В математике , обыкновенное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) представляет собой дифференциальное уравнение , содержащее одну или несколько функций одной независимой переменной и производные этих функций. [1] Термин « обычный» используется в отличие от термина « уравнение в частных производных», которое может относиться к более чем одной независимой переменной. [2]
Дифференциальные уравнения
Линейное дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение , которое определяется линейным полиномом в неизвестной функции и ее производных, то есть уравнение вида
где , ..., а также - произвольные дифференцируемые функции, которые не обязательно должны быть линейными, и- последовательные производные неизвестной функции y от переменной x .
Среди обыкновенных дифференциальных уравнений линейные дифференциальные уравнения играют важную роль по нескольким причинам. Большинство элементарных и специальных функций, которые встречаются в физике и прикладной математике, являются решениями линейных дифференциальных уравнений (см. Голономная функция ). Когда физические явления моделируются нелинейными уравнениями, они обычно аппроксимируются линейными дифференциальными уравнениями для более простого решения. Несколько нелинейных ОДУ, которые могут быть решены явно, обычно решаются путем преобразования уравнения в эквивалентное линейное ОДУ (см., Например, уравнение Риккати ).
Некоторые ОДУ можно явно решить в терминах известных функций и интегралов . Когда это невозможно, может оказаться полезным уравнение для вычисления ряда Тейлора решений. Для прикладных задач численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений могут дать приближение решения.
Задний план
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) возникают во многих контекстах математики, социальных и естественных наук. Математические описания изменений используют дифференциалы и производные. Различные дифференциалы, производные и функции связаны посредством уравнений, так что дифференциальное уравнение является результатом, который описывает динамически изменяющиеся явления, эволюцию и вариации. Часто величины определяются как скорость изменения других величин (например, производные смещения по времени) или градиенты величин, как они входят в дифференциальные уравнения.
Конкретные области математики включают геометрию и аналитическую механику . Научные области включают в себя большую часть физики и астрономии (небесная механика), метеорологии (моделирование погоды), химии (скорости реакции), [3] биологии (инфекционные болезни, генетическая изменчивость), экологии и моделирования популяций (популяционная конкуренция), экономики (фондовые тенденции). , процентные ставки и изменения рыночной равновесной цены).
Многие математики изучали дифференциальные уравнения и внесли свой вклад в эту область, включая Ньютона , Лейбница , семью Бернулли , Риккати , Клеро , Даламбера и Эйлера .
Простым примером является второй закон движения Ньютона - связь между смещением x и временем t объекта под действием силы F задается дифференциальным уравнением
который ограничивает движение частицы постоянной массы m . В общем, F является функцией положения x ( t ) частицы в момент времени t . Неизвестная функция x ( t ) появляется по обе стороны дифференциального уравнения и указывается в обозначении F ( x ( t )). [4] [5] [6] [7]
Определения
В дальнейшем, пусть у быть зависимой переменной и х к независимой переменной , а у = е ( х ) является неизвестной функцией х . Обозначения для дифференциации варьирует в зависимости от автора и от которого обозначения наиболее полезны для выполнения этой задачи под руку. В этом контексте обозначение Лейбница (dy/dx, д 2 г/dx 2,…, д н г/dx n) более полезен для дифференцирования и интегрирования , тогда как обозначение Лагранжа ( y ′, y ′ ′,…, y ( n ) ) более полезно для компактного представления производных любого порядка, а обозначение Ньютона часто используется в физике для представления производных низкого порядка по времени.
Общее определение
Дана F , функция от x , y и производные от y . Тогда уравнение вида
называется явное обыкновенное дифференциальное уравнение из порядка п . [8] [9]
В более общем смысле неявное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n принимает вид [10]
Есть и другие классификации:
- Автономный
- Дифференциальное уравнение, не зависящее от x , называется автономным .
- Линейный
- Дифференциальное уравнение называется линейным, если F можно записать как линейную комбинацию производных от y :
- Однородный
- Если r ( x ) = 0, и, следовательно, одно «автоматическое» решение является тривиальным решением , y = 0. Решение линейного однородного уравнения является дополнительной функцией , обозначенной здесь y c .
