Эйнштейн твердое вещества представляет собой концептуальная модель кристаллического твердого вещества , используя предположения , что он состоит из большой нумерации атомов в решетке , которые являются независимыми трехмерный квантовыми генераторами гармоническими , и что все генераторы имеют одинаковую частоту. Последнее предположение противоречит модели Дебая , которая заменила модель Эйнштейна в 1912 году.
Хотя модель обеспечивает качественное согласие с экспериментальными данными, особенно для высокотемпературного предела, эти колебания на самом деле являются фононами или коллективными модами с участием многих атомов. Эйнштейн знал, что получить частоту реальных колебаний будет сложно, но, тем не менее, он предложил эту теорию, потому что это была особенно ясная демонстрация того, что квантовая механика может решить проблему удельной теплоты в классической механике. [1]
Оригинальная теория, предложенная Эйнштейном в 1907 году, имеет большое историческое значение. Теплоемкость из твердых частиц , как предсказано эмпирический законом Дюлонга-Пти требовались классической механика , удельная теплоемкость твердых веществ должна быть независимой от температуры. Но эксперименты при низких температурах показали, что теплоемкость меняется, стремясь к нулю при абсолютном нуле. По мере повышения температуры удельная теплоемкость увеличивается до тех пор, пока не приближается к прогнозам Дюлонга и Пети при высокой температуре.
Используя предположение о квантовании Планка , теория Эйнштейна впервые объяснила наблюдаемую экспериментальную тенденцию. Вместе с фотоэлектрическим эффектом это стало одним из наиболее важных доказательств необходимости квантования. Эйнштейн использовал уровни квантово-механического осциллятора за много лет до появления современной квантовой механики .
Теплоемкость [ править ]
Для термодинамического подхода теплоемкость может быть получена с использованием различных статистических ансамблей . Все решения эквивалентны в термодинамическом пределе .
Микроканонический ансамбль [ править ]
Теплоемкость твердого тела Эйнштейна как функция температуры. Экспериментальное значение 3 Nk восстанавливается при высоких температурах.
Теплоемкость объекта при постоянном объеме V определяется через внутреннюю энергию U как
, температура системы находится из энтропии
Чтобы найти энтропию, рассмотрим твердое тело, состоящее из атомов, каждый из которых имеет 3 степени свободы. Итак, существуют квантовые гармонические осцилляторы (в дальнейшем SHO для "простых гармонических осцилляторов").
Возможные энергии SHO даются как
или, другими словами, уровни энергии равномерно распределены, и можно определить квант энергии
что является наименьшей и единственной величиной, на которую увеличивается энергия SHO. Затем мы должны вычислить кратность системы. То есть вычислите количество способов распределения квантов энергии между SHO. Эта задача становится проще, если подумать о распределении гальки по ящикам.
или разделяя стопки гальки перегородками
или устройство гальки и перегородок
Последняя картина наиболее показательна. Количество расстановок предметов есть . Так что количество возможных расстановок гальки и перегородок есть . Но если поменяться местами раздел №3 и раздел №5, никто не заметит. То же самое касается квантов. Чтобы получить количество возможных различимых расположений, нужно разделить общее количество расположений на количество неразличимых расположений. Имеются идентичные схемы квантов и одинаковые схемы разделения. Следовательно, кратность системы определяется выражением
который, как упоминалось ранее, представляет собой количество способов передать кванты энергии осцилляторам. Энтропия системы имеет вид
- огромное число - вычитание из него не имеет никакого общего эффекта:
С помощью приближения Стирлинга энтропию можно упростить:
Полная энергия твердого тела определяется выражением
поскольку всего в системе имеется q квантов энергии в дополнение к энергии основного состояния каждого осциллятора. Некоторые авторы, такие как Шредер, опускают эту энергию основного состояния в своем определении полной энергии твердого тела Эйнштейна.
