Релятивистские волновые уравнения

Часть серии по
Квантовая механика
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Задний план Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Амплитуда вероятности Распределение вероятностей Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Фокское пространство
Эффекты Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома. Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер Функциональная интеграция
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Гипотеза термализации собственного состояния Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В физике , особенно в релятивистской квантовой механике (RQM) и ее приложениях к физике элементарных частиц , релятивистские волновые уравнения предсказывают поведение частиц при высоких энергиях и скоростях, сравнимых со скоростью света . В контексте квантовой теории поля (КТП) уравнения определяют динамику квантовых полей . Решения уравнений, обычно обозначаемые как ψ или Ψ ( греч. Psi ), называются " волновыми функциями"."в контексте RQM, и" поля "в контексте QFT. Сами уравнения называются" волновыми уравнениями "или" уравнениями поля ", потому что они имеют математическую форму волнового уравнения или генерируются из плотности Лагранжа и теоретико - полевые уравнения Эйлера – Лагранжа (см. классическую теорию поля ).

В картине Шредингера волновая функция или поле является решением уравнения Шредингера ;

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi = {\ hat {H}} \ psi}$

один из постулатов квантовой механики . Все релятивистские волновые уравнения могут быть построены путем задания различных форм оператора Гамильтона Н , описывающей квантовую систему . В качестве альтернативы, Фейнман «ы пути интегральной формулировка использует Лагранж , а не оператор Гамильтона.

В более общем смысле - современный формализм, лежащий в основе релятивистских волновых уравнений, - это теория групп Лоренца , в которой спин частицы соответствует представлениям группы Лоренца . ^[1]

История [ править ]

Начало 1920-х: классическая и квантовая механика [ править ]

Неудача классической механики применительно к молекулярным , атомным и ядерным системам и меньше вызвала потребность в новой механике: квантовой механике . Математическая формулировка была разработана Де Бройлем , Бором , Шредингером , Паули , Гейзенбергом и другими примерно в середине 1920-х годов и в то время была аналогична классической механике. Уравнение Шредингера и картина Гейзенберга напоминают классические уравнения движения в пределе больших квантовых чисел.и в качестве восстановленного постоянная Планка ħ , квант действия , стремится к нулю. Это принцип соответствия . На этом этапе специальная теория относительности не была полностью объединена с квантовой механикой, поэтому формулировки Шредингера и Гейзенберга, как первоначально предлагалось, не могли использоваться в ситуациях, когда частицы движутся со скоростью, близкой к скорости света , или когда количество частиц каждого типа изменения (это происходит при реальных взаимодействиях частиц ; многочисленные формы распада частиц , аннигиляции , образования материи , образования пар и т. д.).

Конец 1920-х: релятивистская квантовая механика спина-0 и спина-1/2частицы [ править ]

Описание квантово-механических систем, которые могли бы объяснить релятивистские эффекты, искали многие физики-теоретики; с конца 1920-х до середины 1940-х гг. ^[2] Первая основа релятивистской квантовой механики , т.е. специальная теория относительности, применяемая вместе с квантовой механикой, была найдена всеми, кто открыл то, что часто называют уравнением Клейна – Гордона :

${\displaystyle -\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+(\hbar c)^{2}\nabla ^{2}\psi =(mc^{2})^{2}\psi \,,}$

( 1 )

вставив оператор энергии и оператор импульса в релятивистской энергии-импульса соотношением :

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}\,,}$

( 2 )

Решениями ( 1 ) являются скалярные поля . Уравнение KG нежелательно из-за его предсказания отрицательных энергий и вероятностей в результате квадратичного характера ( 2 ) - неизбежного в релятивистской теории. Это уравнение было первоначально предложено Шредингером, и он отказался от него по таким причинам, только чтобы через несколько месяцев понять, что его нерелятивистский предел (то, что сейчас называют уравнением Шредингера ) все еще имеет значение. Тем не менее - ( 1 ) применимо к бозонам со спином 0 . ^[3]

Ни нерелятивистские, ни релятивистские уравнения, найденные Шредингером, не могли предсказать тонкую структуру в спектральной серии водорода . Таинственным основным свойством было вращение . Первые двумерные спиновые матрицы (более известные как матрицы Паули ) были введены Паули в уравнение Паули ; уравнение Шредингера с нерелятивистским гамильтонианом, включающее дополнительный член для частиц в магнитных полях , но это было феноменологически . Вейль нашел релятивистское уравнение в терминах матриц Паули; уравнение Вейль , для безмассовых вращение-1/2фермионы. Проблема была решена Дираком в конце 1920-х годов, когда он способствовал применению уравнения ( 2 ) к электрону - с помощью различных манипуляций он разложил уравнение на множители в виде:

${\displaystyle \left({\frac {E}{c}}-{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} -\beta mc\right)\left({\frac {E}{c}}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta mc\right)\psi =0\,,}$

