В физике , в энергии-импульсе связи , или релятивистского дисперсионное соотношении , является релятивистским уравнением , касающимся общей энергию (которая также называется релятивистской энергия ) к инвариантной массе (которая также называется массой покоя) и импульсом . Это расширение эквивалентности массы и энергии для тел или систем с ненулевым импульсом. Его можно записать в виде следующего уравнения:
( 1 )
Это уравнение справедливо для тела или системы , например одной или нескольких частиц , с полной энергией E , инвариантной массой m 0 и импульсом величины p ; постоянная c - скорость света . Это предполагает случай специальной теории относительности плоского пространства-времени . [1] [2] [3] Полная энергия - это сумма энергии покоя и кинетической энергии , а инвариантная масса - это масса, измеренная в системе координат центра импульсов .
Для тел или систем с нулевым импульсом это упрощается до уравнения массы-энергии , где полная энергия в данном случае равна энергии покоя (также обозначается E 0 ).
Модель моря Дирака , которая использовалась для предсказания существования антивещества , тесно связана с соотношением энергия-импульс.
Подключение к E = mc 2
Соотношение энергия-импульс согласуется с известным соотношением масса-энергия в обеих его интерпретациях: E = mc 2 связывает полную энергию E с (полной) релятивистской массой m (альтернативно обозначается m rel или m tot ), в то время как E 0 = m 0 c 2 связывает энергию покоя E 0 с (инвариантной) массой покоя m 0 .
В отличие от любого из этих уравнений, уравнение энергии-импульса ( 1 ) связывает полную энергию с массой покоя m 0 . Все три уравнения выполняются одновременно.
Особые случаи
- Если тело является безмассовой частицей ( m 0 = 0 ), то ( 1 ) сводится к E = pc . Для фотонов это соотношение, обнаруженное в классическом электромагнетизме 19 века , между лучистым импульсом (вызывающим радиационное давление ) и лучистой энергией .
- Если скорость тела v много меньше c , то ( 1 ) сводится к E =1/2m 0 v 2 + m 0 c 2 ; то есть полная энергия тела - это просто его классическая кинетическая энергия (1/2m 0 v 2 ) плюс его энергия покоя.
- Если тело покоится ( v = 0 ), то есть в его системе отсчета центра импульса ( p = 0 ), мы имеем E = E 0 и m = m 0 ; таким образом, соотношение энергия-импульс и обе формы отношения массы-энергии (упомянутые выше) становятся одинаковыми.
Более общий вид соотношения ( 1 ) имеет место для общей теории относительности .
Инвариантная масса (или масса покоя) является инвариантной для всех систем отсчета (отсюда и название), а не только в инерциальном в плоском пространстве - время, но и ускоренные кадры , проходящие через искривленное пространство - время (см ниже). Однако полная энергия частицы E и ее релятивистский импульс p зависят от системы отсчета; относительное движение между двумя кадрами заставляет наблюдателей в этих кадрах измерять разные значения энергии и импульса частицы; один кадр измеряет E и p , в то время как другой кадр измеряет E ′ и p ′ , где E ′ ≠ E и p ′ ≠ p , если нет относительного движения между наблюдателями, и в этом случае каждый наблюдатель измеряет одинаковую энергию и импульсы. Хотя у нас все еще есть в плоском пространстве-времени:
Величины E , p , E ′ , p ′ связаны преобразованием Лоренца . Это соотношение позволяет обойти преобразования Лоренца при определении только величин энергии и импульсов путем приравнивания соотношений в различных системах отсчета. Опять же в плоском пространстве-времени это переводится как;
Поскольку m 0 не меняется от кадра к кадру, соотношение энергия-импульс используется в релятивистской механике и расчетах физики элементарных частиц , поскольку энергия и импульс задаются в системе покоя частицы (то есть E ' и p ' как движущийся наблюдатель с частицей будет) и измерены в лабораторной системе отсчета (т.е. E и p, определенные физиками-физиками в лаборатории, а не движущиеся вместе с частицами).
В релятивистской квантовой механике это основа для построения релятивистских волновых уравнений , поскольку если релятивистское волновое уравнение, описывающее частицу, согласуется с этим уравнением - оно согласуется с релятивистской механикой и является лоренц-инвариантным . В релятивистской квантовой теории поля это применимо ко всем частицам и полям. [4]
Происхождение и вывод уравнения
Соотношение энергия – импульс впервые было установлено Полем Дираком в 1928 г. в виде, где V - количество потенциальной энергии. [5]
Уравнение может быть получено несколькими способами, два из самых простых включают:
- Из релятивистской динамики массивной частицы
- Оценивая норму четырех импульсов системы. Этот метод применим как к массивным, так и к безмассовым частицам и может быть расширен до многочастичных систем с относительно небольшими усилиями (см. § Многочастичные системы ниже).
Эвристический подход для массивных частиц
Для массивного объекта, движущегося с тремя скоростями u = ( u x , u y , u z ) с величиной | u | = u в лабораторном фрейме : [1]
- полная энергия движущегося объекта в лабораторном кадре,
- трехмерный релятивистский импульс объекта в лабораторной системе отсчета с величиной | p | = p . Релятивистская энергия E и импульс p включают фактор Лоренца, определяемый следующим образом:
Некоторые авторы используют релятивистскую массу, определяемую:
хотя масса покоя m 0 имеет более фундаментальное значение и в этой статье будет использоваться в основном вместо релятивистской массы m .
Возведение в квадрат 3-импульса дает:
затем решение относительно u 2 и подстановка в фактор Лоренца дает альтернативную форму в терминах 3-импульса и массы, а не 3-скорости:
Подставляя эту форму фактора Лоренца в уравнение энергии:
с последующими перегруппировками ( 1 ). Исключение фактора Лоренца также устраняет неявную зависимость частицы от скорости в ( 1 ), а также любые выводы о «релятивистской массе» массивной частицы. Этот подход не является общим, поскольку безмассовые частицы не рассматриваются. Наивная установка m 0 = 0 означала бы, что E = 0 и p = 0, и невозможно вывести соотношение энергии-импульса, что неверно.
Норма четырех импульсов
Специальная теория относительности
В пространстве Минковского энергия (деленная на c ) и импульс являются двумя компонентами четырехвектора Минковского , а именно четырехмерного импульса ; [6]
(это контравариантные компоненты).
Минковский скалярное произведение ⟨,⟩ этого вектора с самим собой дает квадрат нормы этого вектора, она пропорциональна квадрату массы покоя т тела:
Лоренц инвариантная величина, и , следовательно , не зависит от системы отсчета . Используя метрику Минковского η с метрической сигнатурой (- + + +) , скалярное произведение равно
а также
так
Общая теория относительности
В общей теории относительности 4-импульс - это четырехмерный вектор, определенный в локальной системе координат, хотя по определению внутренний продукт аналогичен таковому в специальной теории относительности,
в котором метрика Минковского η заменена полем метрического тензора g :
решается из уравнений поля Эйнштейна . Тогда: [7]
Выполнение суммирования по индексам с последующим сбором терминов «временного», «пространственно-временного» и «пространственно-подобного» дает:
где множитель 2 возникает из-за того, что метрика является симметричным тензором , и используется соглашение, согласно которому латинские индексы i , j принимают пространственные значения 1, 2, 3. Поскольку каждый компонент метрики в целом имеет пространственную и временную зависимость; это значительно сложнее, чем формула, приведенная в начале, см. метрический тензор (общая теория относительности) для получения дополнительной информации.
Единицы энергии, массы и количества движения
В натуральных единицах, где c = 1 , уравнение энергии-импульса сводится к
В физике элементарных частиц энергия обычно выражается в электрон-вольтах (эВ), импульс - в единицах эВ · с −1 , а масса - в единицах эВ · с −2 . В электромагнетизме и из-за релятивистской инвариантности полезно иметь электрическое поле E и магнитное поле B в одной и той же единице ( гаусс ), используя систему единиц cgs (гауссова) , где энергия выражается в единицах эрг , масса в граммах (г) и импульс в г · см · с −1 .
Теоретически энергия может быть выражена в граммах, хотя на практике требуется большое количество энергии, чтобы соответствовать массам в этом диапазоне. Например, первая атомная бомба высвободила около 1 грамма тепла , а самые большие термоядерные бомбы - около килограмма тепла. Энергия термоядерных бомб обычно выражается в десятках килотонн и мегатоннах, относящихся к энергии, высвобождаемой при взрыве этого количества тринитротолуола (ТНТ).
Особые случаи
Система отсчета центра импульса (одна частица)
Для тела в системе покоя импульс равен нулю, поэтому уравнение упрощается до
где m 0 - масса покоя тела.
Безмассовые частицы
Если объект безмассовый, как в случае фотона , то уравнение сводится к
Это полезное упрощение. Его можно переписать другими способами, используя соотношения де Бройля :
если задана длина волны λ или волновое число k .
Принцип соответствия
Перепишем соотношение для массивных частиц как:
и расширяясь в степенной ряд по биномиальной теореме (или ряду Тейлора ):
в пределе u ≪ c имеем γ ( u ) ≈ 1, так что импульс имеет классический вид p ≈ m 0 u , затем в первом порядке по (п/м 0 в)2
(т.е. сохранить термин (п/м 0 в)2 п
для n = 1 и пренебречь всеми членами при n ≥ 2 ) имеем
или же
где второй член - это классическая кинетическая энергия , а первый - масса покоя частицы. Это приближение неприменимо для безмассовых частиц, поскольку для расширения требовалось деление количества движения на массу. Между прочим, в классической механике нет безмассовых частиц.
Системы многих частиц
Добавление четырех импульсов
В случае многих частиц с релятивистскими импульсами p n и энергией E n , где n = 1, 2, ... (вплоть до общего числа частиц), просто помечает частицы, измеренные в определенной системе отсчета, четырьмя импульсы в этой рамке могут быть добавлены;
а потом берем норму; чтобы получить соотношение для системы многих частиц:
где M 0 - инвариантная масса всей системы и не равна сумме масс покоя частиц, если только все частицы не находятся в состоянии покоя (см. массу в специальной теории относительности для более подробной информации). Подстановка и перестановка дают обобщение ( 1 );
( 2 )
Все энергии и импульсы в уравнении зависят от системы отсчета, в то время как M 0 не зависит от системы отсчета.
Кадр с центром импульса
В кадре центра импульса (COM-кадр) по определению мы имеем:
с выводом из ( 2 ), что инвариантная масса также является центром импульса (COM) масса-энергия, помимо фактора c 2 :
и это верно для всех кадров, поскольку M 0 не зависит от кадра. Энергии E COM n находятся в кадре COM, а не в лабораторном кадре.
Массы покоя и инвариантная масса
Либо энергии, либо импульсы частиц, измеренные в некоторой системе отсчета, могут быть исключены с помощью соотношения энергии и импульса для каждой частицы:
позволяя выразить M 0 через энергии и массы покоя или импульсы и массы покоя. В конкретном фрейме квадраты сумм можно переписать как суммы квадратов (и произведений):
поэтому подставляя суммы, мы можем ввести их массы покоя m n в ( 2 ):
Энергии могут быть устранены:
аналогично импульсы могут быть устранены:
где θ nk - угол между векторами импульса p n и p k .
Перестановка:
Поскольку инвариантная масса системы и массы покоя каждой частицы не зависят от системы отсчета, правая часть также является инвариантом (хотя энергии и импульсы все измеряются в определенной системе отсчета).
Волны материи
Используя соотношения де Бройля для энергии и импульса для волн материи ,
где ω - угловая частота, а k - волновой вектор с величиной | k | = k , равное волновому числу , соотношение энергия – импульс можно выразить через волновые величины:
и убираем, разделив на ( ħc ) 2 повсюду:
( 3 )
Это также можно получить из величины четырехволнового вектора
так же, как и в случае с четырьмя импульсами выше.
Поскольку уменьшенная постоянная Планка ħ и скорость света c появляются и загромождают это уравнение, именно здесь естественные единицы особенно полезны. Нормируя их так, чтобы ħ = c = 1 , мы имеем:
Тахион и экзотическая материя
Скорость брадиона с релятивистским соотношением энергия – импульс
никогда не может превышать c . Напротив, оно всегда больше c для тахиона , уравнение энергии-импульса которого имеет вид [8]
Напротив, гипотетическая экзотическая материя имеет отрицательную массу [9], а уравнение энергии-импульса имеет вид
Смотрите также
- Эквивалентность массы и энергии
- Четыре импульса
- Масса в специальной теории относительности
Рекомендации
- ^ a b Даниэль Клеппнер ; Роберт Дж. Коленков (2010) [1973]. Введение в механику . Издательство Кембриджского университета. С. 499 –500. ISBN 978-0-521-19821-9.
- ^ JR Forshaw; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Вайли. стр. 149 , 249. ISBN 978-0-470-01460-8.
- ^ Д. МакМахон (2006). Относительность . Демистифицированный. Мак Гроу Хилл (США). п. 20 . ISBN 0-07-145545-0.
- ^ Д. МакМахон (2008). Квантовая теория поля . Демистифицированный. Мак Гроу Хилл (США). С. 11 , 88. ISBN 978-0-07-154382-8.
- ^ Айсберг, Р., Резник, Р. (1985) Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц. 2-е издание, John Wiley & Sons. Нью-Йорк. стр.132. ISBN 0-471-87373-X
- ^ JR Forshaw; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Вайли. стр. 258 -259. ISBN 978-0-470-01460-8.
- ^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 201 , 649, 1188. ISBN 0-7167-0344-0.
- ^ Г. Файнберг (1967). «Возможность частиц быстрее света». Физический обзор . 159 (5): 1089–1105. Bibcode : 1967PhRv..159.1089F . DOI : 10.1103 / PhysRev.159.1089 .
- ^ ZYWang (2016). «Современная теория электромагнитных метаматериалов». Плазмоника . 11 (2): 503–508. DOI : 10.1007 / s11468-015-0071-7 . S2CID 122346519 .
- А. Халперн (1988). 3000 Решенных задач по физике, Серия Шаум . Макгроу-Хилл. С. 704–705. ISBN 978-0-07-025734-4.
- Г. Воан (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Издательство Кембриджского университета. п. 65 . ISBN 978-0-521-57507-2.
- CB Parker (1994). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Макгроу-Хилл. С. 1192, 1193 . ISBN 0-07-051400-3.
- Р.Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели СКЗ. п. 1052 . ISBN 0-89573-752-3.