Большой канонический ансамбль

Статистическая механика
Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика косы
Термодинамические ансамбли NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический NPT Изотермический-изобарный
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Потенциал Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose
v т е

В статистической механике , А большой канонический ансамбль (также известный как macrocanonical ансамбль) является статистическим ансамблем , который используется для представления возможных состояний механической системы частиц, находящихся в термодинамическом равновесии (термического и химическом) с резервуаром. ^[1] Система называется открытой в том смысле, что система может обмениваться энергией и частицами с резервуаром, так что различные возможные состояния системы могут различаться как по их полной энергии, так и по общему количеству частиц. Объем, форма и другие внешние координаты системы остаются неизменными во всех возможных состояниях системы.

Термодинамическими переменными большого канонического ансамбля являются химический потенциал (символ: µ ) и абсолютная температура (символ: T ). Ансамбль также зависит от механических переменных, таких как объем (символ: V ), которые влияют на характер внутренних состояний системы. Поэтому этот ансамбль иногда называют ансамблем µVT , поскольку каждая из этих трех величин является константами ансамбля.

Основы [ править ]

Проще говоря, большой канонический ансамбль присваивает вероятность P каждому отдельному микросостоянию, заданному следующей экспонентой:

${\ Displaystyle P = e ^ {\ frac {\ Omega + \ mu NE} {kT}},}$

где N - количество частиц в микросостоянии, а E - полная энергия микросостояния. k - постоянная Больцмана .

Число Ω известно как большой потенциал и постоянно для ансамбля. Однако вероятности и Ω будут изменяться, если будут выбраны разные µ , V , T. Большой потенциал Ω выполняет две роли: обеспечивать коэффициент нормализации для распределения вероятностей (вероятности по полному набору микросостояний должны в сумме равняться единице); и многие важные средние по ансамблю могут быть непосредственно вычислены из функции Ω ( µ , V , T ) .

В случае, когда разрешено изменять количество частиц более одного вида, вероятностное выражение обобщается на

${\ displaystyle P = e ^ {\ frac {\ Omega + \ mu _ {1} N_ {1} + \ mu _ {2} N_ {2} + \ ldots + \ mu _ {s} N_ {s} - E} {kT}},}$

где µ ₁ - химический потенциал для частиц первого типа, N ₁ - количество частиц этого типа в микросостоянии, µ ₂ - химический потенциал для частиц второго типа и т. д. ( s - количество различных виды частиц). Однако эти числа частиц следует определять осторожно (см. Примечание о сохранении числа частиц ниже).

Большие ансамбли подходят для использования при описании таких систем, как электроны в проводнике или фотоны в полости, где форма фиксирована, но энергия и количество частиц могут легко колебаться из-за контакта с резервуаром (например, электрическим земля или темная поверхность , в этих случаях). Большой канонический ансамбль обеспечивает естественную среду для точного вывода статистики Ферми – Дирака или статистики Бозе – Эйнштейна для системы невзаимодействующих квантовых частиц (см. Примеры ниже).

Примечание по рецептуре

Альтернативная формулировка той же концепции записывает вероятность как , используя большую статистическую сумму, а не большой потенциал. Уравнения в этой статье (в терминах большого потенциала) могут быть переформулированы в терминах большой статистической суммы с помощью простых математических манипуляций.${\ displaystyle \ textstyle P = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} e ^ {(\ mu NE) / (kT)}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle {\ mathcal {Z}} = е ^ {- \ Omega / (kT)}}$

Применимость [ править ]

Большой канонический ансамбль - это ансамбль, который описывает возможные состояния изолированной системы, которая находится в тепловом и химическом равновесии с резервуаром (вывод происходит по аналогии с выводом термостата нормального канонического ансамбля , и его можно найти в Reif ^[2] ). Большой канонический ансамбль применим к системам любого размера, маленького или большого; необходимо только предположить, что резервуар, с которым он контактирует, намного больше (т. е. принять макроскопический предел ).

