Замыкание (математика)
В математике подмножество данного множества закрывается операцией большего множества, если выполнение этой операции над членами подмножества всегда приводит к члену этого подмножества. Например, положительные целые числа закрыты при сложении, но не при вычитании: 1 - 2 не является положительным целым числом, даже если и 1, и 2 являются положительными целыми числами.
Точно так же подмножество называется закрытым для набора операций, если оно закрыто для каждой из операций в отдельности.
Замыкание подмножества является результатом применения оператора замыкания к подмножеству. Замыкание подмножества при некоторых операциях есть наименьшее подмножество, которое замыкается при этих операциях . Его часто называют диапазоном (например , linear span ) или сгенерированным набором .
Рассмотрим множество S , снабженное одним или несколькими способами получения элементов S из других элементов S . Примерами таких методов являются операции и ( частичная ) многомерная функция . Если S является топологическим пространством , предел последовательности элементов S является примером, где существует бесконечность входных элементов, а результат не всегда определен. Если S — поле , то корни в S многочлена с коэффициентами из Sэто еще один пример, когда результат может быть не уникальным.
Подмножество X в S называется закрытым в соответствии с этими методами, если, когда все входные элементы находятся в X , все возможные результаты также находятся в X . Иногда говорят также, что X имеетсвойство закрытия .
Основное свойство замкнутых множеств, непосредственно вытекающее из определения, состоит в том, что каждое пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством. Отсюда следует, что для каждого подмножества Y из S существует наименьшее замкнутое подмножество X из S такое, что (это пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих Y ). В зависимости от контекста X называется замыканием Y или набором , сгенерированным или охваченным Y .
