Релятивистская квантовая механика

Часть серии по
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В физике , релятивистская квантовая механика (RQM) является любым Пуанкаром ковариантного формулировка квантовой механики (QM). Эта теория применима к массивным частицам, распространяющимся со всеми скоростями вплоть до скорости света  c , и может вмещать безмассовые частицы . Теория имеет применение в физике высоких энергий , ^[1] физике элементарных частиц и ускорителей физики , ^[2] , а также атомная физика , химия ^[3] ифизика конденсированного состояния . ^{[4] [5]} Нерелятивистская квантовая механика относится к математической формулировке квантовой механики, применяемой в контексте теории относительности Галилея , в частности, квантованию уравнений классической механики путем замены динамических переменных операторами . Релятивистская квантовая механика (RQM) - это квантовая механика, применяемая со специальной теорией относительности . Хотя более ранние формулировки, такие как картина Шредингера и картина Гейзенберга изначально были сформулированы в нерелятивистском контексте, некоторые из них (например, формализм Дирака или интеграла по путям) также работают со специальной теорией относительности.

Основные характеристики , общие для всех RQMs включает: предсказание антиматерии , спиновые магнитные моменты из элементарного спина 1 / 2 фермионов , тонкая структуры и квантовой динамики заряженных частиц в электромагнитных полях . ^[6] Ключевым результатом является уравнение Дирака , из которого эти предсказания возникают автоматически. Напротив, в нерелятивистской квантовой механике необходимо искусственно вводить члены в оператор Гамильтона, чтобы достичь согласия с экспериментальными наблюдениями.

Наиболее успешной (и наиболее широко используемой) RQM является релятивистская квантовая теория поля (QFT), в которой элементарные частицы интерпретируются как кванты поля . Уникальным следствием КТП, которое было протестировано против других RQM, является нарушение сохранения числа частиц, например, при создании и уничтожении материи . ^[7]

В этой статье уравнения записываются в знакомой нотации трехмерного векторного исчисления и используют шляпы для операторов (не обязательно в литературе), а там, где могут быть собраны пространственные и временные компоненты, также показаны обозначения тензорного индекса (часто используемые в литературе) , кроме того, используется соглашение Эйнштейна о суммировании . Здесь используются единицы СИ ; Обычными альтернативами являются гауссовы единицы и натуральные единицы . Все уравнения представлены в позиционном представлении; для представления импульса уравнения должны быть преобразованы Фурье - см. пространство положения и импульса .

Сочетание специальной теории относительности и квантовой механики [ править ]

Один из подходов - модифицировать картину Шредингера, чтобы она соответствовала специальной теории относительности. ^[2]

Постулат квантовой механики является то , что временная эволюция любой квантовой системы задается уравнением Шредингера :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi }$

с помощью подходящего гамильтонова оператора Ĥ, соответствующего системе. Раствор представляет собой комплекс значной волновая ψ ( г , т ) , А функция от 3D - вектор г частицы в момент времени Т , описывающая поведение системы.

Каждая частица имеет неотрицательное квантовое число спина s . Число 2 s - целое, нечетное для фермионов и четное для бозонов . Каждый s имеет 2 s + 1 квантовых числа z- проекции; σ  =  s , s  - 1, ..., - s  + 1, - s . ^[a] Это дополнительная дискретная переменная, которую требует волновая функция; ψ ( r ,  t ,  σ ) .

Исторически сложилось так, что в начале 1920-х Паули , Крониг , Уленбек и Гоудсмит первыми предложили концепцию вращения. Включение спина в волновой функции включает в себя Пауль принцип исключения (1925) и более общий спин-статистику теорема (1939) из - за Фирец , rederived Паулей годом позже. Это объяснение разнообразных субатомных частиц поведения и явлений: от электронных конфигураций атомов, ядер (и , следовательно , всех элементов на периодическую таблице , и их химии), конфигурациям кварков и цветному заряду (отсюда и свойства барионов и мезонов ).

Фундаментальным предсказанием специальной теории относительности является релятивистское соотношение энергии-импульса ; для частицы с массой покоя m и в конкретной системе отсчета с энергией E и 3- импульсом p с величиной в терминах скалярного произведения это: ^[8]${\displaystyle p={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}$

${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +(mc^{2})^{2}\,.}$

Эти уравнения используются вместе с операторами энергии и импульса , которые соответственно:

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \,,}$

построить релятивистское волновое уравнение (RWE): уравнение в частных производных, согласующееся с соотношением энергии-импульса и решаемое относительно ψ для предсказания квантовой динамики частицы. Для того чтобы пространство и время были уравновешены, как в теории относительности, порядки частных производных пространства и времени должны быть равными, а в идеале - как можно более низкими, чтобы не указывать начальные значения производных. Это важно для вероятностных интерпретаций, проиллюстрированных ниже. Наинизший возможный порядок любого дифференциального уравнения - это первый (производные нулевого порядка не образуют дифференциальное уравнение).

Картина Гейзенберга - это еще одна формулировка QM, и в этом случае волновая функция ψ не зависит от времени , а операторы A ( t ) содержат временную зависимость, определяемую уравнением движения:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A={\frac {1}{i\hbar }}[A,{\hat {H}}]+{\frac {\partial }{\partial t}}A\,,}$

Это уравнение также верно в RQM при условии, что операторы Гейзенберга модифицированы для согласования с SR. ^{[9] [10]}

Исторически сложилось так, что примерно в 1926 году Шредингер и Гейзенберг показали, что волновая механика и матричная механика эквивалентны, что позже было развито Дираком с использованием теории преобразований .

Более современный подход к RWE, впервые представленный во время разработки RWE для частиц любого спина, заключается в применении представлений группы Лоренца .

Пространство и время [ править ]

В классической механике и нерелятивистской КМ время - это абсолютная величина, с которой всегда могут согласиться все наблюдатели и частицы, «отсчитываемые» на заднем плане независимо от пространства. Таким образом, в нерелятивистской КМ для системы многих частиц имеется ψ ( r ₁ , r ₂ , r ₃ , ..., t , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ...) .

