Уравнение Клейна – Гордона ( уравнение Клейна – Фока – Гордона или иногда уравнение Клейна – Гордона – Фока ) является релятивистским волновым уравнением , связанным с уравнением Шредингера . Он имеет второй порядок в пространстве и времени и явно лоренц-ковариантен . Это квантованная версия релятивистского соотношения энергия-импульс . Его решения включают квантовое скалярное или псевдоскалярное поле , поле, кванты которого являются бесспиновыми частицами. Его теоретическая значимость аналогична уравнению Дирака . [1] Электромагнитные взаимодействия могут быть включены в темускалярная электродинамика , а потому , что общие частицы бесспиновых как в пиона нестабильны и также испытывают сильное взаимодействие (с неизвестным термином взаимодействия в гамильтониане , [2] ) практическая полезность ограничена.
Уравнение можно представить в виде уравнения Шредингера. В этой форме оно выражается в виде двух связанных дифференциальных уравнений, каждое первого порядка по времени. [3] Решения состоят из двух компонентов, отражающих степень свободы заряда в теории относительности. [3] [4] Он допускает сохраняющуюся величину, но не является положительно определенной. Следовательно, волновую функцию нельзя интерпретировать как амплитуду вероятности . Вместо этого сохраняющаяся величина интерпретируется как электрический заряд , а квадрат нормы волновой функции интерпретируется как плотность заряда . Уравнение описывает все бесспиновые частицы с положительным, отрицательным и нулевым зарядом.
Любое решение свободного уравнения Дирака для каждой из его четырех компонент является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Уравнение Клейна – Гордона не является основой последовательной квантовой релятивистской одночастичной теории. Для частиц любого спина такой теории не существует. Для полного согласования квантовой механики со специальной теорией относительности необходима квантовая теория поля , в которой уравнение Клейна – Гордона появляется снова как уравнение, которому подчиняются компоненты всех свободных квантовых полей. [nb 1] В квантовой теории поля решения свободных (невзаимодействующих) версий исходных уравнений все еще играют роль. Они необходимы для построения гильбертова пространства (пространства Фока ) и для выражения квантовых полей с использованием полных наборов (покрывающих множеств гильбертова пространства) волновых функций.
Заявление
Уравнение Клейна – Гордона с массовым параметром. является
Решениями уравнения являются комплексные функции временной переменной и пространственные переменные ; лапласиане действует только на пространственные переменные.
Уравнение часто сокращается как
где μ = mc / ħ , а □ - оператор Даламбера , определенный формулой
(Мы используем метрическую сигнатуру (-, +, +, +) .)
Уравнение Клейна – Гордона часто записывают в натуральных единицах :
- .
Форма уравнения Клейна-Гордона происходит, требуя , чтобы плоско-волновые решения
уравнения подчиняются соотношению энергия-импульс специальной теории относительности:
В отличие от уравнения Шредингера, уравнение Клейна – Гордона допускает два значения ω для каждого k : одно положительное и одно отрицательное. Только разделив положительную и отрицательную частотные части, можно получить уравнение, описывающее релятивистскую волновую функцию. Для не зависящего от времени случая уравнение Клейна – Гордона принимает вид
которое формально совпадает с однородным экранированным уравнением Пуассона .
История
Уравнение было названо в честь физиков Оскара Клейна и Уолтера Гордона , которые в 1926 году предположили, что оно описывает релятивистские электроны. Другими авторами, делающими аналогичные заявления в том же году, были Владимир Фок , Иоганн Кудар, Теофиль де Дондер и Франс-Х. ван ден Дунген и Луи де Бройль . Хотя оказалось, что для моделирования спина электрона требуется уравнение Дирака, уравнение Клейна – Гордона правильно описывает бесспиновые релятивистские составные частицы , такие как пион . 4 июля 2012 года Европейская организация ядерных исследований ЦЕРН объявила об открытии бозона Хиггса . Поскольку бозон Хиггса является частицей с нулевым спином, это первая наблюдаемая якобы элементарная частица, описываемая уравнением Клейна – Гордона. Требуются дальнейшие эксперименты и анализ, чтобы определить, является ли наблюдаемый бозон Хиггса бозоном Стандартной модели или более экзотической, возможно, составной формой.
