Голономная функция

В математике , а точнее в анализе , голономная функция - это гладкая функция нескольких переменных, которая является решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами и удовлетворяет подходящему условию размерности в терминах теории D-модулей . Точнее, голономная функция - это элемент голономного модуля гладких функций. Голономные функции также могут быть описаны как дифференцируемые конечные функции , также известные как D-конечные функции.. Когда степенной ряд по переменным является разложением Тейлора голономной функции, последовательность его коэффициентов по одному или нескольким индексам также называется голономной . Голономные последовательности также называются P-рекурсивными последовательностями : они рекурсивно определяются многомерными рекурсиями, которым удовлетворяет вся последовательность и подходящие ее специализации. Ситуация упрощается в одномерном случае: любая одномерная последовательность, которая удовлетворяет линейному однородному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами или, что эквивалентно, линейному однородному разностному уравнению с полиномиальными коэффициентами, является голономной. ^[1]

Голономные функции и последовательности в одной переменной [ править ]

Определения [ править ]

Пусть - поле характеристики 0 (например, или ).${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$

Функция называется D-конечной (или голономной ), если существуют многочлены такие, что${\displaystyle f=f(x)}$${\displaystyle 0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]}$

${\displaystyle a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0}$

выполняется для всех x . Это также можно записать как где${\displaystyle Af=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}}$

и является дифференциальным оператором, который отображается в . называется уничтожающий оператор из F (аннулирующие операторов образуют идеальный в кольце , называется аннуляторной из ). Величина r называется порядком уничтожающего оператора. В более широком смысле, голономная функция f называется порядка r, если существует аннулирующий оператор такого порядка.${\displaystyle D_{x}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {K} [x][D_{x}]}$${\displaystyle f}$

Последовательность называется P-рекурсивной (или голономной ), если существуют многочлены такие, что${\displaystyle c=c_{0},c_{1},\ldots }$${\displaystyle a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]}$

${\displaystyle a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0}$

выполняется для всех n . Это также можно записать как где${\displaystyle Ac=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}}$

и оператор сдвига , переводящий в . называются уничтожающий оператор из C (аннулирующие операторы образуют идеал в кольце , называются аннуляторными из ). Величина r называется порядком уничтожающего оператора. В более широком смысле, голономная последовательность c называется порядка r, если существует аннулирующий оператор такого порядка.${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbb {K} [n][S_{n}]}$${\displaystyle c}$

Голономные функции - это в точности производящие функции голономных последовательностей: если он голономный, то коэффициенты разложения в степенной ряд${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle c_{n}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

образуют голономную последовательность. И наоборот, для данной голономной последовательности функция, определяемая приведенной выше суммой, является голономной (это верно в смысле формальных степенных рядов , даже если сумма имеет нулевой радиус сходимости).${\displaystyle c_{n}}$

Свойства закрытия [ править ]

Голономные функции (или последовательности) удовлетворяют нескольким свойствам замыкания . В частности, голономные функции (или последовательности) образуют кольцо . Однако они не закрываются на деление и, следовательно, не образуют поля .

Если и являются голономными функциями, то следующие функции также являются голономными:${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}}$${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}}$

• ${\displaystyle h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}$, где и - постоянные${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$
• ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$(произведение Коши последовательностей)
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}}$ (произведение Адамара последовательностей)
• ${\displaystyle h(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt}$
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^{n}f_{k})x^{n}}$
• ${\displaystyle h(x)=f(a(x))}$, где - любая алгебраическая функция . Однако, как правило, не является голономным.${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle a(f(x))}$

Ключевым свойством голономных функций является то, что свойства замыкания эффективны: при заданных аннигилирующих операторах для и аннигилирующий оператор для, определенный с использованием любой из вышеперечисленных операций, может быть вычислен явно.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

Примеры голономных функций и последовательностей [ править ]

Примеры голономных функций включают:

• все алгебраические функции , включая многочлены и рациональные функции
• функции синуса и косинуса (но не касательные)
• экспоненциальные функции и логарифмы (с любым основанием)
• обобщенная гипергеометрическая функция , рассматриваемая как функция со всеми параметрами , провели фиксированные${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$
• функция ошибки ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
• в функции Бесселя , , ,${\displaystyle J_{n}(x)}$${\displaystyle Y_{n}(x)}$${\displaystyle I_{n}(x)}$${\displaystyle K_{n}(x)}$
• в функции Эйри ,${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$

Класс голономных функций является строгим надмножеством класса гипергеометрических функций. Примеры специальных функций, которые являются голономными, но не гипергеометрическими, включают функции Гойна .