В релятивистской механике , то пространственные координаты и координата времени являются не абсолютными; любые два наблюдателя, движущиеся относительно друг друга, могут измерять разные места и время событий . Координаты положения и времени естественным образом объединяются в четырехмерное пространственно-временное положение X = ( ct , r ), соответствующее событиям, а энергия и 3-импульс естественным образом объединяются в четыре импульса P = ( E / c , p ) динамического частица, измеренная в некоторых опорный кадр , изменяется в соответствии с преобразованием Лоренца при измерении в другом кадре, увеличенном и / или повернутом относительно исходного рассматриваемого кадра. Производные операторы, а значит, и операторы энергии и 3-импульса также неинвариантны и изменяются при преобразованиях Лоренца.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца ( r , t ) → Λ ( r , t ) в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ _σ локально преобразуются при некотором представлении D группы Лоренца : ^{[11] [12]}

${\displaystyle \psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))}$

где D (Λ) - конечномерное представление, другими словами, квадратная матрица размером (2 s + 1) × (2 s + 1) . Опять же, ψ рассматривается как вектор-столбец, содержащий компоненты с (2 s + 1) допустимыми значениями σ . В квантовых числах S и σ , а также другие метки, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа подавлены. Одно значение σ может встречаться более одного раза в зависимости от представления.

Нерелятивистские и релятивистские гамильтонианы [ править ]

Классический гамильтониан для частицы в потенциале является кинетической энергией р · р / 2 м плюс потенциальная энергия V ( г , т ) , с соответствующим квантовым оператором в картине Шредингера :

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)}$

и подстановка этого в приведенное выше уравнение Шредингера дает нерелятивистское уравнение КМ для волновой функции: процедура представляет собой прямую замену простого выражения. Напротив, в RQM это не так просто; уравнение энергии-импульса квадратично по энергии и импульсу, что приводит к затруднениям. Наивно постановка:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {E}}={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\quad \Rightarrow \quad i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\,\psi }$

не помогает по нескольким причинам. Квадратный корень операторов нельзя использовать в его нынешнем виде; его необходимо разложить в степенной ряд, прежде чем оператор импульса, возведенный в степень в каждом члене, сможет воздействовать на ψ . В результате силовых серии, пространственные и временные производные являются полностью асимметричными : бесконечным порядком в пространстве , но только производных первый порядок в производной по времени, которое является безвкусным и громоздким. Опять же, существует проблема неинвариантности оператора энергии, приравниваемого к квадратному корню, который также не является инвариантным. Другая проблема, менее очевидная и более серьезная, заключается в том, что она может быть нелокальной и может даже нарушать причинно-следственную связь.: если частица изначально локализована в точке r _0, так что ψ ( r ₀ , t = 0) конечна и равна нулю в другом месте, то в любой более поздний момент уравнение предсказывает делокализацию ψ ( r , t ) ≠ 0 всюду, даже для | г | > ct, что означает, что частица могла прибыть в точку раньше, чем импульс света. Это должно быть исправлено дополнительным ограничением ψ ( | r |> ct , t ) = 0 . ^[13]

Существует также проблема включения спина в гамильтониан, что не является предсказанием нерелятивистской теории Шредингера. Частицы со спином имеют соответствующий спиновый магнитный момент, квантованный в единицах μ _B , магнетон Бора : ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-{\frac {g\mu _{B}}{\hbar }}{\hat {\mathbf {S} }}\,,\quad \left|{\boldsymbol {\mu }}_{S}\right|=-g\mu _{B}\sigma \,,}$

где g - (спиновый) g-фактор частицы, а S - оператор спина , поэтому они взаимодействуют с электромагнитными полями . Для частицы во внешнем магнитном поле B член взаимодействия ^[16]

${\displaystyle {\hat {H}}_{B}=-\mathbf {B} \cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}}$

должен быть добавлен к вышеупомянутому нерелятивистскому гамильтониану. Напротив; релятивистский гамильтониан автоматически вводит спин как требование обеспечения релятивистского соотношения энергии-импульса. ^[17]

Релятивистские гамильтонианы аналогичны гамильтонианам нерелятивистской КМ в следующем отношении; есть термины, включающие массу покоя и члены взаимодействия с внешними приложенными полями, аналогичные классическому члену потенциальной энергии, а также члены импульса, подобные классическому члену кинетической энергии. Ключевое отличие состоит в том, что релятивистские гамильтонианы содержат спиновые операторы в форме матриц , в которых матричное умножение проходит по спиновому индексу σ , так что в общем случае релятивистский гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}(\mathbf {r} ,t,{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {S} }})}$

является функцией пространства, времени и операторов импульса и спина.

Уравнения Клейна – Гордона и Дирака для свободных частиц [ править ]

Подстановка операторов энергии и импульса непосредственно в соотношение энергия-импульс может на первый взгляд показаться привлекательной для получения уравнения Клейна – Гордона : ^[18]

${\displaystyle {\hat {E}}^{2}\psi =c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \,,}$

и был открыт многими людьми из-за простого способа его получения, особенно Шредингером в 1925 году, прежде чем он нашел нерелятивистское уравнение, названное его именем, и Кляйном и Гордоном в 1927 году, которые включили в уравнение электромагнитные взаимодействия. Это является релятивистский инвариантно , но в одиночку этим уравнение не является достаточным основанием для РОГО по нескольким причинам; во-первых, состояния с отрицательной энергией являются решениями ^{[2] [19], во-} вторых, плотность (приведена ниже), и это уравнение в его нынешнем виде применимо только к бесспиновым частицам. Это уравнение можно разложить на множители в виде: ^{[20] [21]}

${\displaystyle \left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\left({\hat {E}}+c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}\right)\psi =0\,,}$

где α = ( α ₁ , α ₂ , α ₃ ) и β - это не просто числа или векторы, а эрмитовы матрицы 4 × 4 , которые требуются для антикоммутации для i ≠ j :

${\displaystyle \alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i},\quad \alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}\,,}$

и возведем в квадрат единичную матрицу :

${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I\,,}$

так что члены со смешанными производными второго порядка сокращаются, а производные второго порядка остаются чисто в пространстве и времени. Первый фактор:

${\displaystyle \left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\psi =0\quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}=c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}}$

