В теории вероятностей , формула вика или вероятности Вика теорема является формула , которая позволяет вычислить моменты более высокого порядка по многомерному нормальному распределению с точки зрения его ковариационной матрицы. Он назван в честь Леона Иссерлиса .
Эта теорема также особенно важна в физике элементарных частиц , где она известна как теорема Вика после работы Вика (1950) . [1] Другие приложения включают анализ доходности портфеля, [2] квантовую теорию поля [3] и генерацию цветного шума. [4]
Заявление
Если - многомерный нормальный случайный вектор с нулевым средним , то
В своей оригинальной статье [7] Леон Иссерлис доказывает эту теорему с помощью математической индукции, обобщая формулу длямоменты порядка, [8] который принимает вид
Странный случай,
Если нечетное, не существует пары . Согласно этой гипотезе, теорема Иссерлиса означает, что:
Даже случай,
Если чётное, есть (см. двойной факториал ) парные разбиения: это дает термины в сумме. Например, для моменты порядка (т.е. случайные величины) есть три члена. Для-заказные моменты есть сроки, и для -заказные моменты есть термины.
Обобщения
Гауссово интегрирование по частям
Эквивалентная формулировка формулы вероятности Вика - это гауссовское интегрирование по частям . Если- многомерный нормальный случайный вектор с нулевым средним , то
.
Формулу вероятности Вика можно восстановить по индукции, рассматривая функцию определяется: . Помимо прочего, эта формулировка важна в теории конформного поля Лиувилля для получения конформных тождеств Уорда , уравнений BPZ [9] и для доказательства формулы Федорова-Бушо . [10]
Негауссовские случайные величины
Для негауссовских случайных величин формула моментных кумулянтов [11] заменяет формулу вероятности Вика. Есливектор случайных величин , то
Смотрите также
Рекомендации
- Перейти ↑ Wick, GC (1950). «Оценка матрицы столкновений». Физический обзор . 80 (2): 268–272. Bibcode : 1950PhRv ... 80..268W . DOI : 10.1103 / PhysRev.80.268 .
- ^ Репетович, Пшемыслав; Ричмонд, Питер (2005). «Статистический вывод параметров многомерного распределения для негауссовских распределенных временных рядов» (PDF) . Acta Physica Polonica Б . 36 (9): 2785–2796. Bibcode : 2005AcPPB..36.2785R .
- ^ Perez-Martin, S .; Робледо, LM (2007). «Обобщенная теорема Вика для многоквазичастичных перекрытий как предел теоремы Годена». Physical Review C . 76 (6): 064314. arXiv : 0707.3365 . Bibcode : 2007PhRvC..76f4314P . DOI : 10.1103 / PhysRevC.76.064314 .
- ^ Бартош, Л. (2001). «Генерация цветного шума» . Международный журнал современной физики С . 12 (6): 851–855. Bibcode : 2001IJMPC..12..851B . DOI : 10.1142 / S0129183101002012 .
- ^ Янсон, Сванте (июнь 1997 г.). Гауссовские гильбертовы пространства . Кембриджское ядро . DOI : 10.1017 / CBO9780511526169 . ISBN 9780521561280. Проверено 30 ноября 2019 .
- ^ Михалович, СП; Николс, JM; Bucholtz, F .; Олсон, CC (2009). "Теорема Иссерлиса для смешанных гауссовских переменных: приложение к авто-биспектральной плотности". Журнал статистической физики . 136 (1): 89–102. Bibcode : 2009JSP ... 136 ... 89M . DOI : 10.1007 / s10955-009-9768-3 .
- ^ Иссерлис, Л. (1918). «О формуле для коэффициента произведение-момент любого порядка нормального частотного распределения при любом количестве переменных» . Биометрика . 12 (1–2): 134–139. DOI : 10.1093 / Biomet / 12.1-2.134 . JSTOR 2331932 .
- ^ Иссерлис, Л. (1916). «О некоторых вероятных ошибках и коэффициентах корреляции множественных частотных распределений с косой регрессией» . Биометрика . 11 (3): 185–190. DOI : 10.1093 / Biomet / 11.3.185 . JSTOR 2331846 .
- ^ Купиайнен, Антти; Родос, Реми; Варгас, Винсент (01.11.2019). "Локальная конформная структура квантовой гравитации Лиувилля". Сообщения по математической физике . 371 (3): 1005–1069. arXiv : 1512.01802 . Bibcode : 2019CMaPh.371.1005K . DOI : 10.1007 / s00220-018-3260-3 . ISSN 1432-0916 .
- ^ Реми, Гийом (2017-10-18). «Формула Федорова-Бушо и конформная теория поля Лиувилля». arXiv : 1710.06897 [ math.PR ].
- ^ Леонов В.П .; Ширяев А.Н. (январь 1959 г.). «Об одном методе вычисления полуинвариантов» . Теория вероятностей и ее приложения . 4 (3): 319–329. DOI : 10.1137 / 1104031 .
дальнейшее чтение
- Купманс, Ламберт Г. (1974). Спектральный анализ временных рядов . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press .