Условие изолированности системы необходимо для того, чтобы гарантировать, что она имеет четко определенные термодинамические величины и эволюцию. ^[1] На практике, однако, желательно применять большой канонический ансамбль для описания систем, которые находятся в непосредственном контакте с резервуаром, поскольку именно этот контакт обеспечивает равновесие. Использование большого канонического ансамбля в этих случаях обычно оправдывается либо 1) предположением, что контакт является слабым, либо 2) включением части соединения резервуара в анализируемую систему, так что влияние соединения на область правильно смоделирован интерес. В качестве альтернативы можно использовать теоретические подходы для моделирования влияния связи, что дает открытый статистический ансамбль.

Другой случай, когда возникает большой канонический ансамбль, - это рассмотрение большой и термодинамической системы (системы, находящейся «в равновесии с самой собой»). Даже если точные условия системы на самом деле не допускают вариаций энергии или числа частиц, большой канонический ансамбль можно использовать для упрощения расчетов некоторых термодинамических свойств. Причина этого в том, что различные термодинамические ансамбли ( микроканонические , канонические ) становятся в некоторых аспектах эквивалентными большому каноническому ансамблю, если система очень велика. ^{[примечание 1]}Конечно, для небольших систем разные ансамбли больше не эквивалентны даже в среднем. В результате большой канонический ансамбль может быть очень неточным при применении к небольшим системам с фиксированным числом частиц, таким как атомные ядра. ^[3]

Свойства [ править ]

Большой потенциал, средние по ансамблю и точные дифференциалы [ править ]

Частные производные функции Ω ( µ ₁ ,…, µ _s , V , T ) дают важные средние величины большого канонического ансамбля: ^{[1] [4]}

Точный дифференциал : из приведенных выше выражений видно, что функция Ω имеет точный дифференциал

${\displaystyle d\Omega =-SdT-\langle N_{1}\rangle d\mu _{1}\ldots -\langle N_{s}\rangle d\mu _{s}-\langle p\rangle dV.}$

Первый закон термодинамики : Подставляя выше соотношение для ⟨ E ⟩ в точный дифференциал Ом , уравнение аналогично первый закон термодинамики найден, за исключением того, со средними знаками на некоторых из величин: ^[1]

${\displaystyle d\langle E\rangle =TdS+\mu _{1}d\langle N_{1}\rangle \ldots +\mu _{s}d\langle N_{s}\rangle -\langle p\rangle dV.}$

Термодинамические флуктуации . Различия в энергии и количестве частиц равны ^{[5] [6]}

${\displaystyle \langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}+kT\mu _{1}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial \mu _{1}}}+kT\mu _{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial \mu _{2}}}+\ldots ,}$

${\displaystyle \langle N_{1}^{2}\rangle -\langle N_{1}\rangle ^{2}=kT{\frac {\partial \langle N_{1}\rangle }{\partial \mu _{1}}}.}$

Корреляции флуктуаций . Ковариации числа частиц и энергии равны ^[1]

${\displaystyle \langle N_{1}N_{2}\rangle -\langle N_{1}\rangle \langle N_{2}\rangle =kT{\frac {\partial \langle N_{2}\rangle }{\partial \mu _{1}}}=kT{\frac {\partial \langle N_{1}\rangle }{\partial \mu _{2}}}.}$

${\displaystyle \langle N_{1}E\rangle -\langle N_{1}\rangle \langle E\rangle =kT{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial \mu _{1}}},}$

Примеры ансамблей [ править ]

Полезность большого канонического ансамбля иллюстрируется приведенными ниже примерами. В каждом случае великий потенциал рассчитывается на основе соотношения

${\displaystyle \Omega =-kT\ln \left(\sum _{\text{microstates}}e^{\frac {\mu N-E}{kT}}\right)}$

что требуется для суммирования вероятностей микросостояний до 1.

Статистика невзаимодействующих частиц [ править ]

Бозоны и фермионы (квантовые) [ править ]

В частном случае квантовой системы многих невзаимодействующих частиц термодинамику легко вычислить. ^[7] Поскольку частицы не взаимодействуют, можно вычислить серию одночастичных стационарных состояний , каждое из которых представляет собой отделимую часть, которую можно включить в общее квантовое состояние системы. А пока давайте назовем эти одночастичные стационарные состояния орбиталями (чтобы не путать эти «состояния» с общим состоянием многих тел) с условием, что каждое возможное внутреннее свойство частицы ( спин или поляризация ) считается отдельной орбиталью. . Каждая орбиталь может быть занята частицей (или частицами) или может быть пустой.