- Неоднородный (или неоднородный)
- Если r ( x ) ≠ 0. Дополнительным решением дополнительной функции является частный интеграл , обозначенный здесь y p .
- Нелинейный
- Дифференциальное уравнение, которое нельзя записать в виде линейной комбинации.
Общее решение линейного уравнения можно записать как y = y c + y p .
Система ODE
Ряд связанных дифференциальных уравнений образуют систему уравнений. Если y - вектор, элементы которого являются функциями; y ( x ) = [ y 1 ( x ), y 2 ( x ), ..., y m ( x )], а F - вектор-функция от y и его производных, то
это явная система обыкновенных дифференциальных уравнений с порядка п и размерности т . В векторной форме столбца :
Они не обязательно линейны. Неявное аналог:
где 0 = (0, 0, ..., 0) - нулевой вектор . В матричной форме
Для системы вида , в некоторых источниках также требуется, чтобы матрица Якоби быть неособым , чтобы называть это неявным ОДУ [системой]; неявная система ОДУ, удовлетворяющая этому условию неособенности Якоби, может быть преобразована в явную систему ОДУ. В тех же источниках неявные системы ОДУ с сингулярным якобианом называются дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Это различие не просто терминологическое; DAE имеют принципиально разные характеристики и, как правило, требуют большего решения, чем (неособые) системы ODE. [14] [15] [16] Предположительно, для дополнительных производных, матрица Гессе и т. Д. Также считаются невырожденными в соответствии с этой схемой, [ необходима цитата ], хотя обратите внимание, что любое ОДУ порядка выше единицы может быть (и обычно есть) переписать в виде системы ОДУ первого порядка , [17] , что делает якобиан критерий сингулярности для этого достаточно систематики быть всеобъемлющим по всем заказам.
Поведение системы ОДУ можно визуализировать с помощью фазового портрета .
Решения
Учитывая дифференциальное уравнение
функция U : Я ⊂ R → R , где I представляет собой интервал, называется решение или интегральной кривой для F , если у является п -кратного дифференцируемых на I и
Принимая во внимание два решения у : J ⊂ R → R и v : Я ⊂ R → R , U называется расширением из V , если я ⊂ J и
Решение, не имеющее расширения, называется максимальным решением . Решение, определенное на всем R , называется глобальным решением .
A general solution of an nth-order equation is a solution containing n arbitrary independent constants of integration. A particular solution is derived from the general solution by setting the constants to particular values, often chosen to fulfill set 'initial conditions or boundary conditions'.[18] A singular solution is a solution that cannot be obtained by assigning definite values to the arbitrary constants in the general solution.[19]
In the context of linear ODE, the terminology particular solution can also refer to any solution of the ODE (not necessarily satisfying the initial conditions), which is then added to the homogeneous solution (a general solution of the homogeneous ODE), which then forms a general solution of the original ODE. This is the terminology used in the guessing method section in this article, and is frequently used when discussing the method of undetermined coefficients and variation of parameters.
Теории
Singular solutions
The theory of singular solutions of ordinary and partial differential equations was a subject of research from the time of Leibniz, but only since the middle of the nineteenth century has it received special attention. A valuable but little-known work on the subject is that of Houtain (1854). Darboux (from 1873) was a leader in the theory, and in the geometric interpretation of these solutions he opened a field worked by various writers, notably Casorati and Cayley. To the latter is due (1872) the theory of singular solutions of differential equations of the first order as accepted circa 1900.
Reduction to quadratures
The primitive attempt in dealing with differential equations had in view a reduction to quadratures. As it had been the hope of eighteenth-century algebraists to find a method for solving the general equation of the nth degree, so it was the hope of analysts to find a general method for integrating any differential equation. Gauss (1799) showed, however, that complex differential equations require complex numbers. Hence, analysts began to substitute the study of functions, thus opening a new and fertile field. Cauchy was the first to appreciate the importance of this view. Thereafter, the real question was no longer whether a solution is possible by means of known functions or their integrals, but whether a given differential equation suffices for the definition of a function of the independent variable or variables, and, if so, what are the characteristic properties.