Примеры голономных последовательностей включают:

• последовательность чисел Фибоначчи и, в более общем смысле, все константно-рекурсивные последовательности${\displaystyle F_{n}}$
• последовательность факториалов ${\displaystyle n!}$
• последовательность биномиальных коэффициентов (как функций от n или k )${\displaystyle {n \choose k}}$
• последовательность гармонических чисел , и в более общем случае для любого целого числа m${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$
• последовательность каталонских чисел
• последовательность чисел Моцкина .
• последовательность неисправностей .

Гипергеометрические функции, функции Бесселя и классические ортогональные многочлены , помимо того, что являются голономными функциями своей переменной, также являются голономными последовательностями по отношению к своим параметрам. Например, функции Бесселя и удовлетворяют линейной рекуррентности второго порядка .${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}}$

Примеры неголономных функций и последовательностей [ править ]

Примеры неголономных функций включают:

• функция ^[2]${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}}$
• функция tan ( x ) + sec ( x ) ^[3]
• частное двух голономных функций, как правило, неголономно.

Примеры неголономных последовательностей включают:

• что числа Бернулли
• числа чередующихся перестановок ^[4]
• количество целочисленных разделов ^[3]
• числа ^[3]${\displaystyle \log(n)}$
• числа, где ^[3]${\displaystyle n^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Z} }$
• что простые числа ^[3]
• перечисления неприводимых и связных перестановок . ^[5]

Голономные функции от нескольких переменных [ править ]

Алгоритмы и программное обеспечение [ править ]

Голономные функции - мощный инструмент компьютерной алгебры . Голономная функция или последовательность могут быть представлены конечным количеством данных, а именно аннигилирующим оператором и конечным набором начальных значений, а свойства замыкания позволяют выполнять такие операции, как проверка равенства, суммирование и интегрирование алгоритмическим способом. В последние годы эти методы позволили автоматизировать доказательства большого количества специальных функций и комбинаторных тождеств.

Более того, существуют быстрые алгоритмы для вычисления голономных функций с произвольной точностью в любой точке комплексной плоскости и для численного вычисления любого входа в голономной последовательности.

Программное обеспечение для работы с голономными функциями включает:

• Пакет HolonomicFunctions [1] для системы Mathematica , разработанный Кристофом Кутшаном, который поддерживает вычисление свойств замыкания и доказательство тождеств для одномерных и многомерных голономных функций.
• Библиотека algolib [2] для Maple , которая включает следующие пакеты:
  • gfun , разработанный Бруно Салви, Полом Циммерманном и Эйтне Мюррей для одномерных свойств замыкания и доказательства [3]
  • mgfun , разработанный Фредериком Чизаком, для многомерных свойств замыкания и доказательства [4]
  • numgfun , разработанный Марком Меззаробба, для числовой оценки

См. Также [ править ]

Динамический словарь математических функций , онлайн-программное обеспечение, основанное на голономных функциях для автоматического изучения многих классических и специальных функций (оценка в точке, ряд Тейлора и асимптотическое разложение до любой заданной пользователем точности, дифференциальное уравнение, повторение коэффициентов Тейлора. ряд, производная, неопределенный интеграл, построение, ...)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Флажолет, Филипп; Герхольд, Стефан; Salvy, Бруно (2005), "О неголономном характере логарифмов, степеней и п-е простой функция" , Электронный журнал комбинаторики , 11 (2), DOI : 10,37236 / 1894 , S2CID  184136.

• Флажолет, Филипп; Седжвик, Роберт (2009). Аналитическая комбинаторика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521898065.

• Кауэрс, Мануэль; Пол, Питер (2011). Конкретный тетраэдр: символические суммы, рекуррентные уравнения, производящие функции, асимптотические оценки . Текст и монографии в символьном вычислении. Springer. ISBN 978-3-7091-0444-6.

• Клазар, Мартин (2003). «Неприводимые и связные перестановки» (PDF) (122). Cite journal requires |journal= (help) (Препринт серии ITI)

• Мэллинджер, Кристиан (1996). Алгоритмические манипуляции и преобразования одномерных голономных функций и последовательностей (PDF) (Диссертация) . Проверено 4 июня 2013 года .

• Стэнли, Ричард П. (1999). Перечислительная комбинаторика . 2 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-56069-6.

• Zeilberger, Дорон (1990). «Голономный системный подход к тождествам специальных функций» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 32 (3): 321–368. DOI : 10.1016 / 0377-0427 (90) 90042-X . ISSN  0377-0427 . Руководство по ремонту  1090884 .