Уравнение Риккати

В математике , А уравнение Риккати в самом узком смысле является любым первым порядка обыкновенное дифференциальное уравнение , что является квадратичным относительно неизвестной функции. Другими словами, это уравнение вида

${\ displaystyle y '(x) = q_ {0} (x) + q_ {1} (x) \, y (x) + q_ {2} (x) \, y ^ {2} (x)}$

где и . Если уравнение сводится к уравнению Бернулли , а если уравнение становится линейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка .${\ Displaystyle q_ {0} (х) \ neq 0}$${\ Displaystyle q_ {2} (х) \ neq 0}$${\ Displaystyle q_ {0} (х) = 0}$${\ Displaystyle q_ {2} (х) = 0}$

Уравнение названо в честь Якопо Риккати (1676–1754). ^[1]

В более общем смысле термин уравнение Риккати используется для обозначения матричных уравнений с аналогичным квадратичным членом, которые встречаются как в линейно-квадратично-гауссовском управлении с непрерывным, так и с дискретным временем . Их стационарная (нединамическая) версия называется алгебраическим уравнением Риккати .

Приведение к линейному уравнению второго порядка [ править ]

Нелинейное уравнение Риккати всегда может быть уменьшена до второго порядка линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ): ^[2] If

${\ displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2} \!}$

то везде, где отлична от нуля и дифференцируема, удовлетворяет уравнению Риккати вида${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle v = yq_ {2}}$

${\ Displaystyle v '= v ^ {2} + R (x) v + S (x), \!}$

где и , потому что${\ displaystyle S = q_ {2} q_ {0}}$${\ displaystyle R = q_ {1} + {\ frac {q_ {2} '} {q_ {2}}}}$

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}$

Подставляя , получаем , что удовлетворяет линейному ОДУ 2-го порядка${\displaystyle v=-u'/u}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}$

поскольку

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!}$

так что

${\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}$

и поэтому

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

Решение этого уравнения приведет к решению исходного уравнения Риккати.${\displaystyle y=-u'/(q_{2}u)}$

Приложение к уравнению Шварца [ править ]

Важным приложением уравнения Риккати является дифференциальное уравнение Шварца 3-го порядка

${\displaystyle S(w):=(w''/w')'-(w''/w')^{2}/2=f}$

которое встречается в теории конформных отображений и однолистных функций . В этом случае ОДУ находятся в комплексной области, а дифференцирование осуществляется по комплексной переменной. (Производная Шварца обладает тем замечательным свойством, что она инвариантна относительно преобразований Мёбиуса, т. Е. Когда не равна нулю.) Функция удовлетворяет уравнению Риккати.${\displaystyle S(w)}$${\displaystyle S((aw+b)/(cw+d))=S(w)}$${\displaystyle ad-bc}$${\displaystyle y=w''/w'}$

${\displaystyle y'=y^{2}/2+f.}$

По сказанному выше где - решение линейного ОДУ${\displaystyle y=-2u'/u}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''+(1/2)fu=0.}$

Поскольку интегрирование дает некоторую константу . С другой стороны, любое другое независимое решение линейного ОДУ имеет постоянный ненулевой Вронскиан, который можно принять после масштабирования. Таким образом${\displaystyle w''/w'=-2u'/u}$${\displaystyle w'=C/u^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U'u-Uu'}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle w'=(U'u-Uu')/u^{2}=(U/u)'}$

так что уравнение Шварца имеет решение ${\displaystyle w=U/u.}$

Получение решений по квадратуре [ править ]

Соответствие между уравнениями Риккати и линейными ОДУ второго порядка имеет и другие последствия. Например, если известно одно решение ОДУ 2-го порядка, то известно, что другое решение может быть получено с помощью квадратуры, т. Е. Простого интегрирования. То же верно и для уравнения Риккати. Фактически, если можно найти одно частное решение , общее решение получается как${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+u}$

Подстановка

${\displaystyle y_{1}+u}$

в уравнении Риккати дает

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}$

и с тех пор

${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2},}$

следует, что

${\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}$

или же

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$

которое является уравнением Бернулли . Подстановка, необходимая для решения этого уравнения Бернулли, следующая:

${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$

Подстановка

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

непосредственно в уравнение Риккати дает линейное уравнение

${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}$

Тогда набор решений уравнения Риккати дается выражением

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

где z - общее решение упомянутого выше линейного уравнения.

См. Также [ править ]

• Линейно-квадратичный регулятор
• Алгебраическое уравнение Риккати
• Линейно-квадратично-гауссовское управление

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Хилле, Эйнар (1997) [1976], Обычные дифференциальные уравнения в комплексной области , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0
• Нехари, Зеев (1975) [1952], Конформное отображение , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-61137-X
• Полянин, Андрей Д .; Зайцев, Валентин Ф. (2003), Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-297-2
• Зеликин, Михаил И. (2000), Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении , Берлин: Springer-Verlag
• Рид, Уильям Т. (1972), Дифференциальные уравнения Риккати , Лондон: Academic Press

Внешние ссылки [ править ]

• "Уравнение Риккати" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнение Риккати в EqWorld: мир математических уравнений.
• Дифференциальное уравнение Риккати в Mathworld
• Функция MATLAB для решения алгебраического уравнения Риккати с непрерывным временем.
• SciPy имеет функции для решения непрерывного алгебраического уравнения Риккати и дискретного алгебраического уравнения Риккати .