Поскольку частицы не взаимодействуют, мы можем принять точку зрения, что каждая орбиталь образует отдельную термодинамическую систему . Таким образом, каждая орбиталь сама по себе представляет собой грандиозный канонический ансамбль, настолько простой, что его статистика может быть немедленно выведена здесь. Сосредоточившись только на одной орбитали, обозначенной i , полная энергия микросостояния из N частиц на этой орбитали будет Nϵ _i , где ϵ _i - характерный уровень энергии этой орбитали. Большой потенциал орбитали задается одной из двух форм, в зависимости от того, является ли орбиталь бозонной или фермионной:

В каждом случае значение дает термодинамическое среднее число частиц на орбитали: распределение Ферми – Дирака для фермионов и распределение Бозе – Эйнштейна для бозонов. Рассматривая снова всю систему, общий большой потенциал находится путем сложения Ω _i для всех орбиталей.${\displaystyle \scriptstyle \langle N_{i}\rangle =-{\tfrac {\partial \Omega _{i}}{\partial \mu }}}$

Неразличимые классические частицы [ править ]

В классической механике также можно рассматривать неразличимые частицы (фактически, неразличимость является предпосылкой для последовательного определения химического потенциала; все частицы данного вида должны быть взаимозаменяемыми ^[1]). Мы снова рассматриваем возможность помещения нескольких частиц одного вида в одно и то же микросостояние одночастичного фазового пространства, которое мы снова называем «орбитальным». Однако по сравнению с квантовой механикой классический случай усложняется тем фактом, что микросостояние в классической механике относится не к одной точке в фазовом пространстве, а к расширенной области в фазовом пространстве: одно микросостояние содержит бесконечное количество состояний, все разные, но похожего характера. В результате, когда несколько частиц помещаются на одну и ту же орбиталь, общий набор частиц (в системном фазовом пространстве) считается не одним целым микросостоянием, а скорее лишь частьюмикросостояния, потому что идентичные состояния (образованные перестановкой одинаковых частиц) не должны быть пересчитаны. Поправочный коэффициент для пересчета - это факториал числа частиц.

Статистика в этом случае принимает форму экспоненциального степенного ряда

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{\rm {orb}}&=-kT\ln {\Big (}\sum _{N=0}^{\infty }{\frac {1}{N!}}e^{\frac {N\mu -N\epsilon _{\rm {orb}}}{kT}}{\Big )}\\&=-kT\ln {\Big (}e^{e^{\frac {\mu -\epsilon _{\rm {orb}}}{kT}}}{\Big )}\\&=-kTe^{\frac {\mu -\epsilon _{\rm {orb}}}{kT}},\end{aligned}}}$

значение, соответствующее статистике Максвелла – Больцмана .${\displaystyle \scriptstyle \langle N_{\rm {orb}}\rangle =-{\tfrac {\partial \Omega _{\rm {orb}}}{\partial \mu }}}$

Ионизация изолированного атома [ править ]

Большой канонический ансамбль можно использовать, чтобы предсказать, предпочитает ли атом находиться в нейтральном или ионизированном состоянии. Атом может существовать в ионизированном состоянии с большим или меньшим количеством электронов по сравнению с нейтральным. Как показано ниже, ионизированные состояния могут быть термодинамически предпочтительными в зависимости от окружающей среды. Рассмотрим упрощенную модель, в которой атом может находиться в нейтральном состоянии или в одном из двух ионизированных состояний (подробный расчет также включает факторы вырождения состояний ^[8] ):

• нейтральное состояние с N ₀ электронами и энергией E ₀ .
• окисляется состояние ( Н ₀ - 1 электронов) с энергией Е ₀ + Δ Е _Я + qφ
• уменьшается состояние ( Н ₀ + 1 электронов) с энергией Е ₀ - Д Е _А - qφ

Здесь Δ E _I и Δ E _A - энергия ионизации атома и сродство к электрону соответственно; ϕ - локальный электростатический потенциал в вакууме вблизи атома, - q - заряд электрона .