- уравнение Дирака . Другой фактор - это тоже уравнение Дирака, но для частицы с отрицательной массой . ^[20] Каждый фактор релятивистски инвариантен. Рассуждения могут быть сделаны наоборот: предложите гамильтониан в приведенной выше форме, как это сделал Дирак в 1928 году, затем предварительно умножьте уравнение на другой множитель операторов E + c α · p + βmc ² и сравните с Уравнение КГ определяет ограничения на α и β . Уравнение положительной массы можно продолжать использовать без потери непрерывности. Матрицы, умножающие ψпредполагаем, что это не скалярная волновая функция, как разрешено в уравнении KG, а должна быть четырехкомпонентной сущностью. Уравнение Дирака еще предсказывает отрицательную энергию решений, ^{[6] [22]} , так Дирака постулировал , что отрицательные энергетические состояния всегда заняты, так как в соответствии с принципом Паулей , электронные переходы от положительного до отрицательных уровней энергии в атомах были бы запрещены. См. Подробности в море Дирака .

Плотности и токи [ править ]

В нерелятивистской квантовой механике квадратный модуль волновой функции ψ дает функцию плотности вероятности ρ = | ψ | ² . Это копенгагенская интерпретация примерно 1927 года. В RQM, в то время как ψ ( r , t ) - волновая функция, вероятностная интерпретация не такая, как в нерелятивистской QM. Некоторые RWE не предсказывают плотность вероятности ρ или ток вероятности j (на самом деле означает плотность тока вероятности ), потому что они не являются положительно определенными функциямипространства и времени. Уравнение Дирака : ^[23]

${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi ,\quad \mathbf {j} =\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}{\boldsymbol {\gamma }}\psi \quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\psi }$

где кинжал обозначает эрмитово сопряженное соединение (авторы обычно пишут ψ = ψ ^† γ ⁰ для сопряженного по Дираку ), а J ^μ - вероятностный четырехтоковый элемент , в то время как уравнение Клейна – Гордона этого не делает: ^[24]

${\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,,\quad \mathbf {j} =-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)\quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})}$

где ∂ ^μ - четыре градиента . Поскольку начальные значения ψ и ∂ ψ / ∂ t могут быть выбраны произвольно, плотность может быть отрицательной.

Вместо того , что появляется взгляд на первый взгляд «плотность вероятности» и «вероятность» ток должен быть переосмыслены в качестве плотности заряда и плотности тока при умножении на электрический заряд . Тогда волновая функция ψ вообще не будет волновой функцией, а будет интерпретироваться как поле . ^[13] Плотность и ток электрического заряда всегда удовлетворяют уравнению неразрывности :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0\quad \rightleftharpoons \quad \partial _{\mu }J^{\mu }=0\,,}$

поскольку заряд - это сохраненная величина . Плотность вероятности и ток также удовлетворяют уравнению неразрывности, поскольку вероятность сохраняется, однако это возможно только при отсутствии взаимодействий.

Спиновые и электромагнитно взаимодействующие частицы [ править ]

Включать взаимодействия в RWE обычно сложно. Минимальная связь - это простой способ включить электромагнитное взаимодействие. Для одной заряженной частицы с электрическим зарядом q в электромагнитном поле, заданном векторным магнитным потенциалом A ( r , t ), определяемым магнитным полем B = ∇ × A , и электрическим скалярным потенциалом ϕ ( r , t ) , это: ^[25]

${\displaystyle {\hat {E}}\rightarrow {\hat {E}}-q\phi \,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}\rightarrow {\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \quad \rightleftharpoons \quad {\hat {P}}_{\mu }\rightarrow {\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu }}$

где P _μ - четырехмерный импульс, которому соответствует оператор четырехмерного импульса , а A _μ - четырехмерный потенциал . В дальнейшем нерелятивистский предел относится к предельным случаям:

${\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}\,,\quad \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,,}$

то есть полная энергия частицы приблизительно равна энергии покоя для малых электрических потенциалов, а импульс приблизительно равен классическому импульсу.

Spin 0 [ править ]

В RQM уравнение KG допускает рецепт минимальной связи;

${\displaystyle {({\hat {E}}-q\phi )}^{2}\psi =c^{2}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[{({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })}{({\hat {P}}^{\mu }-qA^{\mu })}-{(mc)}^{2}\right]\psi =0.}$

В случае, когда заряд равен нулю, уравнение тривиально сводится к уравнению свободного КГ, поэтому ниже предполагается ненулевой заряд. Это скалярное уравнение, инвариантное относительно неприводимого одномерного скалярного (0,0) представления группы Лоренца. Это означает, что все его решения будут принадлежать прямой сумме (0,0) представлений. Решения, которые не принадлежат неприводимому (0,0) представлению, будут иметь две или более независимых компоненты. Такие решения, вообще говоря, не могут описывать частицы с ненулевым спином, поскольку спиновые компоненты не являются независимыми. Для этого потребуется наложить другое ограничение, например уравнение Дирака для спина 1/2, Смотри ниже. Таким образом, если система удовлетворяет только уравнению КГ , ее можно интерпретировать только как систему с нулевым спином.

Электромагнитное поле рассматривается классически в соответствии с уравнениями Максвелла, а частица описывается волновой функцией, решением уравнения КГ. Уравнение в его нынешнем виде не всегда очень полезно, потому что массивные бесспиновые частицы, такие как π -мезоны, испытывают гораздо более сильное взаимодействие в дополнение к электромагнитному взаимодействию. Однако он правильно описывает заряженные бесспиновые бозоны в отсутствие других взаимодействий.

