Унивалентная функция

В математике , в отрасли комплексного анализа , голоморфны на открытом подмножестве в комплексной плоскости называются однолистным , если она инъективна . ^[1]

Примеры [ править ]

Как следует из этого, функция в открытом единичном диске является однолинейной . Поскольку второй фактор в открытом единичном диске не равен нулю, он должен быть инъективным.${\ Displaystyle е \ двоеточие Z \ mapsto 2z + z ^ {2}}$${\ Displaystyle е (г) = е (ш)}$${\ Displaystyle f (z) -f (w) = (zw) (z + w + 2) = 0}$${\ displaystyle f}$

Основные свойства [ править ]

Можно доказать, что если и - два открытых связных множества в комплексной плоскости, и${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle f: G \ to \ Omega}$

не однозначная функция такая , что (то есть, является сюръективным ), то производная не равна нулю, является обратимым , и обратное тоже голоморфна. Более того, по цепному правилу${\ Displaystyle f (G) = \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}$

для всех в${\displaystyle z}$${\displaystyle G.}$

Сравнение с реальными функциями [ править ]

Для вещественно- аналитических функций , в отличие от комплексных аналитических (т. Е. Голоморфных) функций, эти утверждения не выполняются. Например, рассмотрим функцию

${\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}$

задается формулой ƒ ( x ) =  x ³ . Эта функция явно инъективна, но ее производная равна 0 при x  = 0, а ее обратная функция не является аналитической или даже дифференцируемой на всем интервале (−1, 1). Следовательно, если мы расширим область до открытого подмножества G комплексной плоскости, она не должна быть инъективной; и это так, поскольку (например) f (εω) = f (ε) (где ω - примитивный кубический корень из единицы, а ε - положительное действительное число, меньшее, чем радиус G как окрестности 0).

См. Также [ править ]

• Функция Шлихта

Ссылки [ править ]

Эта статья включает в себя материалы из одноименной аналитической функции PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .