнатуры.

Методы доказательства [ править ]

Псевдодифференциальные операторы [ править ]

Псевдодифференциальные операторы легко объясняются в случае операторов с постоянными коэффициентами в евклидовом пространстве. В этом случае дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами - это просто преобразования Фурье умножения на полиномы, а псевдодифференциальные операторы с постоянными коэффициентами - это просто преобразования Фурье умножения на более общие функции.

Во многих доказательствах теоремы об индексе используются псевдодифференциальные операторы, а не дифференциальные операторы. Причина этого в том, что для многих целей не хватает дифференциальных операторов. Например, псевдообратный эллиптический дифференциальный оператор положительного порядка не является дифференциальным оператором, а является псевдодифференциальным оператором. Также существует прямое соответствие между данными, представляющими элементы K (B ( X ), S ( X )) (функции сцепления) и символами эллиптических псевдодифференциальных операторов.

Псевдодифференциальные операторы имеют порядок, который может быть любым действительным числом или даже −∞, и иметь символы (которые больше не являются полиномами на кокасательном пространстве), а эллиптические дифференциальные операторы - это те, символы которых обратимы для достаточно больших кокасательных векторов. Большинство версий теоремы об индексе может быть расширено с эллиптических дифференциальных операторов до эллиптических псевдодифференциальных операторов.

Кобордизм [ править ]

Первоначальное доказательство было основано на доказательстве теоремы Хирцебруха – Римана – Роха (1954) и включало теорию кобордизмов и псевдодифференциальные операторы .

Идея этого первого доказательства примерно следующая. Рассмотрим кольцо, порожденное парами ( X , V ), где V - гладкое векторное расслоение на компактном гладком ориентированном многообразии X, с соотношениями, что сумма и произведение кольца на этих образующих задаются дизъюнктным объединением и произведением многообразий (с очевидными операциями на векторных расслоениях), и любой край многообразия с векторным расслоением равен 0. Это аналогично кольцо кобордизмов ориентированных многообразий, за исключением того, что многообразия также имеют векторное расслоение. И топологические, и аналитические индексы интерпретируются как функции от этого кольца до целых чисел. Затем проверяется, что эти две функции на самом деле являются гомоморфизмами колец. Чтобы доказать, что они одинаковы, необходимо только проверить, что они одинаковы на множестве образующих этого кольца. Теория кобордизмов Тома дает набор образующих; например, комплексные векторные пространства с тривиальным расслоением вместе с некоторыми расслоениями над четными размерными сферами.Таким образом, теорему об индексе можно доказать, проверив ее на этих особенно простых случаях.

K-теория [ править ]

В первом опубликованном доказательстве Атьи и Сингера использовалась K-теория, а не кобордизм. Если i - любое включение компактных многообразий из X в Y , они определили операцию «прямого продвижения вперед» i _! от эллиптических операторов X к эллиптическим операторам Y , сохраняющим индекс. Взяв Y за некоторую сферу, в которую вкладывается X , это сводит теорему об индексе к случаю сфер. Если Y - сфера, а X - некоторая точка, вложенная в Y , то любой эллиптический оператор на Y является образом под i _!некоторого эллиптического оператора на точке. Это сводит теорему об индексе к случаю точки, где она тривиальна.

Уравнение теплопроводности [ править ]

Атья, Ботт и Патоди  ( 1973 ) дали новое доказательство теоремы об индексе, используя уравнение теплопроводности , см., Например, Berline, Getzler & Vergne (1992) . Доказательство также опубликовано в ( Melrose 1993 ) и ( Gilkey 1994 ).

Если D - дифференциальный оператор с присоединенным D * , то D * D и DD * - самосопряженные операторы, ненулевые собственные значения которых имеют одинаковую кратность. Однако их нулевые собственные подпространства могут иметь разную кратность, поскольку эти кратности являются размерностями ядер D и D * . Следовательно, индекс D определяется как

${\displaystyle {\textrm {Index}}(D)=\dim {\rm {Ker}}(D^{*})={\rm {Tr}}(e^{-tD^{*}D})-{\rm {Tr}}(e^{-tDD^{*}})}$

для любого положительного t . Правая часть дается следом разности ядер двух операторов тепла. Они имеют асимптотическое разложение для малых положительных t , которое можно использовать для оценки предела, когда t стремится к 0, что дает доказательство теоремы Атьи – Зингера об индексе. Асимптотические разложения для малых t кажутся очень сложными, но теория инвариантов показывает, что есть огромные сокращения между членами, что позволяет явно находить главные члены. Позднее эти сокращения были объяснены с помощью суперсимметрии.