Уравнение КГ применимо к бесспиновым заряженным бозонам во внешнем электромагнитном потенциале. ^[2] Таким образом, уравнение не может быть применено к описанию атомов, поскольку электрон - это спин 1/2частица. В нерелятивистском пределе уравнение сводится к уравнению Шредингера для бесспиновой заряженной частицы в электромагнитном поле: ^[16]

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi ={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}+q\phi .}$

Вращение 1/2[ редактировать ]

Номера релятивистски-, спина была феноменологический введены в Паулях уравнения по Паулям в 1927 для частиц в электромагнитном поле :

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\left[{\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}\right]\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}+q\phi }$

с помощью матриц Паули 2 × 2 , а ψ - это не просто скалярная волновая функция, как в нерелятивистском уравнении Шредингера, а двухкомпонентное спинорное поле :

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\uparrow }\\\psi _{\downarrow }\end{pmatrix}}}$

где нижние индексы ↑ и ↓ относятся к «раскрутке вверх» ( σ = +1/2) и «замедление вращения» ( σ = -1/2) состояния. ^[b]

В RQM уравнение Дирака может также включать минимальную связь, переписанную сверху;

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}-mc^{2}\right]\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma ^{\mu }({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })-mc^{2}\right]\psi =0}$

и было первым уравнением для точного предсказания спина, следствием гамма-матриц 4 × 4 γ ⁰ = β , γ = ( γ ₁ , γ ₂ , γ ₃ ) = β α = ( βα ₁ , βα ₂ , βα ₃ ) . Существует единичная матрица 4 × 4, перед которой выполняется предварительное умножение оператора энергии (включая член потенциальной энергии), обычно не записываемого для простоты и ясности (т.е. трактуемого как число 1). Здесь ψпредставляет собой четырехкомпонентное спинорное поле, которое условно разбивают на два двухкомпонентных спинора в виде: ^[c]

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{+\uparrow }\\\psi _{+\downarrow }\\\psi _{-\uparrow }\\\psi _{-\downarrow }\end{pmatrix}}}$

2-спинор ψ ₊ соответствует частице с 4-импульсом ( E , p ) и зарядом q и двумя спиновыми состояниями ( σ = ±1/2, как прежде). Другой 2-спинор ψ _- соответствует аналогичной частице с такими же состояниями массы и спина, но с отрицательным 4-импульсом - ( E , p ) и отрицательным зарядом - q , то есть состояниями с отрицательной энергией, обращенным во времени импульсом и отрицательный заряд . Это была первая интерпретация и предсказание частицы и соответствующей античастицы . См. Спинор и биспинор Дирака для дальнейшего описания этих спиноров. В нерелятивистском пределе уравнение Дирака сводится к уравнению Паули (см.Уравнение Дирака о том, как). Когда применяется одноэлектронный атом или ион, устанавливая A = 0 и ϕ равным соответствующему электростатическому потенциалу, дополнительные релятивистские члены включают спин-орбитальное взаимодействие , гиромагнитное отношение электронов и член Дарвина . В обычном КМ эти члены нужно вводить вручную и обрабатывать с помощью теории возмущений . Положительные энергии точно объясняют тонкую структуру.

В рамках RQM для безмассовых частиц уравнение Дирака сводится к:

${\displaystyle \left({\frac {\hat {E}}{c}}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{+}=0\,,\quad \left({\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{-}=0\quad \rightleftharpoons \quad \sigma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }\psi _{+}=0\,,\quad \sigma _{\mu }{\hat {P}}^{\mu }\psi _{-}=0\,,}$

первым из которых является уравнение Вейля , значительное упрощение, применимое к безмассовым нейтрино . ^{[26] На} этот раз имеется единичная матрица 2 × 2, предварительно умножающая оператор энергии, который обычно не записывается. В RQM полезно принять это как нулевую матрицу Паули σ _0, которая связана с оператором энергии (производной по времени), так же, как другие три матрицы связаны с оператором импульса (пространственные производные).

Матрицы Паули и гамма были введены здесь в теоретическую физику, а не в чистую математику . У них есть приложения к кватернионам и группам Ли SO (2) и SO (3) , поскольку они удовлетворяют важным коммутаторным [,] и антикоммутаторным [,] ₊ соотношениям соответственно:

${\displaystyle \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}\,,\quad \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]_{+}=2\delta _{ab}\sigma _{0}}$

где ε _abc - трехмерный символ Леви-Чивиты . Гамма-матрицы образуют базис в алгебре Клиффорда и связаны с компонентами плоской метрики Минковского η ^αβ плоского пространства-времени в антикоммутационном соотношении:

${\displaystyle \left[\gamma ^{\alpha },\gamma ^{\beta }\right]_{+}=\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }+\gamma ^{\beta }\gamma ^{\alpha }=2\eta ^{\alpha \beta }\,,}$

(Это можно распространить на искривленное пространство-время , введя вирбейны , но это не является предметом специальной теории относительности).

В 1929 году было обнаружено , что уравнение Брейта описывает два или более электромагнитно взаимодействующих массивных спина 1/2фермионы к релятивистским поправкам первого порядка; одна из первых попыток описать такую ​​релятивистскую квантовую систему многих частиц . Однако это все еще только приближение, а гамильтониан включает в себя множество длинных и сложных сумм.

Спиральность и хиральность [ править ]

Оператор спиральности определяется следующим образом:

${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {\hat {\mathbf {p} }}{|\mathbf {p} |}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}}$

где p - оператор импульса, S - оператор спина для частицы со спином s , E - полная энергия частицы, а m _{0 -} ее масса покоя. Спиральность указывает ориентацию векторов спина и поступательного импульса. ^[27] Спиральность зависит от кадра из-за 3-импульса в определении и квантуется из-за квантования спина, которое имеет дискретные положительные значения для параллельного выравнивания и отрицательные значения для антипараллельного выравнивания.

Автоматическое появление в уравнении Дирака (и уравнении Вейля) - это проекция спина 1/2оператор на 3-импульс (умноженный на c ), σ · c p , который является спиральностью (для спина 1/2случае) раз .${\displaystyle {\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}$

Для безмассовых частиц спиральность упрощается до:

${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{E}}}$

Высшие спины [ править ]

Уравнение Дирака может описывать только частицы со спином 1/2. Помимо уравнения Дирака, RWE применялись к свободным частицам с различными спинами. В 1936 году Дирак распространил свое уравнение на все фермионы, три года спустя Фирц и Паули перевели это уравнение. ^[28] Уравнения Баргмана – Вигнера были найдены в 1948 году с использованием теории групп Лоренца и применимы для всех свободных частиц с любым спином. ^{[29] [30]} Рассматривая факторизацию приведенного выше уравнения КГ и более строго с помощью теории групп Лоренца , становится очевидным введение спина в форме матриц.