Fuchsian theory
Two memoirs by Fuchs[20] inspired a novel approach, subsequently elaborated by Thomé and Frobenius. Collet was a prominent contributor beginning in 1869. His method for integrating a non-linear system was communicated to Bertrand in 1868. Clebsch (1873) attacked the theory along lines parallel to those in his theory of Abelian integrals. As the latter can be classified according to the properties of the fundamental curve that remains unchanged under a rational transformation, Clebsch proposed to classify the transcendent functions defined by differential equations according to the invariant properties of the corresponding surfaces f = 0 under rational one-to-one transformations.
Lie's theory
From 1870, Sophus Lie's work put the theory of differential equations on a better foundation. He showed that the integration theories of the older mathematicians can, using Lie groups, be referred to a common source, and that ordinary differential equations that admit the same infinitesimal transformations present comparable integration difficulties. He also emphasized the subject of transformations of contact.
Lie's group theory of differential equations has been certified, namely: (1) that it unifies the many ad hoc methods known for solving differential equations, and (2) that it provides powerful new ways to find solutions. The theory has applications to both ordinary and partial differential equations.[21]
A general solution approach uses the symmetry property of differential equations, the continuous infinitesimal transformations of solutions to solutions (Lie theory). Continuous group theory, Lie algebras, and differential geometry are used to understand the structure of linear and nonlinear (partial) differential equations for generating integrable equations, to find its Lax pairs, recursion operators, Bäcklund transform, and finally finding exact analytic solutions to DE.
Symmetry methods have been applied to differential equations that arise in mathematics, physics, engineering, and other disciplines.
Sturm–Liouville theory
Sturm–Liouville theory is a theory of a special type of second order linear ordinary differential equation. Their solutions are based on eigenvalues and corresponding eigenfunctions of linear operators defined via second-order homogeneous linear equations. The problems are identified as Sturm-Liouville Problems (SLP) and are named after J.C.F. Sturm and J. Liouville, who studied them in the mid-1800s. SLPs have an infinite number of eigenvalues, and the corresponding eigenfunctions form a complete, orthogonal set, which makes orthogonal expansions possible. This is a key idea in applied mathematics, physics, and engineering.[22] SLPs are also useful in the analysis of certain partial differential equations.
Существование и уникальность решений
There are several theorems that establish existence and uniqueness of solutions to initial value problems involving ODEs both locally and globally. The two main theorems are
Theorem Assumption Conclusion Peano existence theorem F continuous local existence only Picard–Lindelöf theorem F Lipschitz continuous local existence and uniqueness
In their basic form both of these theorems only guarantee local results, though the latter can be extended to give a global result, for example, if the conditions of Grönwall's inequality are met.
Also, uniqueness theorems like the Lipschitz one above do not apply to DAE systems, which may have multiple solutions stemming from their (non-linear) algebraic part alone.[23]
Local existence and uniqueness theorem simplified
The theorem can be stated simply as follows.[24] For the equation and initial value problem:
if F and ∂F/∂y are continuous in a closed rectangle
in the x-y plane, where a and b are real (symbolically: a, b ∈ ℝ) and × denotes the cartesian product, square brackets denote closed intervals, then there is an interval
for some h ∈ ℝ where the solution to the above equation and initial value problem can be found. That is, there is a solution and it is unique. Since there is no restriction on F to be linear, this applies to non-linear equations that take the form F(x, y), and it can also be applied to systems of equations.
Global uniqueness and maximum domain of solution
When the hypotheses of the Picard–Lindelöf theorem are satisfied, then local existence and uniqueness can be extended to a global result. More precisely:[25]
For each initial condition (x0, y0) there exists a unique maximum (possibly infinite) open interval
such that any solution that satisfies this initial condition is a restriction of the solution that satisfies this initial condition with domain .
In the case that , there are exactly two possibilities
- explosion in finite time:
- leaves domain of definition:
where Ω is the open set in which F is defined, and is its boundary.
Note that the maximum domain of the solution
- is always an interval (to have uniqueness)
- may be smaller than
- may depend on the specific choice of (x0, y0).
- Example.
This means that F(x, y) = y2, which is C1 and therefore locally Lipschitz continuous, satisfying the Picard–Lindelöf theorem.