Ссылки [ править ]

Теоретические ссылки [ править ]

В работах Атия перепечатаны в томах 3 и 4 его сочинений (Атия  1988a , 1988b )

• Атья, MF (1970), "Глобальная теория эллиптических операторов", Proc. Int. Конф. по функциональному анализу и смежным темам (Токио, 1969) , Университет Токио, Zbl  0193.43601
• Atiyah, MF (1976), "Эллиптические операторы, дискретные группы и алгебры фон Неймана", коллок "Анализ и топология" в честь Анри Картана (Orsay, 1974) , Asterisque, 32–33, Soc. Математика. Франция, Париж, стр. 43–72, MR  0420729
• Atiyah, MF ; Segal, GB (1968), "Индекс эллиптических операторов: II", Анналы математики , второй серии 87 (3): 531-545, DOI : 10,2307 / 1970716 , JSTOR  1970716 Это переформулирует результат как своего рода теорему Лефшеца о неподвижной точке, используя эквивариантную K-теорию.
• Атья, Майкл Ф .; Сингер, Исадор М. (1963), "Индекс эллиптических операторов на компактных многообразиях", Бюлл. Амер. Математика. Soc. , 69 (3): 422-433, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1963-10957-X , Объявление теоремы об индексе.
• Атья, Майкл Ф .; Певец, Изадор М. (1968а), "Индекс эллиптических операторов I", Анналы математики , 87 (3): 484-530, DOI : 10,2307 / 1970715 , JSTOR  1970715 Это дает доказательство, использующее K-теорию вместо когомологий.
• Атья, Майкл Ф .; Певец, Изадор М. (1968b), "Индекс эллиптических операторов III", Анналы математики , Вторая серия, 87 (3): 546-604, DOI : 10,2307 / 1970717 , JSTOR  1970717 В этой статье показано, как преобразовать версию K-теории в версию с использованием когомологий.
• Атья, Майкл Ф .; Певец, Изадор М. (1971a), "Индекс эллиптических операторов IV", Анналы математики , Вторая серия, 93 (1): 119-138, DOI : 10,2307 / 1970756 , JSTOR  1970756 В данной статье изучаются семейства эллиптических операторов, индекс которых теперь является элементом K-теории пространства, параметризующего семейство.
• Атья, Майкл Ф .; Певец, Изадор М. (1971b), "Индекс эллиптических операторов V", Анналы математики , Вторая серия, 93 (1): 139-149, DOI : 10,2307 / 1970757 , JSTOR  1970757. Это изучает семейства реальных (а не сложных) эллиптических операторов, когда иногда можно выжать немного дополнительной информации.
• Atiyah, MF ; Ботт Р. (1966), "Формула Лефшеца для неподвижной точки для эллиптических дифференциальных операторов", Бюлл. Являюсь. Математика. Soc. , 72 (2): 245-50, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1966-11483-0. Это формулирует теорему о вычислении числа Лефшеца эндоморфизма эллиптического комплекса.
• Atiyah, MF ; Боттовский, Р. (1967), "А Лефшец неподвижных точек формула для эллиптических комплексов: I" Анналы математики , второй серии, 86 (2): 374-407, DOI : 10,2307 / 1970694 , JSTOR  1970694и Атия, М.Ф .; Ботт, R. (1968), "А Lefschetz неподвижной точки Формула для эллиптических комплексов. II Приложения", Анналы математики , второй серии 88 (3): 451-491, DOI : 10,2307 / 1970721 , JSTOR 1970721  Это дает доказательства и некоторые приложения результатов, анонсированных в предыдущей статье.
• Атия, М .; Ботт, Р .; Патоди, В.К. (1973), "Об уравнении теплопроводности и теореме об индексе", Инвент. Математика. , 19 (4): 279–330, Bibcode : 1973InMat..19..279A , doi : 10.1007 / BF01425417 , MR  0650828 , S2CID  115700319. Atiyah, M .; Bott, R .; Патоди, В.К. (1975), «Ошибки», Инвент. Математика. , 28 (3): 277-280, Bibcode : 1975InMat..28..277A , DOI : 10.1007 / BF01425562 , МР 0650829 
• Атья, Майкл ; Шмид, Вильфрид (1977), "Геометрическая конструкция дискретной серии для полупростых групп Ли", Инвент. Математика. , 42 : 1–62, Bibcode : 1977InMat..42 .... 1A , doi : 10.1007 / BF01389783 , MR  0463358 , S2CID  189831012, Атия, Майкл; Шмид, Вильфрид (1979), "Erratum", Invent. Математика. , 54 (2): 189-192, Bibcode : 1979InMat..54..189A , DOI : 10.1007 / BF01408936 , МР 0550183 
• Атья, Майкл (1988a), Собрание сочинений. Vol. 3. Теория индекса: 1 , Oxford Science Publications, Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN. 978-0-19-853277-4, Руководство по ремонту  0951894