Волновые являются многокомпонентными спинорными полями , которые могут быть представлены в виде векторов - столбцов из функций пространства и времени:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

где выражение справа - эрмитово сопряжение . Для массивной частицы со спином s существует 2 s + 1 компонента для частицы и еще 2 s + 1 для соответствующей античастицы ( в каждом случае есть 2 s + 1 возможное значение σ ), в сумме образующие 2 (2 s + 1) -компонентное спинорное поле:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{+,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{-,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }{\begin{bmatrix}{\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

с нижним индексом +, указывающим частицу, и нижним индексом - для античастицы. Однако для безмассовых частиц со спином s всегда существуют только двухкомпонентные спинорные поля; один предназначен для частицы в одном состоянии спиральности, соответствующем + s, а другой - для античастицы в состоянии противоположной спиральности, соответствующем - s :

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}\psi _{+}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-}(\mathbf {r} ,t)\end{pmatrix}}}$

Согласно релятивистскому соотношению энергия-импульс, все безмассовые частицы движутся со скоростью света, поэтому частицы, движущиеся со скоростью света, также описываются двухкомпонентными спинорами. Исторически сложилось так, что Эли Картан обнаружил наиболее общую форму спиноров в 1913 году, до того, как спиноры были обнаружены в RWE после 1927 года.

Для уравнений, описывающих частицы с более высоким спином, учет взаимодействий далеко не так прост, как простая минимальная связь, они приводят к неверным предсказаниям и самосогласованности. ^[31] Для вращения больше, чемчас/2, RWE не фиксируется массой, спином и электрическим зарядом частицы; электромагнитные моменты ( электрические дипольные моменты и магнитные дипольные моменты ), разрешенные квантовым числом спина , произвольны. (Теоретически, магнитный заряд тоже может внести свой вклад). Например, спин 1/2случай допускает только магнитный диполь, но для частиц со спином 1 также возможны магнитные квадруполи и электрические диполи. ^[26] Для получения дополнительной информации по этой теме см. Мультипольное расширение и (например) Cédric Lorcé (2009). ^{[32] [33]}

Оператор скорости [ править ]

Оператор скорости Шредингера / Паули может быть определен для массивной частицы, используя классическое определение p = m v и заменяя квантовые операторы обычным способом: ^[34]

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{m}}{\hat {\mathbf {p} }}}$

у которого есть собственные значения, принимающие любое значение. В RQM, теории Дирака, это:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {r} }}\right]}$

которые должны иметь собственные значения в диапазоне ± c . См. Преобразование Фолди – Ваутхайзена для получения более подробной теоретической информации.

Релятивистские квантовые лагранжианы [ править ]

Гамильтоновы операторы в картине Шредингера являются одним из подходов к формированию дифференциальных уравнений для ψ . Эквивалентная альтернатива - определить лагранжиан (на самом деле имеется в виду плотность лагранжиана ), а затем сгенерировать дифференциальное уравнение с помощью теоретико-полевого уравнения Эйлера – Лагранжа :

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,}$

Для некоторых RWE лагранжиан можно найти путем осмотра. Например, лагранжиан Дирака: ^[35]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}(\gamma ^{\mu }P_{\mu }-mc)\psi }$

а лагранжиан Клейна – Гордона равен:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\psi ^{*}\partial _{\nu }\psi -mc^{2}\psi ^{*}\psi \,.}$

Это возможно не для всех RWE; и это одна из причин, по которой теоретический подход группы Лоренца важен и привлекателен: фундаментальная инвариантность и симметрии в пространстве и времени могут использоваться для получения RWE с использованием соответствующих представлений групп. Лагранжиан подход с полевой интерпретацией ψ является предметом КТП, а не RQM: формулировка интеграла по путям Фейнмана использует инвариантные лагранжианы, а не гамильтоновы операторы, поскольку последние могут стать чрезвычайно сложными, см. (Например) Weinberg (1995). ^[36]

Релятивистский квантовый угловой момент [ править ]

В нерелятивистской КМ оператор углового момента формируется из классического определения псевдовектора L = r × p . В RQM операторы положения и импульса вставляются непосредственно там, где они появляются в орбитальном релятивистском тензоре углового момента, определяемом четырехмерным положением и импульсом частицы, что эквивалентно бивектору в формализме внешней алгебры : ^{[37] [d]}

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} \,,}$

всего шесть компонентов: три - нерелятивистские 3-орбитальные угловые моменты; M ¹² = L ³ , M ²³ = L ¹ , M ³¹ = L ² , а остальные три M ⁰¹ , M ⁰² , M ⁰³ являются повышениями центра масс вращающегося объекта. Для частиц со спином необходимо добавить дополнительный релятивистско-квантовый член. Для частицы с массой покоя т , то суммарный тензор углового момента:

${\displaystyle J^{\alpha \beta }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}+{\frac {1}{m^{2}}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }W_{\gamma }p_{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {J} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} +{\frac {1}{m^{2}}}\star (\mathbf {W} \wedge \mathbf {P} )}$

где звездочка обозначает двойственную по Ходжу , а

${\displaystyle W_{\alpha }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }M^{\beta \gamma }p^{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {W} =\star (\mathbf {M} \wedge \mathbf {P} )}$

является псевдовектор Паули-Любанского . ^[38] Подробнее о релятивистском спине см. (Например) Трошин и Тюрин (1994). ^[39]

Прецессия Томаса и спин-орбитальные взаимодействия [ править ]

В 1926 году открыта прецессия Томаса : релятивистские поправки к спину элементарных частиц с применением спин-орбитального взаимодействия атомов и вращения макроскопических объектов. ^{[40] [41]} В 1939 году Вигнер вывел прецессию Томаса.