Уравнение Клейна – Гордона было впервые рассмотрено как квантовое волновое уравнение Шредингером в его поисках уравнения, описывающего волны де Бройля . Уравнение находится в его записных книжках с конца 1925 года, и он, кажется, подготовил рукопись, применив его к атому водорода. Тем не менее, поскольку в нем не учитывается спин электрона, уравнение неверно предсказывает тонкую структуру атома водорода, в том числе завышает общую величину картины расщепления в несколько раз.4 п/2 п - 1для n -го уровня энергии. Релятивистский спектр уравнения Дирака, однако, легко восстановить, если квантовое число орбитального момента l заменить на квантовое число полного углового момента j . [5] В январе 1926 года Шредингер представил для публикации вместо этого свое уравнение, нерелятивистское приближение, которое предсказывает боровские уровни энергии водорода без тонкой структуры .
В 1926 году, вскоре после того, как было введено уравнение Шредингера, Владимир Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей , где силы зависят от скорости , и независимо вывел это уравнение. И Клейн, и Фок использовали метод Калуцы и Клейна. Фок также определил калибровочную теорию для волнового уравнения . Уравнение Клейна – Гордона для свободной частицы имеет простое решение в виде плоской волны .
Вывод
Нерелятивистское уравнение для энергии свободной частицы имеет вид
Квантовав это, мы получим нерелятивистское уравнение Шредингера для свободной частицы:
где
- оператор импульса ( ∇ - оператор дель ), а
- оператор энергии .
Уравнение Шредингера страдает тем, что не является релятивистски инвариантным , что означает, что оно несовместимо со специальной теорией относительности .
Естественно попытаться использовать тождество из специальной теории относительности, описывающее энергию:
Тогда простая вставка квантово-механических операторов для импульса и энергии приводит к уравнению
Квадратный корень из дифференциального оператора может быть определен с помощью преобразований Фурье , но из-за асимметрии пространственных и временных производных Дирак обнаружил, что невозможно включить внешние электромагнитные поля релятивистски инвариантным образом. Поэтому он стал искать другое уравнение, которое можно изменить, чтобы описать действие электромагнитных сил. Кроме того, это уравнение в его нынешнем виде нелокально (см. Также Введение в нелокальные уравнения ).
Кляйн и Гордон вместо этого начали с квадрата вышеуказанного тождества, т. Е.
что при квантовании дает
что упрощает
Изменение условий доходности
Поскольку все ссылки на мнимые числа были исключены из этого уравнения, его можно применять к полям с действительными значениями , а также к полям с комплексными значениями .
Переписывая первые два члена с использованием обратной метрики Минковского diag (- c 2 , 1, 1, 1) и явно записывая соглашение Эйнштейна о суммировании, мы получаем
Таким образом, уравнение Клейна – Гордона можно записать в ковариантной записи. Часто это означает сокращение в виде
где
а также
Этот оператор называется оператором Даламбера .
Сегодня эта форма интерпретируется как уравнение релятивистского поля для частиц со спином -0. [3] Кроме того, любой компонент любого решения свободного уравнения Дирака (для частицы со спином 1/2 ) автоматически является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Это обобщается на частицы любого спина в соответствии с уравнениями Баргмана – Вигнера . Более того, в квантовой теории поля каждый компонент каждого квантового поля должен удовлетворять свободному уравнению Клейна – Гордона [6], что делает уравнение типичным выражением квантовых полей.
Уравнение Клейна – Гордона в потенциале
Уравнение Клейна – Гордона можно обобщить для описания поля в некотором потенциале V ( ψ ) как [7]
Сохраненный ток
Сохраняющийся ток, связанный с U (1) -симметрией комплексного поля удовлетворяющий уравнению Клейна – Гордона, имеет вид
Форма сохраняющегося тока может быть получена систематически, применяя теорему Нётер к симметрии U (1). Мы не будем делать этого здесь, а просто дадим доказательство того, что этот сохраняющийся ток верен.