• Атья, Майкл (1988b), Собрание сочинений. Vol. 4. Теория индекса: 2 , Oxford Science Publications, Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN. 978-0-19-853278-1, Руководство по ремонту  0951895
• Баум, П .; Фултон, В .; Макферсон, R. (1979), "Римана-Роха для особых многообразий" , Acta Mathematica , 143 : 155-191, DOI : 10.1007 / BF02684299 , S2CID  83458307 , Zbl  0332,14003
• Берлайн, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (1992), тепловые ядра и операторы Дирака , Берлин: Springer, ISBN 978-3-540-53340-5 Это дает элементарное доказательство теоремы об индексе для оператора Дирака с использованием уравнения теплопроводности и суперсимметрии.
• Бисмут, Жан-Мишель (1984), "Теоремы Атьи – Зингера: вероятностный подход. I. Теорема об индексе", J. Funct. Анализ , 57 : 56-99, DOI : 10,1016 / 0022-1236 (84) 90101-0 Бисмут доказывает теорему для эллиптических комплексов, используя вероятностные методы, а не методы уравнения теплопроводности.
• Картан-Шварц (1965), Семинар Анри Картан. Теорема д'Атия-Зингер сюр l'indice d'un opérateur différentiel elliptique. 16 лет: 1963/64 дириже Анри Картана и Лорана Шварца. Fasc. 1; Fasc. 2. (французский) , École Normale Supérieure, Secrétariat mathématique, Париж, Zbl  0149.41102
• Конн, А. (1986), "Некоммутативная дифференциальной геометрии" , Публикации Mathématiques , 62 : 257-360, DOI : 10.1007 / BF02698807 , S2CID  122740195 , Zbl  +0592,46056
• Конн А. (1994), Некоммутативная геометрия , Сан-Диего: Academic Press, ISBN 978-0-12-185860-5, Zbl  0818,46076
• Конн, А .; Московичи, Г. (1990), "Циклические когомологии, гипотеза Новикова и гиперболические группы" (PDF) , Топология , 29 (3): 345-388, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (90) 90003-3 , Zbl  +0759,58047
• Конн, А .; Салливан, Д .; Телеман, Н. (1994), "Квазиконформные отображения, операторы на гильбертовом пространстве и локальные формулы для характеристических классов", Топология , 33 (4): 663-681, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (94) 90003-5 , Zbl  0840.57013
• Дональдсон, СК ; Sullivan, D. (1989), "Квазиконформные 4-многообразия", Acta Mathematica , 163 : 181-252, DOI : 10.1007 / BF02392736 , Zbl  0704,57008
• Гельфанд И. М. Об эллиптических уравнениях // Успехи мат. Наук. Математика. Surv. , 15 (3): 113–123, Bibcode : 1960RuMaS..15..113G , doi : 10.1070 / rm1960v015n03ABEH004094перепечатано в томе 1 его собрания сочинений, стр. 65–75, ISBN 0-387-13619-3 . На странице 120 Гельфанд предлагает выразить индекс эллиптического оператора в терминах топологических данных. 
• Гетцлер, Э. (1983), "Псевдодифференциальные операторы на супермногообразиях и теорема Атьи – Зингера об индексе" , Commun. Математика. Phys. , 92 (2): 163-178, Bibcode : 1983CMaPh..92..163G , DOI : 10.1007 / BF01210843 , S2CID  55438589
• Гетцлер, Э. (1988), "Краткое доказательство локальной теоремы Атьи – Зингера об индексе", Топология , 25 : 111–117, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (86) 90008-X
• Гилки, Питер Б. (1994), Теория инвариантности, уравнение теплопроводности и теорема Атьи – Зингера , ISBN 978-0-8493-7874-4 Бесплатный онлайн-учебник, доказывающий теорему Атьи – Зингера с помощью уравнения теплопроводности
• Хигсон, Найджел; Роу, Джон (2000), Аналитическая K-гомология , Oxford University Press, ISBN 9780191589201
• Хилсум, М. (1999), "Structures riemaniennes L ^p et K -homologie", Annals of Mathematics , 149 (3): 1007–1022, arXiv : math / 9905210 , doi : 10.2307 / 121079 , JSTOR  121079 , S2CID  119708566
• Каспаров, Г.Г. (1972), "Топологическая инвариантность эллиптических операторов, I: K-гомологии", Матем. Известия СССР , 9 (4): 751–792, Bibcode : 1975IzMat ... 9..751K , doi : 10.1070 / IM1975v009n04ABEH001497
• Кирби, Р .; Siebenmann, LC (1969), "О триангуляции многообразий и Hauptvermutung", Bull. Амер. Математика. Soc. , 75 (4): 742-749, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1969-12271-8