В классическом электромагнетизме и специальной теории относительности электрон, движущийся со скоростью v через электрическое поле E, но не через магнитное поле B , будет в своей собственной системе отсчета испытывать магнитное поле B 'с преобразованием Лоренца :

${\displaystyle \mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}{\sqrt {1-\left(v/c\right)^{2}}}}}\,.}$

В нерелятивистском пределе v << c :

${\displaystyle \mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\,,}$

так что гамильтониан нерелятивистского спинового взаимодействия принимает следующий вид: ^[42]

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,,}$

где первый член уже нерелятивистский магнитный момент взаимодействие, а второе слагаемое релятивистской поправки порядка ( V / C ) ² , но это не согласен с экспериментальными атомными спектрами с коэффициентом ¹ / ₂ . Л. Томас указал на второй релятивистский эффект: компонент электрического поля, перпендикулярный скорости электрона, вызывает дополнительное ускорение электрона, перпендикулярное его мгновенной скорости, поэтому электрон движется по кривой. Электрон движется во вращающейся системе отсчета , и эта дополнительная прецессия электрона называется прецессией Томаса . Можно показать ^[43] что конечный результат этого эффекта состоит в том, что спин-орбитальное взаимодействие уменьшается вдвое, как если бы магнитное поле, испытываемое электроном, имеет только половину значения, а релятивистская поправка в гамильтониане составляет:

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{2c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,.}$

В случае RQM, коэффициент ¹ / ₂ предсказывается уравнением Дирака. ^[42]

История [ править ]

События, которые привели к возникновению и установлению RQM, а также дальнейшее развитие квантовой электродинамики (QED), суммированы ниже [см., Например, R. Resnick and R. Eisberg (1985), ^[44] и PW Atkins (1974) ^{[ 45]} ]. Более полувека экспериментальных и теоретических исследований с 1890-х до 1950-х годов в новой и загадочной квантовой теории, когда она появлялась и появлялась, показали, что ряд явлений не может быть объяснен только с помощью КМ. SR, обнаруженный на рубеже 20-го века, был признан необходимым компонентом, ведущим к унификации: RQM. Теоретические предсказания и эксперименты в основном сосредоточены на недавно открытой атомной физике , ядерной физике., и физика элементарных частиц ; рассматривая спектроскопию , дифракцию и рассеяние частиц, а также электронов и ядер внутри атомов и молекул. Многочисленные результаты приписываются эффектам вращения.

Релятивистское описание частиц в квантовых явлениях [ править ]

Альберт Эйнштейн в 1905 году объяснил фотоэлектрический эффект ; описание частиц света как фотонов . В 1916 году Зоммерфельд объясняет тонкую структуру ; расщепление спектральных линий из атомов вследствие релятивистских поправок первого порядка. Эффект Комптона 1923 г. предоставил больше доказательств применимости специальной теории относительности; в данном случае - к частичному описанию фотон-электронного рассеяния. де Бройль распространяет дуальность волна-частица на материю : соотношения де Бройля, которые согласуются со специальной теорией относительности и квантовой механикой. К 1927 году Дэвиссон и Гермер и отдельно Дж. Томсон успешно дифрагируют электроны, обеспечивая экспериментальное доказательство дуальности волна-частица.

Эксперименты [ править ]

• 1897 г. Дж. Дж. Томсон обнаруживает электрон и измеряет его отношение массы к заряду . Открытие эффекта Зеемана : расщепление спектральной линии на несколько составляющих в присутствии постоянного магнитного поля.
• 1908 Милликен измеряет заряд электрона и находит экспериментальные доказательства его квантования в эксперименте с каплей масла .
• 1911 г. Рассеяние альфа-частиц в эксперименте Гейгера – Марсдена , проведенном Резерфордом , показало, что атомы обладают внутренней структурой: атомным ядром . ^[46]
• 1913 г. Обнаружен эффект Штарка : расщепление спектральных линий из-за статического электрического поля (сравните с эффектом Зеемана).
• 1922 г. Эксперимент Штерна – Герлаха : экспериментальное доказательство спина и его квантования.
• 1924 Стонер исследует расщепление энергетических уровней в магнитных полях .
• 1932 Экспериментальное открытие нейтрона по Чедвик и позитронов по Андерсону , что подтверждает теоретическое предсказание позитронов.
• 1958 Открытие эффекта Мёссбауэра : резонансное излучение без отдачи и поглощение гамма-излучения атомными ядрами, связанными в твердом теле, что полезно для точных измерений гравитационного красного смещения и замедления времени , а также для анализа ядерных электромагнитных моментов в сверхтонких взаимодействиях . ^[47]

Квантовая нелокальность и релятивистская локальность [ править ]

В 1935 г .; Эйнштейн, Розен , Подольский опубликовали статью ^[48] о квантовой запутанности частиц, ставящей под сомнение квантовую нелокальность и очевидное нарушение причинности, поддерживаемое в СТО: может казаться, что частицы взаимодействуют мгновенно на произвольных расстояниях. Это было заблуждением, поскольку информация не может быть передана в запутанных состояниях; скорее передача информации находится в процессе измерения двумя наблюдателями (один наблюдатель должен послать сигнал другому, который не может превышать c ). QM не нарушает SR. ^{[49] [50]} В 1959 году Бом и Аароновопубликовать статью ^[51] об эффекте Ааронова – Бома , в которой ставится под сомнение статус электромагнитных потенциалов в КМ. Тензор электромагнитного поля и EM-4 потенциальные препараты оба применимы в SR, но в QM потенциалы ввести гамильтониан (смотри выше) и влияет на движение заряженных частиц даже в тех регионах , где поля равны нулю. В 1964 г. теорема Белла была опубликована в статье о парадоксе ЭПР ^[52], показывающей, что КМ не может быть получена из локальных теорий скрытых переменных, если локальность должна сохраняться.

Сдвиг Агнца [ править ]

В 1947 году был обнаружен лэмбовский сдвиг: небольшая разница в ² S _{¹ / 2} и ² P _{¹ / 2} уровней водорода, из - за взаимодействие между электроном и вакуумом. Агнец и Retherford экспериментально измерить вынужденные радиочастотные переходы ² S _{¹ / 2} и ² Р _{¹ / 2} уровней водорода от микроволнового излучения. ^[53] Объяснение сдвига Лэмба представлено Бете.. Статьи об эффекте были опубликованы в начале 1950-х годов. ^[54]

Развитие квантовой электродинамики [ править ]

• 1943 Томонага начинает работу над перенормировкой , оказавшую влияние на QED.
• 1947 Швингер вычисляет аномальный магнитный момент электрона . Куш измеряет аномальный магнитный момент электрона, подтверждая одно из великих предсказаний КЭД.

