J-гомоморфизм

В математике , то J -гомоморфизм отображение из гомотопических групп этих специальных ортогональных групп к гомотопическим группам сфер . Он был определен Джорджем Уайтхедом  ( 1942 г. ), расширяя конструкцию Хайнца Хопфа  ( 1935 г. ).

Определение [ править ]

Исходный гомоморфизм Уайтхеда определяется геометрически и дает гомоморфизм

${\ Displaystyle J \ двоеточие \ pi _ {r} (\ mathrm {SO} (q)) \ to \ pi _ {r + q} (S ^ {q}) \, \!}$

абелевых групп для целых q , и . (Хопф определил это для особого случая .)${\ displaystyle r \ geq 2}$${\ Displaystyle д = г + 1}$

J -гомоморфизм может быть определен следующим образом . Элемент специальной ортогональной группы SO ( q ) можно рассматривать как отображение

${\ Displaystyle S ^ {q-1} \ rightarrow S ^ {q-1}}$

и гомотопическая группа ) состоит из гомотопических классов отображений r -сферы в SO ( q ). Таким образом, элемент может быть представлен картой${\ displaystyle \ pi _ {r} (\ operatorname {SO} (q))}$${\ displaystyle \ pi _ {r} (\ operatorname {SO} (q))}$

${\ Displaystyle S ^ {г} \ раз S ^ {q-1} \ rightarrow S ^ {q-1}}$

Применение конструкции Хопфа к этому дает карту

${\ Displaystyle S ^ {r + q} = S ^ {r} * S ^ {q-1} \ rightarrow S (S ^ {q-1}) = S ^ {q}}$

in , который Уайтхед определил как образ элемента при J-гомоморфизме.${\displaystyle \pi _{r+q}(S^{q})}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$

Переход к пределу при стремлении q к бесконечности дает устойчивый J -гомоморфизм в стабильной теории гомотопий :

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} )\to \pi _{r}^{S},\,\!}$

где ТАК бесконечная специальная ортогональная группа , а правая часть является г -й стабильным стволовым из стабильных гомотопических групп сфер .

Образ J-гомоморфизма [ править ]

Образ J -гомоморфизма был описан Frank Adams  ( 1966 ), предполагая , что Adams гипотезу о Адамса (1963) , которая была доказана Квиллен  ( 1971 ), следующим образом . Группа задается периодичностью Ботта . Это всегда циклично; и если r положительно, он имеет порядок 2, если r равен 0 или 1 по модулю 8, бесконечен, если r равен 3, по модулю 4, и порядок 1 в противном случае ( Switzer 1975 , p. 488). В частности, образ стабильного J -гомоморфизма циклический. Стабильные гомотопические группы${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$${\displaystyle \pi _{r}^{S}}$являются прямой суммой (циклического) образа J -гомоморфизма и ядра е-инварианта Адамса ( Adams, 1966 ), гомоморфизма от стабильных гомотопических групп к . Порядок изображения равен 2, если r равно 0 или 1 по модулю 8 и положительно (так что в этом случае J -гомоморфизм инъективен). Если 3 mod 4 и положительное значение, изображение является циклической группой порядка, равного знаменателю , где - число Бернулли . В остальных случаях, когда r равно 2, 4, 5 или 6 по модулю 8, изображение тривиально, потому что оно тривиально.${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle r=4n-1}$${\displaystyle B_{2n}/4n}$${\displaystyle B_{2n}}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$

р	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
π r (SO)	1	2	1	Z	1	1	1	Z	2	2	1	Z	1	1	1	Z	2	2
| im ( J ) |	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
π r S	Z	2	2	24	1	1	2	240	2 2	2 3	6	504	1	3	2 2	480 × 2	2 2	2 4
B 2 n				1 ⁄ 6				- 1 ⁄ 30				1 ⁄ 42				- 1 ⁄ 30

Приложения [ править ]

Атья (1961) ввел группу J ( X ) пространства X , которая для X является сферой как образ J -гомоморфизма в подходящей размерности.

Коядро из J -гомоморфизма появляется в группе экзотических сфер ( Косинский (1992) ). harvtxt error: no target: CITEREFKosinski1992 (help)

Ссылки [ править ]

• Атия, Майкл Фрэнсис (1961), "комплексы Тома", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 11 : 291-310, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-11.1.291 , MR  0131880
• Адамс, Дж. Ф. (1963), «О группах J (X) I», Топология , 2 (3): 181, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (63) 90001-6
• Адамс, Дж. Ф. (1965a), «О группах J (X) II», Топология , 3 (2): 137, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (65) 90040-6
• Адамс, Дж. Ф. (1965b), «О группах J (X) III», Топология , 3 (3): 193, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (65) 90054-6
• Адамс, Дж. Ф. (1966), «О группах J (X) IV», Топология , 5 : 21, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (66) 90004-8. «Коррекция», Топология , 7 (3): 331, 1968, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (68) 90010-4
• Хопф, Хайнц (1935), «Убер Die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension» , Fundamenta Mathematicae , 25 : 427–440
• Косинский, Антони А. (1992), Дифференциальные многообразия , Сан-Диего, Калифорния: Academic Press , стр.  195ff , ISBN 0-12-421850-4
• Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 58 (6): 804–809
• Куиллен, Дэниел (1971), «Гипотеза Адамса», Топология , 10 : 67–80, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (71) 90018-8 , MR  0279804
• Свитцер, Роберт М. (1975), Алгебраическая топология - гомотопии и гомологии , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06758-2
• Уайтхед, George W. (1942), "О гомотопических групп сфер и групп вращений", Анналы математики , второй серии, 43 (4): 634-640, DOI : 10,2307 / 1968956 , JSTOR  1968956 , MR  0007107
• Уайтхед, Джордж У. (1978), Элементы теории гомотопии , Берлин: Springer , ISBN 0-387-90336-4, Руководство по ремонту  0516508