• Кирби, Р .; Зибенманн, LC (1977), Основополагающие эссе по топологическим многообразиям, сглаживаниям и триангуляциям , Annals of Mathematics Studies in Mathematics, 88 , Princeton: Princeton University Press и Tokio University Press
• Мелроуз, Ричард Б. (1993), Теорема об индексе Атьи – Патоди – Зингера , Уэллсли, Массачусетс: Питерс, ISBN 978-1-56881-002-7 Бесплатный онлайн-учебник.
• Новиков, С.П. (1965), "Топологическая инвариантность рациональных классов Понтрягина" (PDF) , Доклады АН СССР , 163 : 298–300.
• Palais, Ричард С. (1965), Семинар по теореме Атьи – Зингера об индексе , Annals of Mathematics Studies, 57 , Sl: Princeton Univ Press, ISBN 978-0-691-08031-4 Это описывает оригинальное доказательство теоремы (Атья и Сингер никогда не публиковали свое оригинальное доказательство, а только улучшили его версии).
• Shanahan, P. (1978), теорема Атьи-Зингера: введение , Lecture Notes в области математики, 638 , Springer, CiteSeerX  10.1.1.193.9222 , DOI : 10.1007 / BFb0068264 , ISBN 978-0-387-08660-6
• Зингер, И.М. (1971), "Будущие расширения теории индекса и эллиптических операторов", Перспективы в математике , Annals of Mathematics Studies in Mathematics, 70 , стр. 171–185
• Салливан, Д. (1979), "Гиперболическая геометрия и гомеоморфизмы", Дж. Кэндрелл, "Геометрическая топология", Proc. Грузинская топология конф. Афины, Джорджия, 1977 , Нью-Йорк: Academic Press, стр. 543–595, ISBN 978-0-12-158860-1, Zbl  0478,57007
• Салливан, Д .; Телеман, Н. (1983), "Аналитическое доказательство теоремы Новикова о рациональных классах Понтрягина" , Publications Mathématiques , Paris, 58 : 291–293, doi : 10.1007 / BF02953773 , S2CID  8348213 , Zbl  0531.58045
• Телеман, Н. (1980), «Комбинаторная теория Ходжа и оператор сигнатуры», Inventiones Mathematicae , 61 (3): 227–249, Bibcode : 1980InMat..61..227T , doi : 10.1007 / BF01390066 , S2CID  122247909
• Телеман, Н. (1983), "Индекс операторов подписи на Липшица многообразиях" , Публикации Mathématiques , 58 : 251-290, DOI : 10.1007 / BF02953772 , S2CID  121497293 , Zbl  0531,58044
• Телеман, Н. (1984), "Теорема об индексе на топологических многообразиях", Acta Mathematica , 153 : 117-152, DOI : 10.1007 / BF02392376 , Zbl  +0547,58036
• Телеман, Н. (1985), "Трансверсальность и теорема индекса", интегральные уравнения и оператор теория , 8 (5): 693-719, DOI : 10.1007 / BF01201710 , S2CID  121137053
• Thom, R. (1956), "Caractéristiques de Pontrjagin de Varétés triangulées", Symp. Int. Вершина. Alg. Мексика , стр. 54–67.
• Виттен, Эдвард (1982), "Суперсимметрия и теория Морса", J. Diff. Геом. , 17 (4): 661-692, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214437492 , МР  0683171

Справки по истории [ править ]

• Шинг-Тунг Яу , изд. (2009) [Впервые опубликовано в 2005 году], The Founders of Index Theory (2-е изд.), Somerville, Mass: International Press of Boston, ISBN 978-1571461377- Личные счета на Atiyah , Bott , Hirzebruch и Singer .

Внешние ссылки [ править ]

Ссылки по теории [ править ]

• Маццео, Рэйф. «Теорема об индексе Атьи – Зингера: что это такое и почему вам следует беспокоиться» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 10 октября 2002 года. Презентация в формате pdf.
• Войцеховский М.И.; Шубин, М.А. (2001) [1994], "Формулы индекса" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вассерманн, Антоний . «Конспект лекций по теореме Атьи – Зингера об индексе» . Архивировано из оригинального 29 марта 2017 года.

Ссылки на интервью [ править ]

• Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (2005), «Интервью с Майклом Атьей и Айседором Сингером» (PDF) , Уведомления об AMS , стр. 223–231
• Р. Р. Сили и другие (1999) Воспоминания с первых дней теории индекса и псевдодифференциальных операторов - Частичная стенограмма неформальной беседы после обеда во время симпозиума, состоявшегося в Роскилле, Дания, в сентябре 1998 года.