( 3А )

и одним из этих факторов является уравнение Дирака (см. ниже) после добавления операторов энергии и импульса. Это впервые ввело новые четырехмерные спиновые матрицы α и β в релятивистское волновое уравнение и объяснило тонкую структуру водорода. Решениями ( 3A ) являются многокомпонентные спинорные поля , и каждая компонента удовлетворяет ( 1 ). Замечательный результат спинорных решений состоит в том, что половина компонентов описывает частицу, а другая половина описывает античастицу ; в данном случае электрон и позитрон . Теперь известно, что уравнение Дирака применимо для всех массивных спиновых1/2 фермионы . В нерелятивистском пределе восстанавливается уравнение Паули, а в безмассовом случае получается уравнение Вейля.

Хотя уравнение Дирака является вехой в квантовой теории, оно справедливо только для спиновых1/2фермионов, и до сих пор предсказывает решения с отрицательной энергией, которые вызывали разногласия в то время (в частности, не всем физикам нравилось « море Дирака » состояний с отрицательной энергией).

1930–1960-е годы: релятивистская квантовая механика частиц с более высокими спинами [ править ]

Стала ясна естественная проблема: обобщить уравнение Дирака на частицы с любым спином ; как фермионы, так и бозоны, и в тех же уравнениях их античастицы (возможно из-за спинорного формализма, введенного Дираком в его уравнение, и недавних разработок спинорного исчисления Ван дер Варденом в 1929 году), и в идеале с решениями с положительной энергией. ^[2]

Это было введено и решено Майораном в 1932 году, отклонившись от Дирака. Майорана считал одним из «корней» ( 3A ):

${\displaystyle \left({\frac {E}{c}}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} -\beta mc\right)\psi =0\,,}$

( 3B )

где ψ - спинорное поле с бесконечным числом компонент, неприводимое к конечному числу тензоров или спиноров, чтобы устранить неопределенность в знаке. Эти матрицы альфа и β являются бесконечномерными матрицами, связанными с бесконечно малыми преобразованиями Лоренца . Он не требовал, чтобы каждый компонент 3B удовлетворял уравнению ( 2 ), вместо этого он регенерировал уравнение, используя лоренц-инвариантное действие , через принцип наименьшего действия и применение теории групп Лоренца . ^{[4] [5]}

Майорана внес и другие важные вклады, которые не были опубликованы, включая волновые уравнения различной размерности (5, 6 и 16). Их предвосхитили позже (более сложным образом) де Бройль (1934) и Даффин, Кеммер и Петио (около 1938–1939), см. Алгебру Даффина – Кеммера – Петио . Формализм Дирака – Фирца – Паули был более сложным, чем формализм Майорана, поскольку спиноры были новым математическим инструментом в начале двадцатого века, хотя статью Майораны 1932 года было трудно полностью понять; Паули и Вигнер потребовалось некоторое время, чтобы понять это, примерно в 1940 году ^[2].

Дирак в 1936 г. и Фирц и Паули в 1939 г. построили уравнения из симметричных по всем индексам неприводимых спиноров A и B для массивной частицы со спином n + ½ для целого числа n (см. Обозначения Ван-дер-Вардена для обозначения значений индексов с точками ):

${\displaystyle p_{\gamma {\dot {\alpha }}}A_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcB_{\gamma \epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}}$

( 4А )

${\displaystyle p^{\gamma {\dot {\alpha }}}B_{\gamma \epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcA_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}}$

( 4B )

где p - импульс как ковариантный спинорный оператор. При n = 0 уравнения сводятся к связанным уравнениям Дирака, а A и B вместе преобразуются как исходный спинор Дирака . Исключение A или B показывает, что каждый из A и B выполняет ( 1 ). ^[2]

В 1941 годе Рарита и Швингер сосредоточены на спине 3 / 2 частиц и вывели уравнение Рариты-Швингер , в том числе лагранжиан для его генерации, а затем обобщены уравнения , аналогичных спину п + ½ для целого числа п . В 1945 году Паули предложил статью Майораны 1932 года Бхабхе , который вернулся к общим идеям, представленным Майораной в 1932 году. Бхабха и Любански предложили полностью общую систему уравнений, заменив массовые члены в ( 3A ) и ( 3B ) произвольной константой. , при соблюдении набора условий, которым должны подчиняться волновые функции. ^[6]

Наконец, в 1948 г. (в том же год год Фейнман «ы пути интегральной формулировка была отлита), Баргмано и Вигнера сформулировали общее уравнение для массивных частиц , которые могли бы иметь любой спин, рассматривая уравнение Дирака с совершенно симметричным конечным спинором , и используя теорию групп Лоренца (как это сделал Майорана): уравнения Баргмана – Вигнера . ^{[2] [7]} В начале 1960 - х годов, переформулировкой уравнений Баргманна-Вигнера была сделана H. Joos и Стивена Вайнберга , в уравнении Йоос-Weinberg. В то время различные теоретики проводили дальнейшие исследования релятивистских гамильтонианов для частиц с более высокими спинами. ^{[1] [8] [9]}