Теперь мы готовы вычислить температуру
Исключение q между двумя предыдущими формулами дает для U:
Первый член связан с нулевой энергией и не влияет на удельную теплоемкость. Поэтому на следующем шаге он будет потерян.
Дифференцируя по температуре, мы получаем:
или же
Хотя модель твердого тела Эйнштейна точно предсказывает теплоемкость при высоких температурах, и в этом пределе
,
что эквивалентно закону Дюлонга – Пети .
Тем не менее теплоемкость заметно отклоняется от экспериментальных значений при низких температурах. См. Модель Дебая, чтобы точно рассчитать низкотемпературную теплоемкость.
Канонический ансамбль [ править ]
Теплоемкость получается за счет использования канонической статистической суммы простого квантового гармонического осциллятора.
куда
подставив это в формулу статистической суммы, получим
Это статистическая сумма одного гармонического осциллятора. Поскольку статистически теплоемкость, энергия и энтропия твердого тела равномерно распределены между его атомами, мы можем работать с этой статистической суммой, чтобы получить эти величины, а затем просто умножить их на, чтобы получить общую сумму. Затем давайте вычислим среднюю энергию каждого осциллятора.
куда
Следовательно,
Тогда теплоемкость одного генератора
До сих пор мы вычисляли теплоемкость уникальной степени свободы, которая моделировалась как квантовая гармоника. Теплоемкость всего твердого тела тогда определяется как , где общее число степеней свободы твердого тела в три раза (для трех направленных степеней свободы) умножается на количество атомов в твердом теле. Таким образом получается
которая алгебраически идентична формуле, полученной в предыдущем разделе.
Величина имеет размерность температуры и является характерным свойством кристалла. Это известно как температура Эйнштейна . [2] Следовательно, модель кристалла Эйнштейна предсказывает, что энергия и теплоемкость кристалла являются универсальными функциями безразмерного отношения . Точно так же модель Дебая предсказывает универсальную функцию отношения , где - температура Дебая.
Ограничения и последующая модель [ править ]
В модели Эйнштейна теплоемкость экспоненциально быстро приближается к нулю при низких температурах. Это потому, что все колебания имеют одну общую частоту. Правильное поведение обнаруживается путем квантования нормальных мод твердого тела таким же образом, как предлагал Эйнштейн. Тогда частоты волн не одинаковы, и удельная теплоемкость стремится к нулю по степенному закону, что соответствует эксперименту. Эта модификация получила название модели Debye , появившейся в 1912 году.
Когда Вальтер Нернст узнал о работе Эйнштейна 1906 года об удельной теплоемкости [3], он был так взволнован, что проехал весь путь от Берлина до Цюриха, чтобы встретиться с ним. [4]
См. Также [ править ]
Кинетическая теория твердого тела
Ссылки [ править ]
^ Мандл, Ф. (1988) [1971]. Статистическая физика (2-е изд.). Чичестер · Нью-Йорк · Брисбен · Торонто · Сингапур: John Wiley & sons . ISBN 978-0471915331.
^ Роджерс, Дональд (2005). Другая теория Эйнштейна: теория теплоемкости Планка-Бозе-Эйнштейна . Издательство Принстонского университета. п. 73. ISBN 0-691-11826-4.
^ Эйнштейн, Альберт (1906). "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme" [Планковская теория излучения и теория теплоемкости]. Annalen der Physik . 4. 22 : 180–190, 800. Bibcode : 1906AnP ... 327..180E . DOI : 10.1002 / andp.19063270110 . Проверено 18 марта 2016 .
Перейти ↑ Stone, AD (2013). Эйнштейн и квант: поиски доблестного швабца . Издательство Принстонского университета . С. 146 . ISBN 978-0-691-13968-5.
