В математике , и особенно в уравнениях в частных производных (УЧП), формула Даламбера является общим решением одномерного волнового уравнения (где индексы нижнего индекса указывают частичное дифференцирование , используя оператор Даламбера , PDE становится:).
Решение зависит от начальных условий при: а также . Он состоит из отдельных условий для начальных условий. а также :
Он назван в честь математика Жана ле Ронда д'Аламбера , который вывел его в 1747 году как решение проблемы вибрирующей струны . [1]
Подробности
Эти характеристики по PDE являются (где знак указывает на два решения квадратного уравнения), поэтому мы можем использовать замену переменных (для положительного решения) и (для отрицательного решения), чтобы преобразовать PDE в . Общее решение этого PDE: где а также находятся функции. Вернуться в координаты,
- является если а также находятся .
Это решение можно интерпретировать как две волны с постоянной скоростью движется в противоположных направлениях по оси x.
Теперь рассмотрим это решение с данными Коши .
С использованием мы получили .
С использованием мы получили .
Мы можем проинтегрировать последнее уравнение, чтобы получить
Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы получить
Теперь, используя
Формула Даламбера принимает следующий вид:
Обобщение для неоднородных канонических гиперболических дифференциальных уравнений
Общий вид неоднородного дифференциального уравнения канонического гиперболического типа имеет вид:
для .
Все дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно преобразовать в соответствующие им канонические формы . Это уравнение является одним из этих трех случаев: эллиптическое уравнение в частных производных , параболическое уравнение в частных производных и гиперболическое уравнение в частных производных .
Единственное различие между однородным и неоднородным (частным) дифференциальным уравнением состоит в том, что в однородной форме мы позволяем только 0 стоять на правой стороне ( ), а неоднородный - гораздо более общий, как в может быть любой функцией, если она непрерывна и может быть непрерывно дифференцирована дважды.
Решение вышеуказанного уравнения дается формулой:
.
Если , первая часть исчезает, если , вторая часть исчезает, а если , третья часть исчезает из решения, так как интегрирование 0-функции между любыми двумя границами всегда приводит к 0.
Смотрите также
Заметки
- ^ Даламбер (1747) «Recherches сюры ла Courbe дие формной ипа Corde tenduë режиссура вибрация» (Исследования на кривомчто напряженное шнура [строка] форма [когда] набор в вибрацию), Histoire де l'Académie Royale Des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, страницы 214-219. См. Также: Д'Аламбер (1747) «Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenuë mise en вибрация» (Дальнейшие исследования кривой, которую образует натянутый шнур, [когда] приведенный в вибрацию), Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, страницы 220-249. См. Также: Д'Аламбер (1750 г.) «Дополнение к воспоминаниям о курбах, образованных в результате сердечного приступа, мизансцене и вибрации», « История королевской академии наук и изящной литературы Берлина» , т. 6, страницы 355-360.
- ^ Pinchover, Рубинштейн (2013). Введение в уравнения с частными производными (8-е издание). Издательство Кембриджского университета. С. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.
Внешние ссылки
- Пример решения неоднородного волнового уравнения с сайта www.exampleproblems.com
https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html