1960-е годы по настоящее время [ править ]

Релятивистское описание спиновых частиц было сложной задачей в квантовой теории. Это все еще область современных исследований, потому что проблема решена лишь частично; включение взаимодействий в уравнения проблематично, и парадоксальные предсказания (даже из уравнения Дирака) все еще присутствуют. ^[5]

Линейные уравнения [ править ]

Следующие уравнения имеют решения, удовлетворяющие принципу суперпозиции , то есть волновые функции являются аддитивными .

Повсюду, стандартные конвенции индекса тензора обозначений и фейнмановской слэш обозначения используется, в том числе греческих индексов , которые принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонент и 0 для времениподобного компонента индексированных величин. Обозначим волновые функции ψ , а ∂ _μ - компоненты четырехградиентного оператора.

В матричных уравнениях матрицы Паули обозначаются символом σ ^μ, в котором μ = 0, 1, 2, 3 , где σ ⁰ - единичная матрица 2 × 2 :

${\displaystyle \sigma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

а остальные матрицы имеют свои обычные представления. Выражение

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\equiv \sigma ^{0}\partial _{0}+\sigma ^{1}\partial _{1}+\sigma ^{2}\partial _{2}+\sigma ^{3}\partial _{3}}$

- матричный оператор 2 × 2, действующий на 2-компонентные спинорные поля .

Эти гамма - матрицы , обозначены & gamma ^ц , в которой снова ц = 0, 1, 2, 3 , и существует целый ряд представлений , чтобы выбрать из. Матрица γ ⁰ является не обязательно 4 × 4 единичная матрица . Выражение

${\displaystyle i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc\equiv i\hbar (\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma ^{1}\partial _{1}+\gamma ^{2}\partial _{2}+\gamma ^{3}\partial _{3})+mc{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

- матричный оператор 4 × 4, действующий на 4-компонентные спинорные поля .

Следует отметить , что такие термины, как « тс » скаляр многократно единичная матрица соответствующей размерности , общие размеры 2 × 2 или 4 × 4 , и обычно не написано для простоты.

Квантовое число спина частицы s	Имя	Уравнение	Типичные частицы, описываемые уравнением
0	Уравнение Клейна – Гордона	${\displaystyle (\hbar \partial _{\mu }+imc)(\hbar \partial ^{\mu }-imc)\psi =0}$	Безмассовая или массивная частица со спином 0 (например, бозоны Хиггса ).
1/2	Уравнение Вейля	${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$	Безмассовые частицы со спином 1/2.
	Уравнение Дирака	${\displaystyle \left(i\hbar \partial \!\!\!/-mc\right)\psi =0}$	Массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны ).
	Двухчастичные уравнения Дирака	${\displaystyle [(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}+{\tilde {S}}_{1}]\Psi =0,}$ ${\displaystyle [(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}+{\tilde {S}}_{2}]\Psi =0.}$	Массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны ).
	Уравнение майорана	${\displaystyle i\hbar \partial \!\!\!/\psi -mc\psi _{c}=0}$	Массивные майорановские частицы .
	Уравнение Брейта	${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(\sum _{i}{\hat {H}}_{D}(i)+\sum _{i>j}{\frac {1}{r_{ij}}}-\sum _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\Psi }$	Две массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны ) электромагнитно взаимодействуют до первого порядка в теории возмущений.
1	Уравнения Максвелла (в КЭД с использованием калибровки Лоренца )	${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=e{\overline {\psi }}\gamma ^{\nu }\psi }$	Фотоны , безмассовые частицы со спином 1.
	Уравнение Прока	${\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}A^{\nu }=0}$	Массивная частица со спином 1 (например, W- и Z-бозоны ).
3/2	Уравнение Рариты – Швингера	${\displaystyle \epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }\psi _{\sigma }+m\psi ^{\mu }=0}$	Массивные частицы со спином 3/2.
s	Уравнения Баргмана – Вигнера	${\displaystyle (-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}=0}$ ${\displaystyle (-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}=0}$ ${\displaystyle \qquad \vdots }$ ${\displaystyle (-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{2s}\alpha '_{2s}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2s}}=0}$ где ψ - 4-компонентный спинор ранга 2 s .	Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы). [8] [10]
	Уравнение Джооса – Вайнберга	${\displaystyle [(i\hbar )^{2s}\gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2s}}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{2s}}+(mc)^{2s}]\psi =0}$	Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы).