Even in such a simple setting, the maximum domain of solution cannot be all since the solution is
which has maximum domain:
This shows clearly that the maximum interval may depend on the initial conditions. The domain of y could be taken as being but this would lead to a domain that is not an interval, so that the side opposite to the initial condition would be disconnected from the initial condition, and therefore not uniquely determined by it.
The maximum domain is not because
which is one of the two possible cases according to the above theorem.
Уменьшение заказа
Differential equations can usually be solved more easily if the order of the equation can be reduced.
Reduction to a first-order system
Any explicit differential equation of order n,
can be written as a system of n first-order differential equations by defining a new family of unknown functions
for i = 1, 2,..., n. The n-dimensional system of first-order coupled differential equations is then
more compactly in vector notation:
where
Резюме точных решений
Some differential equations have solutions that can be written in an exact and closed form. Several important classes are given here.
In the table below, P(x), Q(x), P(y), Q(y), and M(x,y), N(x,y) are any integrable functions of x, y, and b and c are real given constants, and C1, C2,... are arbitrary constants (complex in general). The differential equations are in their equivalent and alternative forms that lead to the solution through integration.
In the integral solutions, λ and ε are dummy variables of integration (the continuum analogues of indices in summation), and the notation ∫xF(λ) dλ just means to integrate F(λ) with respect to λ, then after the integration substitute λ = x, without adding constants (explicitly stated).
Separable equations
Differential equation Solution method General solution First-order, separable in x and y (general case, see below for special cases)[26] Separation of variables (divide by P2Q1). First-order, separable in x[24] Direct integration. First-order, autonomous, separable in y[24] Separation of variables (divide by F). First-order, separable in x and y[24] Integrate throughout.
General first-order equations
Differential equation Solution method General solution First-order, homogeneous[24] Set y = ux, then solve by separation of variables in u and x. First-order, separable[26] Separation of variables (divide by xy). If N = M, the solution is xy = C.
Exact differential, first-order[24] where
Integrate throughout. where Y(y) and X(x) are functions from the integrals rather than constant values, which are set to make the final function F(x, y) satisfy the initial equation.
Inexact differential, first-order[24] where
Integration factor μ(x, y) satisfying If μ(x, y) can be found:
General second-order equations
Differential equation Solution method General solution Second-order, autonomous[27] Multiply both sides of equation by 2dy/dx, substitute , then integrate twice.
Linear to the nth order equations
Differential equation Solution method General solution First-order, linear, inhomogeneous, function coefficients[24] Integrating factor: Second-order, linear, inhomogeneous, function coefficients Integrating factor: Second-order, linear, inhomogeneous, constant coefficients[28] Complementary function yc: assume yc = eαx, substitute and solve polynomial in α, to find the linearly independent functions . Particular integral yp: in general the method of variation of parameters, though for very simple r(x) inspection may work.[24]
If b2 > 4c, then
If b2 = 4c, then
If b2 < 4c, then
nth-order, linear, inhomogeneous, constant coefficients[28] Complementary function yc: assume yc = eαx, substitute and solve polynomial in α, to find the linearly independent functions . Particular integral yp: in general the method of variation of parameters, though for very simple r(x) inspection may work.[24]
Since αj are the solutions of the polynomial of degree n: , then:
for αj all different,
for each root αj repeated kj times,
for some αj complex, then setting α = χj + iγj, and using Euler's formula, allows some terms in the previous results to be written in the form
where ϕj is an arbitrary constant (phase shift).
Метод угадывания
When all other methods for solving an ODE fail, or in the cases where we have some intuition about what the solution to a DE might look like, it is sometimes possible to solve a DE simply by guessing the solution and validating it is correct. To use this method, we simply guess a solution to the differential equation, and then plug the solution into the differential equation to validate if it satisfies the equation. If it does then we have a particular solution to the DE, otherwise we start over again and try another guess. For instance we could guess that the solution to a DE has the form: since this is a very common solution that physically behaves in a sinusoidal way.
In the case of a first order ODE that is non-homogeneous we need to first find a DE solution to the homogeneous portion of the DE, otherwise known as the characteristic equation, and then find a solution to the entire non-homogeneous equation by guessing. Finally, we add both of these solutions together to obtain the total solution to the ODE, that is:
Программное обеспечение для решения ODE
- Maxima, an open-source computer algebra system.