См. Также [ править ]

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

Избранные книги [ править ]

• Дирак, РАМ (1981). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-852011-5.
• Дирак, РАМ (1964). Лекции по квантовой механике . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-41713-4.
• Таллер, Б. (2010). Уравнение Дирака . Springer. ISBN 978-3-642-08134-7.
• Паули, В. (1980). Общие принципы квантовой механики . Springer. ISBN 978-3-540-09842-3.
• Мерцбахер, Э. (1998). Квантовая механика (3-е изд.). ISBN 978-0-471-88702-7.
• Мессия, А. (1961). Квантовая механика . 1 . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-59766-7.
• Bjorken, JD; Дрелл, SD (1964). Релятивистская квантовая механика (теоретическая и прикладная физика) . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-005493-6.
• Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ; Сэндс, М. (1965). Лекции Фейнмана по физике . 3 . Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-02118-9.
• Шифф, Л.И. (1968). Квантовая механика (3-е изд.). Макгроу-Хилл.
• Дайсон, Ф. (2011). Продвинутая квантовая механика (2-е изд.). World Scientific. ISBN 978-981-4383-40-0.
• Клифтон, РК (2011). Перспективы квантовой реальности: нерелятивистские, релятивистские и теоретико-полевые . Springer. ISBN 978-90-481-4643-7.
• Tannoudji, C .; Diu, B .; Лалоэ, Ф. (1977). Квантовая механика . 1 . Wiley VCH. ISBN 978-0-471-16433-3.
• Tannoudji, C .; Diu, B .; Лалоэ, Ф. (1977). Квантовая механика . 2 . Wiley VCH. ISBN 978-0-471-16435-7.
• Рэй, AIM (2008). Квантовая механика . 2 (5-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-58488-970-0.
• Пилкун, Х. (2005). Релятивистская квантовая механика . Тексты и монографии в серии Physics (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-28522-9.
• Партасарати Р. (2010). Релятивистская квантовая механика . Alpha Science International. ISBN 978-1-84265-573-3.
• Kaldor, U .; Уилсон, С. (2003). Теоретическая химия и физика тяжелых и сверхтяжелых элементов . Springer. ISBN 978-1-4020-1371-3.
• Таллер, Б. (2005). Продвинутая визуальная квантовая механика . Springer. Bibcode : 2005avqm.book ..... T . ISBN 978-0-387-27127-9.
• Брейер, HP; Петруччоне, Ф. (2000). Релятивистские квантовые измерения и декогеренция . Springer. ISBN 978-3-540-41061-4. Релятивистская квантовая механика.
• Шеперд, PJ (2013). Курс теоретической физики . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-1-118-51692-8.
• Бете, штат Гавайи ; Джеки, RW (1997). Промежуточная квантовая механика . Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-32831-8.
• Heitler, W. (1954). Квантовая теория излучения (3-е изд.). Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-64558-2.
• Gottfried, K .; Ян Т. (2003). Квантовая механика: основы (2-е изд.). Springer. п. 245. ISBN 978-0-387-95576-6.
• Швабл, Ф. (2010). Квантовая механика . Springer. п. 220. ISBN 978-3-540-71933-5.
• Сакс, Р.Г. (1987). Физика обращения времени (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. п. 280 . ISBN 978-0-226-73331-9. сверхтонкая структура в релятивистской квантовой механике.

Теория групп в квантовой физике [ править ]

• Вейль, Х. (1950). Теория групп и квантовая механика . Courier Dover Publications. п. 203 . ISBN 9780486602691. магнитные моменты в релятивистской квантовой механике.
• Тунг, В.К. (1985). Теория групп в физике . World Scientific. ISBN 978-9971-966-56-0.
• Гейне, В. (1993). Теория групп в квантовой механике: введение в ее настоящее использование . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-67585-5.

Избранные статьи [ править ]

• Дирак, РАМ (1932). «Релятивистская квантовая механика» . Труды Королевского общества А . 136 (829): 453–464. Bibcode : 1932RSPSA.136..453D . DOI : 10.1098 / RSPA.1932.0094 .
• Паули, В. (1945). «Принцип исключения и квантовая механика» (PDF) .
• Антуан, JP (2004). «Релятивистская квантовая механика». J. Phys. . 37 (4): 1465. Bibcode : 2004JPhA ... 37.1463P . CiteSeerX  10.1.1.499.2793 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 37/4 / B01 .
• Henneaux, M .; Тейтельбойм, К. (1982). «Релятивистская квантовая механика суперсимметричных частиц». 143 .
• Fanchi, JR (1986). «Параметризация релятивистской квантовой механики». Phys. Rev. A . 34 (3): 1677–1681. Bibcode : 1986PhRvA..34.1677F . DOI : 10.1103 / PhysRevA.34.1677 . PMID  9897446 .
• Орд, GN (1983). «Фрактальное пространство-время: геометрический аналог релятивистской квантовой механики». J. Phys. . 16 (9): 1869–1884. Bibcode : 1983JPhA ... 16.1869O . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 16/9/012 .
• Coester, F .; Полизоу, WN (1982). «Релятивистская квантовая механика частиц с прямым взаимодействием». Phys. Rev. D . 26 (6): 1348–1367. Bibcode : 1982PhRvD..26.1348C . DOI : 10.1103 / PhysRevD.26.1348 .
• Манн, РБ; Ральф, TC (2012). «Релятивистская квантовая информация» (PDF) . Учебный класс. Квантовая гравитация . 29 (22): 220301. Bibcode : 2012CQGra..29v0301M . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 29/22/220301 . S2CID  123341332 .
• Низкий, SG (1997). «Канонически релятивистская квантовая механика: представления унитарной полупрямой группы Гейзенберга, U (1,3) * s H (1,3)». J. Math. Phys . 38 (22): 2197–2209. arXiv : физика / 9703008 . Bibcode : 2012CQGra..29v0301M . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 29/22/220301 .
• Fronsdal, C .; Lundberg, LE (1997). «Релятивистская квантовая механика двух взаимодействующих частиц». Phys. Rev. D . 1 (12): 3247–3258. arXiv : физика / 9703008 . Bibcode : 1970PhRvD ... 1.3247F . DOI : 10.1103 / PhysRevD.1.3247 .
• Бордовицын В.А.; Мягкий А Н (2004). «Спин-орбитальное движение и прецессия Томаса в классической и квантовой теориях» (PDF) . Американский журнал физики . 72 : 51–52. arXiv : физика / 0310016 . Bibcode : 2004AmJPh..72 ... 51K . DOI : 10.1119 / 1.1615526 . S2CID  119533324 .
• Rbilas, K. (2013). «Комментарий к« Элементарному анализу особой релятивистской комбинации скоростей, вращения Вигнера и прецессии Томаса » ». Евро. J. Phys . 34 (3): L55 – L61. Bibcode : 2013EJPh ... 34L..55R . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 34/3 / L55 .
• Корбен, ХК (1993). «Факторы 2 в магнитных моментах, спин-орбитальное взаимодействие и прецессия Томаса». Являюсь. J. Phys . 61 (6): 551. Bibcode : 1993AmJPh..61..551C . DOI : 10.1119 / 1.17207 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Релятивистская квантовая механика и теория поля [ править ]