Таким образом, великий потенциал в этом случае определяется

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=-kT\ln {\Big (}e^{\frac {\mu N_{0}-E_{0}}{kT}}+e^{\frac {\mu N_{0}-\mu -E_{0}-\Delta E_{\rm {I}}-q\phi }{kT}}+e^{\frac {\mu N_{0}+\mu -E_{0}+\Delta E_{\rm {A}}+q\phi }{kT}}{\Big )}.\\&=E_{0}-\mu N_{0}-kT\ln {\Big (}1+e^{\frac {-\mu -\Delta E_{\rm {I}}-q\phi }{kT}}+e^{\frac {\mu +\Delta E_{\rm {A}}+q\phi }{kT}}{\Big )}.\\\end{aligned}}}$

Величина - qϕ - µ в этом случае имеет решающее значение для определения баланса между различными состояниями. Это значение определяется окружающей средой вокруг атома.

Если один из этих атомов поместить в вакуумный ящик, то - qϕ - µ = W , работа выхода материала футеровки ящика. Сравнивая таблицы работы выхода для различных твердых материалов с таблицами сродства к электрону и энергии ионизации для разновидностей атомов, становится ясно, что многие комбинации приведут к нейтральному атому, однако некоторые конкретные комбинации могут привести к тому, что атом предпочтет ионизированное состояние: например, атом галогена в иттербиевом боксе или атом цезия в вольфрамекоробка. При комнатной температуре эта ситуация нестабильна, так как атом имеет тенденцию адсорбироваться на открытой облицовке ящика вместо того, чтобы свободно плавать. Однако при высоких температурах атомы испаряются с поверхности в ионной форме; этот эффект спонтанной поверхностной ионизации был использован в качестве источника ионов цезия . ^[9]

При комнатной температуре этот пример находит применение в полупроводниках , где ионизация атома примеси хорошо описывается этим ансамблем. ^[8] В полупроводнике край зоны проводимости ϵ _C играет роль уровня энергии вакуума (заменяя - qϕ ), а µ известен как уровень Ферми . Конечно, энергия ионизации и сродство к электрону атома примеси сильно изменяются по сравнению с их вакуумными значениями. Типичная донорная легирующая примесь в кремнии, фосфор, имеет Δ E _I = 45 мэВ ; ^[10] значение ϵ_C - µ в собственном кремнии первоначально составляет около 600 мэВ , что гарантирует ионизацию примеси. Однако значение ϵ _C - µ сильно зависит от электростатики, поэтому при некоторых обстоятельствах можно деионизировать легирующую добавку.

Значение химического потенциала, обобщенное «число частиц» [ править ]

Чтобы число частиц имело связанный химический потенциал, оно должно сохраняться во время внутренней динамики системы и может изменяться только тогда, когда система обменивается частицами с внешним резервуаром.

Если частицы могут быть созданы из энергии во время динамики системы, то связанный член µN не должен появляться в вероятностном выражении для большого канонического ансамбля. По сути, это то же самое, что требование µ = 0 для такого типа частиц. Так обстоит дело с фотонами в черной полости , число которых регулярно меняется из-за поглощения и излучения на стенках полости. (С другой стороны, фотоны в резонаторе с высокой отражающей способностью могут сохраняться и иметь отличное от нуля µ . ^[11] )

В некоторых случаях количество частиц не сохраняется, и N представляет собой более абстрактную сохраняемую величину:

• Химические реакции : химические реакции могут преобразовывать один тип молекулы в другой; если реакции происходят, то N _i необходимо определить так, чтобы они не менялись во время химической реакции.
• Физика частиц высоких энергий : обычные частицы могут рождаться из чистой энергии, если создается соответствующая античастица . Если такой процесс разрешен, то не сохраняется ни количество частиц, ни количество античастиц. Вместо этого сохраняется N = (число частиц - число античастиц) . ^{[12] [примечание 3]} По мере увеличения энергии частиц появляется больше возможностей для преобразования между типами частиц, и поэтому остается меньше чисел, которые действительно сохраняются. При самых высоких энергиях сохраняются только электрический заряд , слабый изоспин и барионное число - лептонное число .

