В этой статье не процитировать какие - либо источники . ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , слабая сходимость в гильбертовом пространстве является конвергенцией из последовательности точек в слабой топологии .
Определение [ править ]
Последовательность точек в гильбертовом пространстве Н называется слабо сходятся к точке х в Н , если
для всех у в Н . Здесь понимается скалярное произведение в гильбертовом пространстве. Обозначение
иногда используется для обозначения такого рода сходимости.
Свойства [ править ]
- Если последовательность сходится сильно (т. Е. Сходится по норме), то она также сходится слабо.
- Поскольку каждое замкнутое и ограниченное множество слабо относительно компактно (его замыкание в слабой топологии компактно), любая ограниченная последовательность в гильбертовом пространстве H содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Обратите внимание, что замкнутые и ограниченные множества, вообще говоря, не являются слабо компактными в гильбертовых пространствах (рассмотрим множество, состоящее из ортонормированного базиса в бесконечномерном гильбертовом пространстве, которое является замкнутым и ограниченным, но не слабо компактным, поскольку оно не содержит 0). Однако ограниченные и слабо замкнутые множества слабо компактны, поэтому каждое выпуклое ограниченное замкнутое множество слабо компактно.
- Вследствие принципа равномерной ограниченности любая слабо сходящаяся последовательность ограничена.
- Норма (последовательно) слабо полунепрерывна снизу : если слабо сходится к x , то
- и это неравенство строгое, если сходимость не сильная. Например, бесконечные ортонормированные последовательности слабо сходятся к нулю, как показано ниже.
- Если сходится слабо к и у нас есть дополнительное предположение, что , то сходится сильно к:
- Если гильбертово пространство конечномерно, т. Е. Евклидово пространство , то понятия слабой и сильной сходимости совпадают.
Пример [ править ]
Гильбертово пространство - это пространство интегрируемых с квадратом функций на интервале, снабженном скалярным произведением, определяемым формулой
(см. пространство L p ). Последовательность функций, определяемая
слабо сходится к нулевой функции по , так как интеграл
стремится к нулю для любой интегрируемой с квадратом функции на, когда стремится к бесконечности, что соответствует лемме Римана – Лебега , т. е.
Несмотря на то, что число нулей увеличивается по мере приближения к бесконечности, оно, конечно, не равно нулевой функции ни для одной из них . Обратите внимание, что не сходится к 0 в нормах или . Это несходство - одна из причин, почему этот тип конвергенции считается «слабым».
Слабая сходимость ортонормированных последовательностей [ править ]
Рассмотрим последовательность, которая была построена как ортонормированная, то есть
где равно единице, если m = n, и нулю в противном случае. Мы утверждаем, что если последовательность бесконечна, то она слабо сходится к нулю. Простое доказательство состоит в следующем. Для x ∈ H имеем
- ( Неравенство Бесселя )
где равенство выполняется, когда { e n } является базисом гильбертова пространства. Следовательно
- (поскольку указанный выше ряд сходится, соответствующая ему последовательность должна стремиться к нулю)
т.е.
Теорема Банаха – Сакса [ править ]
Теорема Банаха – Сакса утверждает, что каждая ограниченная последовательность содержит подпоследовательность и точку x такие, что
сильно сходится к x при стремлении N к бесконечности.
Обобщения [ править ]
Определение слабой сходимости распространяется на банаховы пространства . Говорят, что последовательность точек в банаховом пространстве B слабо сходится к точке x в B, если
для любого ограниченного линейного функционала, определенного на , т. е. для любого в сопряженном пространстве . Если - пространство Lp на , и тогда любое такое имеет вид
Для некоторых , где и является мерой на .
В том случае , когда есть гильбертово пространство, то, по теореме Рисса ,
для некоторого in , так что получается определение слабой сходимости в гильбертовом пространстве.