Из уравнения Клейна – Гордона для комплексного поля массы , записанные в ковариантных обозначениях
и его комплексно сопряженный
мы имеем, умножая слева соответственно на а также (и опуская для краткости явное зависимость),
Вычитая первое из второго, получаем
тогда мы также знаем
откуда получаем закон сохранения для поля Клейна – Гордона:
Релятивистское решение со свободными частицами
Уравнение Клейна – Гордона для свободной частицы можно записать как
Ищем плоско-волновые решения вида
для некоторой постоянной угловой частоты ω ∈ ℝ и волнового числа k ∈ ℝ 3 . Подстановка дает дисперсионное соотношение
Видно, что энергия и импульс пропорциональны ω и k :
Таким образом, дисперсионное соотношение - это просто классическое релятивистское уравнение:
Для безмассовых частиц мы можем установить m = 0 , восстанавливая соотношение между энергией и импульсом для безмассовых частиц:
Действие
Уравнение Клейна – Гордона также может быть получено вариационным методом с учетом действия [ сомнительно ]
где ψ - поле Клейна – Гордона, m - его масса. Комплексно сопряженное из ф записывается ψ . Если скалярное поле считается действительным, то ψ = ψ , и принято вводить множитель 1/2 для обоих членов.
Применяя формулу для тензора энергии-импульса Гильберта к плотности лагранжиана (величина внутри интеграла), мы можем получить тензор энергии-импульса скалярного поля. это
Путем интегрирования временной компоненты T 00 по всему пространству можно показать, что решения плоских волн как с положительной, так и с отрицательной частотой могут быть физически связаны с частицами с положительной энергией. Это не так для уравнения Дирака и его тензора энергии-импульса. [3]
Нерелятивистский предел
Классическое поле
Переход к нерелятивистскому пределу ( v << c ) классического поля Клейна-Гордона ψ ( x , t) начинается с анзаца, разлагающего на множители осциллирующий член энергии массы покоя :
Определение кинетической энергии , в нерелятивистском пределе v ~ p << c , и, следовательно,
Применяя это, мы получаем нерелятивистский предел второй производной по времени от ,
Подставляя в свободное уравнение Клейна – Гордона, , дает
который (путем деления экспоненты и вычитания массового члена) упрощается до
Это классическое поле Шредингера .
Квантовое поле
Аналогичный предел квантового поля Клейна-Гордона осложняется некоммутативностью оператора поля. В пределе V << с , что операторы рождения и уничтожения разъединить и ведут себя как независимые квантовых Шрёдингера полей .
Электромагнитное взаимодействие
Существует простой способ заставить любое поле взаимодействовать с электромагнетизмом калибровочно-инвариантным образом: заменить операторы производной на операторы калибровочно-ковариантной производной. Это связано с тем, что для сохранения симметрии физических уравнений для волновой функциипри локальном калибровочном преобразовании U (1), где является локально переменным фазовым углом, преобразование которого перенаправляет волновую функцию в сложном фазовом пространстве, определяемом , требуется, чтобы обычные производные заменить калибровочно-ковариантными производными , а калибровочные поля преобразуются как . Таким образом, с метрической сигнатурой (-, +, +, +) уравнение Клейна – Гордона принимает вид
в натуральных единицах , где А - векторный потенциал. Хотя можно добавить много терминов более высокого порядка, например,
эти члены нельзя перенормировать в размерности 3 + 1.
Уравнение поля для заряженного скалярного поля умножается на i , [ требуется пояснение ], что означает, что поле должно быть комплексным. Чтобы поле было заряженным, оно должно иметь две компоненты, которые могут вращаться друг в друга, реальную и мнимую части.