С другой стороны, в некоторых случаях частицы одного вида могут иметь несколько сохраняющихся номеров:

• Закрытые отсеки : в системе, состоящей из нескольких отсеков, которые разделяют энергию, но не разделяют частицы, можно установить химические потенциалы отдельно для каждого отсека. Например, конденсатор состоит из двух изолированных проводников и заряжается за счет разницы в химическом потенциале электронов .
• Медленное уравновешивание : в некоторых квазиравновесных ситуациях возможно иметь две различные популяции частиц одного и того же типа в одном и том же месте, каждая из которых уравновешена внутренне, но не друг с другом. Хотя это не является строго равновесным, может быть полезно назвать квазиравновесные химические потенциалы, которые могут различаться в разных популяциях. Примеры: ( физика полупроводников ) отдельные квазиуровни Ферми (электронные химические потенциалы) в зоне проводимости и валентной зоне ; ( спинтроника ) различные химические потенциалы вращения вверх и вниз; ( криогеника ) отдельные параводород и ортоводород химические потенциалы.

Точные выражения для ансамбля [ править ]

Точное математическое выражение для статистических ансамблей имеет различную форму в зависимости от типа рассматриваемой механики (квантовой или классической), поскольку понятие «микросостояние» значительно отличается. В квантовой механике большой канонический ансамбль дает простое описание, поскольку диагонализация обеспечивает набор различных микросостояний системы, каждое с четко определенной энергией и числом частиц. Классический механический случай более сложен, поскольку он включает не стационарные состояния, а интеграл по каноническому фазовому пространству .

Квантовая механика [ править ]

Статистический ансамбль в квантовой механике представлен матрицей плотности , обозначенной . Большой канонический ансамбль - это матрица плотности ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\exp {\big (}{\tfrac {1}{kT}}(\Omega +\mu _{1}{\hat {N}}_{1}+\ldots +\mu _{s}{\hat {N}}_{s}-{\hat {H}}){\big )},}$

где Ĥ - оператор полной энергии системы ( гамильтониан ), N̂ ₁ - оператор полного числа частиц системы для частиц типа 1, N̂ ₂ - оператор полного числа частиц для частиц типа 2, и так далее. exp - матричный экспоненциальный оператор. Большой потенциал Ω определяется условием нормализации вероятности того, что матрица плотности имеет след, равный единице :${\displaystyle Tr{\hat {\rho }}=1}$

${\displaystyle e^{-{\frac {\Omega }{kT}}}=\operatorname {Tr} \exp {\big (}{\tfrac {1}{kT}}(\mu _{1}{\hat {N}}_{1}+\ldots +\mu _{s}{\hat {N}}_{s}-{\hat {H}}){\big )}.}$

Обратите внимание, что для большого ансамбля базисные состояния операторов Ĥ , N̂ ₁ и т. Д. Являются состояниями с множественными частицами в пространстве Фока , и матрица плотности определяется на той же основе. Поскольку энергия и число частиц сохраняются по отдельности, эти операторы коммутируют друг с другом.

В качестве альтернативы большой канонический ансамбль может быть записан в простой форме с использованием обозначений бра-кет , поскольку возможно (учитывая взаимно коммутирующий характер операторов энергии и числа частиц) найти полный базис одновременных собственных состояний | ψ _я ⟩ , индексируются I , где H | ψ _я ⟩ = Е _я | ψ _я ⟩ , N ₁ | ψ _я ⟩ = N _{1, я} | ф _I ⟩, и так далее. Учитывая такой собственный базис, великий канонический ансамбль просто

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}e^{\frac {\Omega +\mu _{1}N_{1,i}+\ldots +\mu _{s}N_{s,i}-E_{i}}{kT}}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

${\displaystyle e^{-{\frac {\Omega }{kT}}}=\sum _{i}e^{\frac {\mu _{1}N_{1,i}+\ldots +\mu _{s}N_{s,i}-E_{i}}{kT}}.}$

где сумма ведется по полному набору состояний, причем состояние i имеет полную энергию E _i , N _{1, i} частиц типа 1, N _{2, i} частиц типа 2 и так далее.

