В математике , в Черна теоремы (или Черна-Гаусса-Бонне теорема [1] [2] [3] после того, как Чэнь Синшэнь , Гаусс , и Пьер Оссиан Bonnet ) утверждает , что Эйлера-Пуанкаре характерный (а топологический инвариант определяемого как знакопеременная сумма чисел Бетти топологического пространства) замкнутого четномерного риманова многообразия равно интегралу некоторого многочлена ( класса Эйлера ) его формы кривизны (аналитический инвариант ).
Это в высшей степени нетривиальное обобщение классической теоремы Гаусса – Бонне (для двумерных многообразий / поверхностей ) на более высокие четномерные римановы многообразия. В 1943 году Карл Б. Аллендёрфер и Андре Вейль доказали особый случай внешних многообразий. В классической статье, опубликованной в 1944 году, Шиинг-Шен Черн доказал в полной общности теорему, связывающую глобальную топологию с локальной геометрией . [4]
Риман-Рох и Атья-Зингер - другие обобщения теоремы Гаусса-Бонне.
Заявление
Одна полезная форма теоремы Черна состоит в том, что [5] [6]
где обозначает эйлерова характеристика из М. класса Эйлера определяется как
где у нас есть пфаффиан . Здесь M - компактное ориентируемое 2 n -мерное риманово многообразие без края , причемэто связано форма кривизны в связности Леви-Чивита . На самом деле утверждение верно сформа кривизны любой метрической связности на касательном расслоении, а также для других векторных расслоений над. [7]
Поскольку размерность 2 n , мы имеем, что является -значная 2-дифференциальная форма на M (см. специальную ортогональную группу ). Такможно рассматривать как кососимметричную матрицу 2 n × 2 n , элементы которой являются 2-формами, поэтому она является матрицей над коммутативным кольцом . Следовательно, пфаффиан является 2 n -формой. Это также инвариантный многочлен .
Однако в целом теорема Черна такова, что для любого замкнутого ориентируемое n -мерное M , [5]
где спаривание (,) обозначает колпачок продукт с классом Эйлера из касательного расслоения ТМ.
Доказательства
В 1944 году общая теорема была впервые доказана С.С. Черном в классической статье, опубликованной математическим факультетом Принстонского университета . [8]
В 2013 году также было найдено доказательство теоремы с помощью суперсимметричных евклидовых теорий поля . [3]
Приложения
Теорема Черна – Гаусса – Бонне может рассматриваться как частный случай в теории характеристических классов . Подынтегральное выражение Черна - это класс Эйлера . Поскольку это дифференциальная форма высшей размерности, она замкнута. Естественность средств класса Эйлера, при изменении римановой метрики , один остается в том же классе когомологий . Это означает, что интеграл класса Эйлера остается постоянным при изменении метрики и, таким образом, является глобальным инвариантом гладкой структуры. [6]
Теорема также нашла множество приложений в физике , в том числе: [6]
- адиабатическая фаза или фаза Берри ,
- теория струн ,
- физика конденсированного состояния ,
- Топологическая квантовая теория поля ,
- топологические фазы материи (см. Нобелевскую премию по физике 2016 г., присужденную Дунканом Холдейном и др.).
Особые случаи
Четырехмерные многообразия
В измерении , для компактного ориентированного многообразия получаем
где - полный тензор кривизны Римана ,- тензор кривизны Риччи , а- скалярная кривизна . Это особенно важно в общей теории относительности , где пространство-время рассматривается как 4-мерное многообразие.
Теорема Гаусса – Бонне.
Теорема Гаусса – Бонне - частный случай, когда M - двумерное многообразие. Он возникает как частный случай, когда топологический индекс определяется в терминах чисел Бетти, а аналитический индекс определяется в терминах подынтегрального выражения Гаусса – Бонне.
Как и в случае двумерной теоремы Гаусса – Бонне, существуют обобщения, когда M - многообразие с краем .
Дальнейшие обобщения
Атья – Сингер
Глубоким обобщением теоремы Гаусса – Бонне является теорема Атьи – Зингера об индексе . [6]
Позволять - слабоэллиптический дифференциальный оператор между векторными расслоениями. Это означает, что главный символ - изоморфизм . Кроме того, сильная эллиптичность требует, чтобы символ был положительно определенным .
Позволять - сопряженный к нему оператор . Тогда аналитический индекс определяется как
- dim (ker ( D )) - dim (ker ( D *)),
По эллиптичности это всегда конечно. Теорема об индексе утверждает, что это значение постоянно, поскольку эллиптический оператор изменяется плавно. Он равен топологическому индексу , который может быть выражен в терминах характеристических классов, таких как класс Эйлера .
Теорема Черна – Гаусса – Бонне выводится путем рассмотрения оператора Дирака
Нечетные размеры
Формула Чена определена для четных измерений, поскольку характеристика Эйлера равна нулю для нечетных измерений. В настоящее время проводятся исследования по «скручиванию» теоремы об индексе в K-теории, чтобы получить нетривиальные результаты для нечетной размерности. [9] [10]
Существует также версия формулы Чена для орбифолдов . [11]
История
Шиинг-Шен Черн опубликовал свое доказательство теоремы в 1944 году, когда работал в Институте перспективных исследований . Исторически это был первый раз, когда формула была доказана без предположения, что многообразие встроено в евклидово пространство, что и означает «внутреннее». Частный случай гиперповерхности (n-1-мерного подмногообразия в n-мерном евклидовом пространстве) был доказан Х. Хопфом, в котором подынтегральное выражение является кривизной Гаусса-Кронекера (произведением всех главных кривизны в точке гиперповерхность). Это было независимо обобщено Аллендёрфером в 1939 г. и Фенхелем в 1940 г. на риманово подмногообразие евклидова пространства любой коразмерности, для чего они использовали кривизну Липшица-Киллинга (среднее значение кривизны Гаусса-Кронекера вдоль каждого вектора единичной нормали по единичному вектору нормали). сфера в нормальном пространстве; для четномерного подмногообразия это инвариант, зависящий только от римановой метрики подмногообразия). Их результат был бы верен для общего случая, если бы можно было предположить теорему вложения Нэша . Однако тогда эта теорема не была доступна, так как Джон Нэш опубликовал свою знаменитую теорему вложения для римановых многообразий в 1956 году. В 1943 году Аллендёрфер и Вейль опубликовали свое доказательство для общего случая, в котором они впервые использовали аппроксимационную теорему Х. Уитни для сведения случай с аналитическими римановыми многообразиями, то они вложили "малые" окрестности многообразия изометрически в евклидово пространство с помощью локальной теоремы вложения Картана-Жане, так что они могут склеить эти вложенные окрестности вместе и применить вышеупомянутую теорему Аллендёрфера и Фенчел, чтобы установить глобальный результат. Это, конечно, неудовлетворительно по той причине, что теорема включает только внутренние инварианты многообразия, тогда справедливость теоремы не должна зависеть от ее вложения в евклидово пространство. Вейль встретился с Черном в Принстоне после его прибытия в августе 1943 года. Он сказал Черну, что, по его мнению, должно быть внутреннее доказательство, которое Черн смог получить в течение двух недель. Результатом стала классическая статья Черна «Простое внутреннее доказательство формулы Гаусса-Бонне для замкнутых римановых многообразий», опубликованная в Annals of Mathematics в следующем году. Черн в этой статье цитирует более ранние работы Аллендёрфера, Фенхеля, Аллендёрфера и Вейля. Работы Аллендорфера и Вейля также цитировались Черном в его второй статье, относящейся к той же теме. [4]
Смотрите также
- Гомоморфизм Черна – Вейля
- Черн класс
- Форма Черна – Саймонса
- Теория Черна – Саймонса
- Число Понтрягина
- Понтрягин класс
- Когомологии де Рама
- Фаза Берри
- Теорема Атьи – Зингера об индексе
- Теорема Римана – Роха.
Рекомендации
- ^ Gilkey, P .; Парк, JH (2014-09-16). «Доказательство теоремы Черна-Гаусса-Бонне для неопределенных сигнатурных метрик с использованием аналитического продолжения». arXiv : 1405.7613 [ math.DG ].
- ^ Бузано, Рето; Нгуен, Хай (2019-04-01). "Многомерная формула Черна – Гаусса – Бонне для особых конформно плоских многообразий" . Журнал геометрического анализа . 29 (2): 1043–1074. DOI : 10.1007 / s12220-018-0029-Z . ISSN 1559-002X .
- ^ а б Берик-Эванс, Дэниел (2013-10-20). "Теорема Черна-Гаусса-Бонне через суперсимметричные евклидовы теории поля". arXiv : 1310,5383 [ math.AT ].
- ^ а б Черн, Шиинг-шен (октябрь 1945 г.). «Об интегре Курватуры в римановом многообразии». Анналы математики . 46 (4): 674–684. DOI : 10.2307 / 1969203 . JSTOR 1969 203 .
- ^ а б Морита, Шигеюки (28 августа 2001 г.). Геометрия дифференциальных форм . Переводы математических монографий. 201 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. DOI : 10.1090 / mmono / 201 . ISBN 9780821810453.
- ^ а б в г Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии . Cycon, HL (Hans Ludwig), 1942-, Simon, Barry, 1946-, Beiglböck, E., 1939-. Берлин: Springer-Verlag. 1987. ISBN. 978-0387167589. OCLC 13793017 .CS1 maint: другие ( ссылка )
- ^ Белл, Денис (сентябрь 2006 г.). «Теорема Гаусса – Бонне для векторных расслоений». Журнал геометрии . 85 (1-2): 15-21. arXiv : math / 0702162 . DOI : 10.1007 / s00022-006-0037-1 . S2CID 6856000 .
- ^ Черн, Шиинг-Шэнь (октябрь 1944 г.). "Простое внутреннее доказательство формулы Гаусса-Бонне для замкнутых римановых многообразий" . Анналы математики . 45 (4): 747–752. DOI : 10.2307 / 1969302 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1969302 .
- ^ «Почему теорема Гаусса-Бонне применима только к четному числу измерений?» . Обмен математическими стеками . 26 июня 2012 . Проверено 8 мая 2019 .
- ^ Ли, Инь (2011). «Теорема Гаусса – Бонне – Черна о римановых многообразиях». arXiv : 1111.4972 [ math.DG ]. Неизвестный параметр
|url=
игнорируется ( справка ) - ^ "Есть ли теорема Черна-Гаусса-Бонне для орбифолдов?" . MathOverflow . 26 июня 2011 . Проверено 8 мая 2019 .