Внешние ссылки [ править ]
Зеленый, Энрике. «Демонстрационный проект Вольфрама - Эйнштейн Солид» . Проверено 18 марта 2016 ..
vтеАльберт Эйнштейн
Физика
Специальная теория относительности
Общая теория относительности
Эквивалентность массы и энергии (E = mc 2 )
Броуновское движение
Фотоэлектрический эффект
Коэффициенты Эйнштейна
Эйнштейн твердый
Принцип эквивалентности
Уравнения поля Эйнштейна
Радиус Эйнштейна
Соотношение Эйнштейна (кинетическая теория)
Космологическая постоянная
Конденсат Бозе – Эйнштейна
Статистика Бозе – Эйнштейна
Корреляции Бозе – Эйнштейна
Теория Эйнштейна – Картана
Уравнения Эйнштейна – Инфельда – Гофмана.
Эффект Эйнштейна – де Гааза
Парадокс ЭПР
Дебаты Бора и Эйнштейна
Телепараллелизм
Мысленные эксперименты
Неудачные расследования
Дуальность волна-частица
Гравитационная волна
Парадокс чайного листа
Работает
Документы Аннуса Мирабилиса (1905 г.)
" Исследования по теории броуновского движения " (1905 г.)
Относительность: специальная и общая теория (1916)
Значение теории относительности (1922)
Мир, каким я его вижу (1934)
Эволюция физики (1938)
« Почему социализм? » (1949)
Манифест Рассела – Эйнштейна (1955)
Семья
Полина Кох (мать)
Герман Эйнштейн (отец)
Майя Эйнштейн (сестра)
Милева Марич (первая жена)
Эльза Эйнштейн (вторая жена; двоюродная сестра)
Лизерл Эйнштейн (дочь)
Ганс Альберт Эйнштейн (сын)
Эдуард Эйнштейн (сын)
Бернхард Цезарь Эйнштейн (внук)
Эвелин Эйнштейн (внучка)
Томас Мартин Эйнштейн (правнук)
Роберт Эйнштейн (двоюродный брат)
Зигберт Эйнштейн (дальний родственник)
В популярной культуре
Die Grundlagen der Einsteinschen Relativitäts-Theorie (документальный фильм 1922 года)
Теория относительности Эйнштейна (документальный фильм 1923 г.)
Реликвии: Мозг Эйнштейна (документальный фильм, 1994 г.)
Незначительность (фильм 1985 года)
IQ (фильм 1994 года)
Дар Эйнштейна (пьеса, 2003 г.)
Эйнштейн и Эддингтон (телефильм, 2008)
Гений (сериал, 2017 г.)
Связанный
Награды и отличия
Мозг
жилой дом
Мемориал
Политические взгляды
Религиозные взгляды
Список вещей, названных в честь Альберта Эйнштейна
Архив Альберта Эйнштейна
Проект статей Эйнштейна
Эйнштейн холодильник
Эйнштейнхаус
Эйнштейний
Призы
Премия Альберта Эйнштейна
Медаль Альберта Эйнштейна
Медаль ЮНЕСКО Альберта Эйнштейна
Премия мира Альберта Эйнштейна
Мировая премия имени Альберта Эйнштейна в области науки
Премия Эйнштейна в области лазерной науки
Премия Эйнштейна (APS)
Книги об Эйнштейне
Альберт Эйнштейн: Создатель и бунтарь
Эйнштейн и религия
Эйнштейн для начинающих
Эйнштейн: его жизнь и Вселенная
Космос Эйнштейна
Я Альберт Эйнштейн
Введение в относительность
Тонкий Господь
Книга
Категория
vтеАтомные модели
Одиночные атомы
Модель Дальтона ( модель бильярдного шара)
Модель Томсона ( модель сливового пудинга)
Модель Льюиса ( модель кубического атома)
Модель Нагаока (модель Сатурна)
Модель Резерфорда (планетарная модель)
Модель Бора ( модель Резерфорда – Бора)
Модель Бора – Зоммерфельда (уточненная модель Бора)
Модель Грызинского ( модель свободного падения)
Модель Шредингера ( модель электронного облака)
Модель Дирака-Гордона (релятивистская модель атома)