Классическая механика [ править ]

В классической механике большой ансамбль вместо этого представлен совместной функцией плотности вероятности, определенной для нескольких фазовых пространств различных размеров, ρ ( N ₁ ,… N _s , p ₁ ,… p _n , q ₁ ,… q _n ) , где р ₁ , ... р _п и д ₁ , ... д _п являются каноническими координатами(обобщенные импульсы и обобщенные координаты) внутренних степеней свободы системы. Выражение для большого канонического ансамбля несколько более тонкое, чем канонический ансамбль, поскольку: ^[1]

• Число частиц и, следовательно, число координат n варьируется между различными фазовыми пространствами, и,
• жизненно важно учитывать, считается ли перестановка подобных частиц отдельным состоянием или нет.

В системе частиц число степеней свободы n зависит от числа частиц, что зависит от физической ситуации. Например, в трехмерном газе из моноатомов n = 3 N , однако в молекулярных газах также будут вращательные и колебательные степени свободы.

Функция плотности вероятности для большого канонического ансамбля:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {\Omega +\mu _{1}N_{1}+\ldots +\mu _{s}N_{s}-E}{kT}},}$

куда

• E - энергия системы, функция фазы ( N ₁ ,… N _s , p ₁ ,… p _n , q ₁ ,… q _n ) ,
• h - произвольная, но заранее определенная константа в единицах энергии × время , задающая размер одного микросостояния и обеспечивающая правильные размеры для ρ . ^{[примечание 4]}
• C - поправочный коэффициент перерасчета (см. Ниже), функция N ₁ ,… N _s .

Опять же, значение Ω определяется требованием, чтобы ρ была нормированной функцией плотности вероятности:

${\displaystyle e^{-{\frac {\Omega }{kT}}}=\sum _{N_{1}=0}^{\infty }\ldots \sum _{N_{s}=0}^{\infty }\int \ldots \int {\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {\mu _{1}N_{1}+\ldots +\mu _{s}N_{s}-E}{kT}}\,dp_{1}\ldots dq_{n}}$

Этот интеграл берется по всему доступному фазовому пространству для заданного числа частиц.

Поправка на завышение [ править ]

Хорошо известная проблема статистической механики жидкостей (газов, жидкостей, плазмы) состоит в том, как обращаться с частицами, похожими или идентичными по природе: следует ли их рассматривать как различимые или нет? В уравнении движения системы каждая частица всегда отслеживается как различимая сущность, и, тем не менее, есть также допустимые состояния системы, в которых положения каждой частицы просто поменялись местами: эти состояния представлены в разных местах фазового пространства, но при этом будут кажутся эквивалентными.

Если считать, что перестановки одинаковых частиц считаются отдельными состояниями, то фактор C выше просто C = 1 . С этой точки зрения ансамбли включают каждое переставленное состояние как отдельное микросостояние. Хотя сначала это кажется безобидным, это приводит к проблеме крайне неэкстенсивной энтропии в каноническом ансамбле, известной сегодня как парадокс Гиббса.. В большом каноническом ансамбле возникает еще одна логическая несогласованность: количество различимых перестановок зависит не только от количества частиц в системе, но также от того, сколько частиц находится в резервуаре (поскольку система может обмениваться частицами с резервуаром). В этом случае энтропия и химический потенциал не являются экстенсивными, но также плохо определены, в зависимости от параметра (размера резервуара), который не должен иметь значения.

Для решения этих проблем необходимо, чтобы обмен двумя подобными частицами (внутри системы или между системой и резервуаром) не рассматривался как придающий различное состояние системы. ^{[1] [примечание 5]} Чтобы учесть этот факт, интегралы по-прежнему переносятся по всему фазовому пространству, но результат делится на

${\displaystyle C=N_{1}!N_{2}!\ldots N_{s}!,}$

которое представляет собой количество различных возможных перестановок. Деление на C аккуратно исправляет перерасчет, который происходит в интеграле по всему фазовому пространству.

Конечно, можно включить различимые типы частиц в большой канонический ансамбль - каждый различимый тип отслеживается отдельным счетчиком частиц и химическим потенциалом . В результате единственный последовательный способ включить «полностью различимые» частицы в большой канонический ансамбль - это рассмотреть все возможные различимые типы этих частиц и отслеживать каждый возможный тип с помощью отдельного счетчика частиц и отдельного химического потенциала.${\displaystyle i}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]