Гомотопические группы сфер
В математической области алгебраической топологии гомотопические группы сфер описывают, как сферы различных размеров могут обернуться друг вокруг друга. Они являются примерами топологических инвариантов , которые в алгебраических терминах отражают структуру сфер, рассматриваемых как топологические пространства , забывая об их точной геометрии. В отличие от групп гомологий , которые также являются топологическими инвариантами, гомотопические группы удивительно сложны и трудны для вычисления.
n - мерная единичная сфера — для краткости называемая n -сферой и обозначаемая как Sn — обобщает знакомый круг ( S1 ) и обычную сферу ( S2 ) . n -сфера может быть определена геометрически как множество точек в евклидовом пространстве размерности n + 1 , расположенных на единичном расстоянии от начала координат. i - я гомотопическая группа π i ( S n ) суммирует различные способы, которымиi - мерную сферу S i можно непрерывно отображать в n - мерную сферу S n . Это резюме не различает два отображения, если одно можно непрерывно деформировать в другое; таким образом, суммируются только классы эквивалентности отображений. Операция «сложения», определенная для этих классов эквивалентности, превращает набор классов эквивалентности в абелеву группу .
Задача определения π i ( S n ) делится на три режима, в зависимости от того, меньше ли i , равно или больше n :
Вопрос о вычислении гомотопической группы π n + k ( S n ) для положительного k оказался центральным вопросом алгебраической топологии, который способствовал развитию многих ее фундаментальных методов и послужил стимулирующим направлением исследований. Одно из главных открытий состоит в том, что гомотопические группы πn + k ( Sn ) не зависят от n при n ≥k + 2 . Они называются стабильными гомотопическими группами сфер и вычисляются для значений kдо 64. Стабильные гомотопические группы образуют кольцо коэффициентов экстраординарной теории когомологий , называемой стабильной теорией когомотопий . Неустойчивые гомотопические группы (при n < k + 2 ) более ошибочны; тем не менее, они были сведены в таблицу для k < 20 . В большинстве современных вычислений используются спектральные последовательности — метод, впервые примененный к гомотопическим группам сфер Жаном-Пьером Серром . Было установлено несколько важных закономерностей, однако многое остается неизвестным и необъяснимым.
Изучение гомотопических групп сфер основывается на большом объеме исходного материала, который здесь кратко рассматривается. Алгебраическая топология обеспечивает более широкий контекст, построенный на топологии и абстрактной алгебре , с гомотопическими группами в качестве основного примера.
Обычная сфера в трехмерном пространстве — поверхность, а не сплошной шар — это всего лишь один пример того, что означает сфера в топологии. Геометрия определяет сферу жестко, как форму. Вот несколько альтернатив.
