В специальной теории относительности , электромагнетизме и теории волн используется оператор Даламбера (обозначен прямоугольником:), Также называемый даламбертиан , волна оператор , оператор коробки или иногда quabla оператором ( ср . Наб ) является оператор Лапласа в пространстве Минковского . Оператор назван в честь французского математика и физика Жана ле Ронда Даламбера .
В пространстве Минковского в стандартных координатах ( t , x , y , z ) он имеет вид
Здесь - трехмерный лапласиан, а g μν - обратная метрика Минковского с
- , , для .
Обратите внимание, что индексы суммирования μ и ν находятся в диапазоне от 0 до 3: см. Обозначения Эйнштейна . Мы приняли такие единицы, что скорость света c = 1.
(Некоторые авторы в качестве альтернативы использовать отрицательную метрическую подпись из (- + + +) , с.)
Преобразования Лоренца оставляют метрический инвариант Минковского , поэтому даламбертиан дает скаляр Лоренца . Приведенные выше выражения координат остаются действительными для стандартных координат в каждой инерциальной системе отсчета.
Символ коробки () и альтернативные обозначения
Существует множество обозначений даламбертиана. Самыми распространенными являются символ коробки.( Unicode : U + 2610 ☐ BALLOT BOX ), четыре стороны которого представляют четыре измерения пространства-времени и квадратный символ.который подчеркивает скалярность через квадратный член (как и лапласиан ). В соответствии с треугольными обозначениями лапласиана иногда используется.
Другой способ записать Даламбертиана в плоских стандартных координатах - . Это обозначение широко используется в квантовой теории поля , где частные производные обычно индексируются, поэтому отсутствие индекса с квадратом частной производной свидетельствует о наличии Даламбертиана.
Иногда символ прямоугольника используется для представления четырехмерной ковариантной производной Леви-Чивиты . Символзатем используется для представления пространственных производных, но это зависит от координатной карты .
Приложения
Волновое уравнение для малых колебаний имеет вид
где u ( x , t ) - смещение.
Волновое уравнение для электромагнитного поля в вакууме
где A μ - электромагнитный четырехпотенциал в калибровке Лоренца .
Уравнение Клейна – Гордона имеет вид
Функция Грина
Функция Грина ,, для Даламбертиана определяется уравнением
где - многомерная дельта-функция Дирака и а также две точки в пространстве Минковского.
Специальное решение дает запаздывающая функция Грина, которая соответствует распространению сигнала только вперед во времени [1]
где - ступенчатая функция Хевисайда .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ С. Сиклос. «Причинная функция Грина для волнового уравнения» (PDF) . Проверено 2 января 2013 года .
Внешние ссылки
- «Оператор Даламбера» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Пуанкаре, Анри (1906). Wikisource ., первоначально напечатано в Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . - через
- Вайсштейн, Эрик В. «Даламбертиан» . MathWorld .