Действие для безмассового заряженного скаляра является ковариантной версией незаряженного действия:
Гравитационное взаимодействие
В общую теорию относительности мы включаем эффект гравитации, заменяя частные производные ковариантными , и уравнение Клейна – Гордона становится (в сигнатуре в основном плюсов ) [8]
или, что эквивалентно,
где g αβ - обратный метрическому тензору, который представляет собой поле гравитационного потенциала, g - определитель метрического тензора, ∇ μ - ковариантная производная , а Γ σ μν - символ Кристоффеля, который представляет собой поле гравитационных сил .
Смотрите также
- Уравнение Дирака
- Квантовая теория поля
- Четвертичное взаимодействие
- Релятивистские волновые уравнения
- Уравнение Рариты – Швингера
- Теория скалярного поля
- Уравнение синуса – Гордона
Замечания
- ^ Стивен Вайнберг подчеркивает это. Он полностью опускает рассмотрение релятивистской волновой механики в своем во всем остальном полном введении в современные приложения квантовой механики, объясняя: «Мне кажется, то, как это обычно представлено в книгах по квантовой механике, глубоко вводит в заблуждение». (Из предисловия к книге « Лекции по квантовой механике» , где говорится о трактовке уравнения Дирака в его первоначальном виде.)
Другие, такие как Уолтер Грейнер в своей серии статей по теоретической физике, дают полный отчет об историческом развитии и взглядах на релятивистскую квантовую механику. прежде, чем они дойдут до современной интерпретации, с тем обоснованием, что очень желательно или даже необходимо с педагогической точки зрения пройти долгий путь.
Заметки
- ^ Валовой 1993 .
- Перейти ↑ Greiner & Müller 1994 .
- ^ а б в г Грейнер 2000 , гл. 1.
- ^ Фешбы & Виллар 1958 .
- ^ См. Itzykson, C .; Зубер, Ж.-Б. (1985). Квантовая теория поля . Макгроу-Хилл. С. 73–74 . ISBN 0-07-032071-3.Уравнение 2.87 идентичен ур. 2.86, за исключением того, что в нем используется j вместо l .
- ^ Вайнберг 2002 , гл. 5.
- ^ Дэвид Тонг, Лекции по квантовой теории поля , лекция 1, раздел 1.1.1.
- ^ Фуллинг, С.А. (1996). Аспекты квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени . Издательство Кембриджского университета. п. 117. ISBN 0-07-066353-X.
Рекомендации
- Давыдов А.С. (1976). Квантовая механика, 2-е издание . Pergamon Press . ISBN 0-08-020437-6.
- Feshbach, H .; Виллар, Ф. (1958). «Элементарная релятивистская волновая механика частиц со спином 0 и спином 1/2». Обзоры современной физики . 30 (1): 24–45. Bibcode : 1958RvMP ... 30 ... 24F . DOI : 10.1103 / RevModPhys.30.24 .
- Гордон, Уолтер (1926). "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie". Zeitschrift für Physik . 40 (1-2): 117. Bibcode : 1926ZPhy ... 40..117G . DOI : 10.1007 / BF01390840 . S2CID 122254400 .
- Грейнер, В. (2000). Релятивистская квантовая механика. Волновые уравнения (3-е изд.). Springer Verlag . ISBN 3-5406-74578.
- Greiner, W .; Мюллер, Б. (1994). Квантовая механика: симметрии (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3540580805.
- Гросс, Ф. (1993). Релятивистская квантовая механика и теория поля (1-е изд.). Wiley-VCH . ISBN 978-0471591139.
- Кляйн, О. (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik . 37 (12): 895. Bibcode : 1926ZPhy ... 37..895K . DOI : 10.1007 / BF01397481 .
- Сакураи, Дж. Дж. (1967). Продвинутая квантовая механика . Эддисон Уэсли . ISBN 0-201-06710-2.
- Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей . Я . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-55001-7.
Внешние ссылки
- "Уравнение Клейна – Гордона" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. "Уравнение Клейна-Гордона" . MathWorld .
- Линейное уравнение Клейна – Гордона в EqWorld: мир математических уравнений.
- Нелинейное уравнение Клейна – Гордона в EqWorld: мир математических уравнений.
- Введение в нелокальные уравнения .