• Олссон, Т. (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики до вводной квантовой теории поля . Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN 978-1-139-50432-4.
• Эйчисон, IJR; Эй, AJG (2002). Калибровочные теории в физике элементарных частиц: от релятивистской квантовой механики до КЭД . 1 (3-е изд.). CRC Press. ISBN 978-0-8493-8775-3.
• Гриффитс, Д. (2008). Введение в элементарные частицы . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-3-527-61847-7.
• Капри, Антон З. (2002). Релятивистская квантовая механика и введение в квантовую теорию поля . World Scientific. Bibcode : 2002rqmi.book ..... C . ISBN 978-981-238-137-8.
• Ву, Та-ты; Хван, WY Pauchy (1991). Релятивистская квантовая механика и квантовые поля . World Scientific. ISBN 978-981-02-0608-6.
• Нагашима, Ю. (2010). Физика элементарных частиц, квантовая теория поля . 1 . ISBN 978-3-527-40962-4.
• Bjorken, JD; Дрелл, SD (1965). Релятивистские квантовые поля (теоретическая и прикладная физика) . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-005494-3.
• Вайнберг, С. (1996). Квантовая теория полей . 2 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55002-4.
• Вайнберг, С. (2000). Квантовая теория полей . 3 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66000-6.
• Гросс, Ф. (2008). Релятивистская квантовая механика и теория поля . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-3-527-61734-0.
• Назаров Ю.В.; Данон, Дж. (2013). Продвинутая квантовая механика: Практическое руководство . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-76150-5.
• Боголюбов, Н.Н. (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Springer. п. 272. ISBN. 978-0-7923-0540-8.
• Mandl, F .; Шоу, Г. (2010). Квантовая теория поля (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-49683-0.
• Линдгрен, И. (2011). Релятивистская теория многих тел: новый теоретико-полевой подход . Серия Спрингера по атомной, оптической физике и физике плазмы. 63 . Springer. ISBN 978-1-4419-8309-1.
• Грант, ИП (2007). Релятивистская квантовая теория атомов и молекул . Атомная, оптическая физика и физика плазмы. Springer. ISBN 978-0-387-34671-7.

Квантовая теория и приложения в целом [ править ]

• Aruldhas, G .; Раджагопал, П. (2005). Современная физика . PHI Learning Pvt. ООО п. 395. ISBN 978-81-203-2597-5.
• Хуммель, Р. Э. (2011). Электронные свойства материалов . Springer. п. 395. ISBN 978-1-4419-8164-6.
• Павия, DL (2005). Введение в спектроскопию (4-е изд.). Cengage Learning. п. 105. ISBN 978-0-495-11478-9.
• Мизутани, У. (2001). Введение в электронную теорию металлов . Издательство Кембриджского университета. п. 387. ISBN. 978-0-521-58709-9.
• Чоппин, Г. Р. (2002). Радиохимия и ядерная химия (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 308. ISBN 978-0-7506-7463-8.
• Ситенко, А.Г. (1990). Теория ядерных реакций . World Scientific. п. 443. ISBN 978-9971-5-0482-3.
• Nolting, W .; Рамакант, А. (2008). Квантовая теория магнетизма . Springer. ISBN 978-3-540-85416-6.
• Лут, Х. (2013). Квантовая физика в наномире . Тексты для выпускников по физике. Springer. п. 149. ISBN 978-3-642-31238-0.
• Sattler, KD (2010). Справочник по нанофизике: функциональные наноматериалы . CRC Press. С. 40–43. ISBN 978-1-4200-7553-3.
• Кузманы, Х. (2009). Спектроскопия твердого тела . Springer. п. 256. ISBN 978-3-642-01480-2.
• Рид, Дж. М. (1984). Атомное ядро (2-е изд.). Издательство Манчестерского университета. ISBN 978-0-7190-0978-5.
• Швердтфегер, П. (2002). Теория релятивистской электронной структуры - основы . Теоретическая и вычислительная химия. 11 . Эльзевир. п. 208. ISBN 978-0-08-054046-7.
• Пиела, Л. (2006). Идеи квантовой химии . Эльзевир. п. 676. ISBN. 978-0-08-046676-7.
• Кумар, М. (2009). Квантовая (книга) . ISBN 978-1-84831-035-3.

Внешние ссылки [ править ]

• Пфейфер, W. (2008) [2004]. Релятивистская квантовая механика, введение .
• Лукачевич, Игорь (2013). «Релятивистская квантовая механика (конспект лекций)» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 26 августа 2014 года.
• де Санктис, М. (2011). "Введение в релятивистскую квантовую механику. I. От теории относительности к уравнению Дирака". arXiv : 0708.0052 [ Physics.gen -ph ].
• «Релятивистская квантовая механика» (PDF) . Кавендишская лаборатория . Кембриджский университет .
• Миллер, Дэвид Дж. (2008). «Релятивистская квантовая механика» (PDF) . Университет Глазго .
• Суонсон, Д.Г. (2007). «Основы и приложения квантовой механики» . Алабама, США: Тейлор и Фрэнсис. п. 160 .
• Калверт, Дж. Б. (2003). "Электрон частицы и прецессия Томаса" .
• Артеха С. Н. Спин и прецессия Томаса .