- COPASI, a free (Artistic License 2.0) software package for the integration and analysis of ODEs.
- MATLAB, a technical computing application (MATrix LABoratory)
- GNU Octave, a high-level language, primarily intended for numerical computations.
- Scilab, an open source application for numerical computation.
- Maple, a proprietary application for symbolic calculations.
- Mathematica, a proprietary application primarily intended for symbolic calculations.
- SymPy, a Python package that can solve ODEs symbolically
- Julia (programming language), a high-level language primarily intended for numerical computations.
- SageMath, an open-source application that uses a Python-like syntax with a wide range of capabilities spanning several branches of mathematics.
- SciPy, a Python package that includes an ODE integration module.
- Chebfun, an open-source package, written in MATLAB, for computing with functions to 15-digit accuracy.
- GNU R, an open source computational environment primarily intended for statistics, which includes packages for ODE solving.
Смотрите также
- Boundary value problem
- Examples of differential equations
- Laplace transform applied to differential equations
- List of dynamical systems and differential equations topics
- Matrix differential equation
- Method of undetermined coefficients
- Recurrence relation
Заметки
- ^ Dennis G. Zill (15 March 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2. Archived from the original on 17 January 2020. Retrieved 11 July 2019.
- ^ "What is the origin of the term "ordinary differential equations"?". hsm.stackexchange.com. Stack Exchange. Retrieved 2016-07-28.
- ^ Mathematics for Chemists, D.M. Hirst, Macmillan Press, 1976, (No ISBN) SBN: 333-18172-7
- ^ Kreyszig (1972, p. 64)
- ^ Simmons (1972, pp. 1,2)
- ^ Halliday & Resnick (1977, p. 78)
- ^ Tipler (1991, pp. 78–83)
- ^ a b Harper (1976, p. 127)
- ^ Kreyszig (1972, p. 2)
- ^ Simmons (1972, p. 3)
- ^ a b Kreyszig (1972, p. 24)
- ^ Simmons (1972, p. 47)
- ^ Harper (1976, p. 128)
- ^ Kreyszig (1972, p. 12)
- ^ Ascher (1998, p. 12)
- ^ Achim Ilchmann; Timo Reis (2014). Surveys in Differential-Algebraic Equations II. Springer. pp. 104–105. ISBN 978-3-319-11050-9.
- ^ Ascher (1998, p. 5)
- ^ Kreyszig (1972, p. 78)
- ^ Kreyszig (1972, p. 4)
- ^ Crelle, 1866, 1868
- ^ Lawrence (1999, p. 9)
- ^ Logan, J. (2013). Applied mathematics (Fourth ed.).
- ^ Ascher (1998, p. 13)
- ^ a b c d e f g h i j Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
- ^ Boscain; Chitour 2011, p. 21
- ^ a b Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M. R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
- ^ Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
- ^ a b Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3
Рекомендации
- Halliday, David; Resnick, Robert (1977), Physics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-71716-9
- Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
- Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8.
- Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
- Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716
- Tipler, Paul A. (1991), Physics for Scientists and Engineers: Extended version (3rd ed.), New York: Worth Publishers, ISBN 0-87901-432-6
- Boscain, Ugo; Chitour, Yacine (2011), Introduction à l'automatique (PDF) (in French)
- Dresner, Lawrence (1999), Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations, Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing, ISBN 978-0750305303
- Ascher, Uri; Petzold, Linda (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, ISBN 978-1-61197-139-2
Библиография
- Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill.
- Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, doi:10.1137/1.9780898719222, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104
- W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
- Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
- Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
- Ibragimov, Nail H. (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3. Providence: CRC-Press. ISBN 0-8493-4488-3..
- Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
- A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
- D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
Внешние ссылки
- "Differential equation, ordinary", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- EqWorld: The World of Mathematical Equations, containing a list of ordinary differential equations with their solutions.
- Online Notes / Differential Equations by Paul Dawkins, Lamar University.
- Differential Equations, S.O.S. Mathematics.
- A primer on analytical solution of differential equations from the Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.
- Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems lecture notes by Gerald Teschl.
- Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC.
- Modeling with ODEs using Scilab A tutorial on how to model a physical system described by ODE using Scilab standard programming language by Openeering team.
- Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha