Теорема периодичности Ботта

В математике , то периодичность Ботт теорема описывает периодичность в гомотопических группах из классических групп , обнаруженных Рауль Ботт  ( 1957 , 1959 ), которые оказались в основополагающем значении для большого количества дальнейших исследований, в частности , в К-теории устойчивого комплексного вектора расслоения , а также стабильные гомотопические группы сфер . Периодичность Ботта может быть сформулирована множеством способов, при этом рассматриваемая периодичность всегда проявляется как явление периода-2 по отношению к размерности для теории, связанной с унитарной группой . См. Напримертопологическая K-теория .

Существуют соответствующие явления периода 8 для теорий согласования, ( реальной ) KO-теории и ( кватернионной ) KSp-теории , связанных с реальной ортогональной группой и кватернионной симплектической группой , соответственно. J-гомоморфизм есть гомоморфизм гомотопических групп ортогональных групп к стабильным гомотопическим группам сфер , что вызывает период 8 периодичность Ботта , чтобы быть видимым в стабильных гомотопических групп сфер.

Отчет о результате [ править ]

Боттовский показали , что , если определяются как индуктивный предел из ортогональных групп , то его гомотопические группы являются периодическими: ^[1]${\displaystyle O(\infty )}$

${\displaystyle \pi _{n}(O(\infty ))\simeq \pi _{n+8}(O(\infty ))}$

и первые 8 гомотопических групп следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{1}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{2}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{3}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \\\pi _{4}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{5}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{6}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{7}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Контекст и значение [ править ]

Контекст периодичности Ботта является то , что гомотопические группы из сфер , которые следовало бы ожидать , чтобы играть основную роль в алгебраической топологии по аналогии с теорией гомологии , оказались неуловимы (и теория усложняется). Предмет теории стабильной гомотопии был задуман как упрощение путем введения операции приостановки ( разбить продукт с кругом ) и наблюдения за тем, что (грубо говоря) осталось от теории гомотопии, как только можно было приостановить обе части уравнения, а именно: раз, как хотелось бы. Стабильная теория все еще была трудной для практических расчетов.

Периодичность Ботта предлагала понимание некоторых весьма нетривиальных пространств, имеющих центральный статус в топологии из-за связи их когомологий с характеристическими классами , для которых можно было вычислить все ( нестабильные ) гомотопические группы. Эти пространства представляют собой (бесконечные или стабильные ) унитарные, ортогональные и симплектические группы U , O и Sp. В этом контексте стабильный относится к объединению U (также известному как прямой предел ) последовательности включений

${\displaystyle U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U(k)}$

и аналогично для O и Sp. Обратите внимание, что использование Боттом слова « стабильный» в названии своей основополагающей статьи относится к этим стабильным классическим группам, а не к стабильным гомотопическим группам.

Важная связь периодичности Ботта со стабильными гомотопическими группами сфер происходит через так называемый стабильный J -гомоморфизм от (нестабильных) гомотопических групп (стабильных) классических групп к этим стабильным гомотопическим группам . Первоначально описанный Джорджем Уайтхедом , он стал предметом знаменитой гипотезы Адамса (1963), окончательно разрешенной положительно Дэниелом Квилленом (1971).${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$

Первоначальные результаты Ботта можно кратко изложить в:

Следствие: (Неустойчивые) гомотопические группы (бесконечных) классических групп периодичны:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatorname {Sp} )\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Примечание: второй и третий из этих изоморфизмов переплетаются, чтобы получить результаты с 8-кратной периодичностью:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(O)&=\pi _{k+8}(O)\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+8}(\operatorname {Sp} ),&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Пространства петель и классифицирующие пространства [ править ]

Для теории, связанной с бесконечной унитарной группой , U , пространство BU является классифицирующим пространством для стабильных комплексных векторных расслоений ( грассманиан в бесконечных измерениях). Одна формулировка периодичности Ботта описывает пространство петель в два раза, Ом ² BU из БУ . Здесь Ω - функтор пространства петель , сопряженный справа к надстройке и сопряженный слева к конструкции классифицирующего пространства . Периодичность Ботта утверждает, что это пространство двойной петли снова по существу является BU ; точнее,

${\displaystyle \Omega ^{2}BU\simeq \mathbb {Z} \times BU}$

по существу (то есть гомотопически эквивалентно ) объединению счетного числа копий BU . Эквивалентная формулировка:

${\displaystyle \Omega ^{2}U\simeq U.}$

Любой из них немедленно показывает, почему (комплексная) топологическая K -теория является двумерной периодической теорией.

В соответствующей теории для бесконечной ортогональной группы , O , пространство BO является классифицирующим пространством для стабильных реальных векторных расслоений . В этом случае периодичность Ботта утверждает, что для 8-кратного пространства петель

${\displaystyle \Omega ^{8}BO\simeq \mathbb {Z} \times BO;}$

или, что эквивалентно,

${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O,}$

откуда следует, что KO -теория является 8-кратной периодической теорией. Кроме того, для бесконечной симплектической группы Sp пространство BSp является классифицирующим пространством для стабильных кватернионных векторных расслоений , а периодичность Ботта утверждает, что

${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {BSp} \simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} ;}$

или эквивалентно

${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {Sp} \simeq \operatorname {Sp} .}$

Таким образом , оба топологической реальных К -теория (также известная как KO -теория) и топологический кватернионно К -теория (также известная как KSP-теория) 8-кратная периодические теории.

Геометрическая модель петлевых пространств [ править ]

Одна изящная формулировка периодичности Ботта использует наблюдение, что существуют естественные вложения (как замкнутые подгруппы) между классическими группами. Пространства петель в периодичности Ботт тогда гомотопически эквивалентны симметрические пространства последовательных дробей, с дополнительными дискретными факторами Z .

По комплексным числам:

${\displaystyle U\times U\subset U\subset U\times U.}$

По действительным числам и кватернионам:

${\displaystyle O\times O\subset O\subset U\subset \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \subset U\subset O\subset O\times O.}$

Эти последовательности соответствуют последовательностям в алгебрах Клиффорда - см. Классификацию алгебр Клиффорда ; над комплексными числами:

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} .}$

По действительным числам и кватернионам:

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,}$

где алгебры с делением обозначают «матрицы над этой алгеброй».

Поскольку они являются 2-периодическими / 8-периодическими, их можно расположить по кругу, где они называются часами периодичности Ботта и часами алгебры Клиффорда .

Затем результаты периодичности Ботта уточняются до последовательности гомотопических эквивалентностей :

Для комплексной K -теории:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega U&\simeq \mathbb {Z} \times BU=\mathbb {Z} \times U/(U\times U)\\\Omega (Z\times BU)&\simeq U=(U\times U)/U\end{aligned}}}$

Для реального и кватернионного KO - и KSP-теории:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (\mathbb {Z} \times BO)&\simeq O=(O\times O)/O&\Omega (\mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} )&\simeq \operatorname {Sp} =(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )/\operatorname {Sp} \\\Omega O&\simeq O/U&\Omega \operatorname {Sp} &\simeq \operatorname {Sp} /U\\\Omega (O/U)&\simeq U/\operatorname {Sp} &\Omega (\operatorname {Sp} /U)&\simeq U/O\\\Omega (U/\operatorname {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatorname {Sp} /(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}}$

Полученные пространства гомотопически эквивалентны классическим редуктивным симметрическим пространствам и являются последовательными частными членов часов периодичности Ботта. Эти эквивалентности немедленно дают теоремы периодичности Ботта.

Конкретными пространствами являются, ^{[примечание 1]} (для групп также указано главное однородное пространство ):

Пространство петли	Частное	Этикетка Картана	Описание
${\displaystyle \Omega ^{0}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times O/(O\times O)}$	BDI	Реальный грассманиан
${\displaystyle \Omega ^{1}}$	${\displaystyle O=(O\times O)/O}$		Ортогональная группа (вещественное многообразие Штифеля )
${\displaystyle \Omega ^{2}}$	${\displaystyle O/U}$	DIII	пространство сложных структур, совместимых с данной ортогональной структурой
${\displaystyle \Omega ^{3}}$	${\displaystyle U/\mathrm {Sp} }$	AII	пространство кватернионных структур, совместимых с данной сложной структурой
${\displaystyle \Omega ^{4}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathrm {Sp} /(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )}$	CII	Кватернионный грассманиан
${\displaystyle \Omega ^{5}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} =(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )/\mathrm {Sp} }$		Симплектическая группа (кватернионное многообразие Штифеля )
${\displaystyle \Omega ^{6}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} /U}$	CI	комплексный лагранжев грассманиан
${\displaystyle \Omega ^{7}}$	${\displaystyle U/O}$	AI	Лагранжев грассманиан

Доказательства [ править ]

Первоначальное доказательство Ботта ( Ботт, 1959 ) использовало теорию Морса , которую Ботт (1956) ранее использовал для изучения гомологии групп Ли. Было дано много разных доказательств.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ботт, Рауль (1956), "Приложение теории Морса к топологии групп Ли", Bulletin de la Société Mathématique de France , 84 : 251–281, doi : 10.24033 / bsmf.1472 , ISSN  0037-9484 , Руководство по ремонту  0087035
• Ботт, Raoul (1957), «Стабильный Гомотопическое классических групп», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 43 (10): 933-5, DOI : 10.1073 / pnas.43.10.933 , JSTOR  89403 , МР  0102802 , КУП  528555 , PMID  16590113
• Боттовский, Рауль (1959), "Стабильный Гомотопический классических группы", Annals математики , вторая серия 70 (2): 313-337, DOI : 10,2307 / 1970106 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970106 , МР  0110104 , PMC  528555
• Боттовский, Р. (1970), "Теорема периодичности для классических групп и некоторые его применения" , достижениям в области математики , 4 (3): 353-411, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (70) 90030-7. Изложение теоремы и математики, окружающей ее.
• Giffen, CH (1996), "Периодичность Ботта и Q-конструкция" , в Banaszak, Grzegorz; Гайда, Войцех; Красонь, Петр (ред.), Алгебраическая K-теория , Современная математика, 199 , Американское математическое общество, стр. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, Руководство по ремонту  1409620
• Милнор, Дж. (1969). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9.
• Баэз, Джон (21 июня 1997 г.). «Неделя 105» . Находки этой недели по математической физике .