Поля линейных датчиков [ править ]

Уравнение Даффина – Кеммера – Петио является альтернативным уравнением для частиц со спином 0 и спином 1:

${\displaystyle (i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0}$

Строительство RWE [ править ]

Использование 4-векторов и соотношения энергии-импульса [ править ]

Начнем со стандартной специальной теории относительности ( СТО ) 4-векторов.

4 позиции ${\displaystyle X^{\mu }=\mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$

4-скоростной ${\displaystyle U^{\mu }=\mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})}$

4-импульс ${\displaystyle P^{\mu }=\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$

4-волновой вектор ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$

4-градиентный ${\displaystyle \partial ^{\mu }=\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)}$

Обратите внимание, что каждый 4-вектор связан с другим скаляром Лоренца :

${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$, Где есть надлежащее время${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} }$, где - масса покоя${\displaystyle m_{o}}$

${\displaystyle \mathbf {K} =(1/\hbar )\mathbf {P} }$, Который является 4-вектор вариант соотношения Планка-Эйнштейна и в де Бройля материя волны соотношением

${\displaystyle \mathbf {\partial } =-i\mathbf {K} }$, который представляет собой 4-градиентную версию комплексных плоских волн

Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{o}c)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\left({\frac {-im_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

Последнее уравнение является фундаментальным квантовым соотношением.

Применительно к скалярному полю Лоренца мы получаем уравнение Клейна – Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений.${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}]\psi =0}$: в 4-векторном формате

${\displaystyle [\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}]\psi =0}$: в тензорном формате

${\displaystyle [(\hbar \partial _{\mu }+im_{o}c)(\hbar \partial ^{\mu }-im_{o}c)]\psi =0}$: в факторизованном тензорном формате

Уравнение Шредингера является предельным случаем малых скоростей ( v  <<  c ) уравнения Клейна – Гордона .

Когда соотношение применяется к четырехвекторному полю вместо скалярного поля Лоренца , то получается уравнение Прока (в калибровке Лоренца ):${\displaystyle A^{\mu }}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}]A^{\mu }=0}$

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободное уравнение Максвелла (в калибровке Лоренца )

${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0}$

Представления группы Лоренца [ править ]

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца x → Λ x в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ ^j _σ спина j со спиновой z-компонентой σ локально преобразуются при некотором представлении D группы Лоренца : ^{[11] [12]}

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow D(\Lambda )\psi (\Lambda ^{-1}x)}$

где D (Λ) - некоторое конечномерное представление, т.е. матрица. Здесь ψ рассматривается как вектор-столбец, содержащий компоненты с допустимыми значениями σ . Квантовые числа J и σ , а также другие метки, непрерывный или дискретный, представляющий другие квантовые числа подавлены. Одно значение σ может встречаться более одного раза в зависимости от представления. Ниже рассматриваются представления с несколькими возможными значениями j .

Эти неприводимые представления помечены парой полуцелых или целых чисел ( А , Б ) . На основе этих данных можно построить все другие представления, используя множество стандартных методов, например, взяв тензорные произведения и прямые суммы . В частности, само пространство-время представляет собой 4-векторное представление (1/2, 1/2), так что Λ ∈ D ' ^{(1/2, 1/2)} . Чтобы поместить это в контекст; Спиноры Дирака преобразуются при (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) представление. В общем, пространство представления ( A , B ) имеет подпространства, которые в подгруппе пространственных вращений , SO (3) , трансформируются несводимо, как объекты спина j , где каждое допустимое значение:

${\displaystyle j=A+B,A+B-1,...,|A-B|,}$

происходит ровно один раз. ^[13] В общем случае тензорные произведения неприводимых представлений приводимы; они разлагаются как прямые суммы неприводимых представлений.

Представления D ^{( j , 0)} и D ^{(0, j )} могут каждое по отдельности представлять частицы со спином j . Состояние или квантовое поле в таком представлении не удовлетворяет никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна – Гордона.

Нелинейные уравнения [ править ]

Есть уравнения, решения которых не удовлетворяют принципу суперпозиции.

Нелинейные калибровочные поля [ править ]

• Уравнение Янга – Миллса : описывает неабелево калибровочное поле.
• Уравнения Янга – Миллса – Хиггса : описывает неабелево калибровочное поле, связанное с массивной частицей со спином 0.

Спин 2 [ править ]

• Уравнения поля Эйнштейна : описывают взаимодействие материи с гравитационным полем (безмассовое поле спина 2):

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

Решением является метрическое тензорное поле , а не волновая функция.

См. Также [ править ]

• Список уравнений в ядерной физике и физике элементарных частиц
• Список уравнений квантовой механики
• Преобразования Лоренца
• Математические описания электромагнитного поля.
  • Квантование электромагнитного поля
• Минимальное сцепление
• Теория скалярного поля
• Статус специальной теории относительности

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]