Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из функции Schlicht )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В комплексном анализе , теоремы де Бранж , или гипотезы Бибербаха , является теоремой , которая дает необходимое условие на голоморфную функции для того , чтобы картирований открытого единичного круга в комплексной плоскости инъектива в комплексную плоскость. Его сформулировал Людвиг Бибербах  ( 1916 ) и окончательно доказал Луи де Бранж  ( 1985 ).

В заявлении , касается коэффициентов Тейлора с п о с одновалентной функцией , т.е. один-к-одному голоморфная функция , которая отображает единичный круг в комплексную плоскость, нормированная , как всегда возможно , так что 0 = 0 и 1 = 1. Это есть функция, определенная на открытом единичном круге, которая является голоморфной и инъективной ( однолистной ) с рядом Тейлора вида

Такие функции называются шлихтовыми . Затем теорема утверждает, что

Функция Кебе (см. Ниже) - это функция, в которой a n  =  n для всех n , и она однолистная, поэтому мы не можем найти более строгого ограничения на абсолютное значение n- го коэффициента.

Функции Шлихта [ править ]

Нормализации

а 0 = 0 и а 1 = 1

значит, что

f (0) = 0 и f '(0) = 1.

Это всегда можно получить с помощью аффинного преобразования : начиная с произвольной инъективной голоморфной функции g, определенной на открытом единичном круге, и полагая

Такие функции g представляют интерес, поскольку они фигурируют в теореме об отображении Римана .

Функция однолистного типа определяется как аналитическая функция f, которая взаимно однозначна и удовлетворяет условию f (0) = 0 и f '(0) = 1. Семейство однолистных функций - это повернутые функции Кёбе.

с а комплексное числом абсолютного значения 1. Если F является функцией однолистной и | а п | = n для некоторого n ≥ 2, то f - повернутая функция Кебе.

Условий теоремы де Бранжа недостаточно, чтобы показать, что функция однолистна, так как функция

показывает: он голоморфен на единичном круге и удовлетворяет | a n | ≤ n для всех n , но это не инъективно, поскольку f (−1/2 +  z ) = f (−1/2 -  z ).

История [ править ]

Обзор истории дан Koepf (2007) .

Бибербах (1916) доказал | а 2 | ≤ 2, и высказал гипотезу о том, что | а п | ≤ п . Левнер (1917) и Неванлинна (1921) независимо друг от друга доказали гипотезу для звездообразных функций . Затем Чарльз Лёвнер ( Löwner (1923) ) доказал | а 3 | ≤ 3, используя уравнение Лёвнера . Его работа использовалась в большинстве более поздних попыток, а также применяется в теории эволюции Шрамма – Лёвнера .

Литтлвуд (1925 , теорема 20) доказал, что | а п | ≤ en для всех n , показывая, что гипотеза Бибербаха верна с точностью до множителя e = 2,718 ... Несколько авторов позже уменьшили константу в неравенстве ниже e .

Если f ( z ) = z + ... однолистная функция, то φ ( z ) = f ( z 2 ) 1/2 нечетная однолистная функция. Пэли и Литтлвуд  ( 1932 ) показали, что его коэффициенты Тейлора удовлетворяют b k ≤ 14 для всех k . Они предположили, что 14 можно заменить на 1 как естественное обобщение гипотезы Бибербаха. Гипотеза Литтлвуда – Пэли легко влечет гипотезу Бибербаха с использованием неравенства Коши, но вскоре была опровергнута Фекете и Сегё (1933)., который показал, что существует нечетная функция Шлихта с b 5 = 1/2 + exp (−2/3) = 1.013 ..., и что это максимально возможное значение b 5 . Позже Исаак Милин показал, что 14 можно заменить на 1,14, а Хейман показал, что числа b k имеют предел меньше 1, если f не является функцией Кебе (для которой все b 2 k +1 равны 1). Таким образом, предел всегда меньше или равен 1, что означает, что гипотеза Литтлвуда и Пэли верна для всех коэффициентов, кроме конечного числа. Более слабая форма гипотезы Литтлвуда и Пэли была найдена Робертсоном (1936) .

Гипотеза Робертсона утверждает, что если

является нечетной функцией однолистна в единичном круге с Ь 1 = 1 , то для всех положительных целых чисел п ,

Робертсон заметил, что его гипотеза все еще достаточно сильна, чтобы влечь за собой гипотезу Бибербаха, и доказал ее для n = 3. Эта гипотеза ввела ключевую идею ограничения различных квадратичных функций коэффициентов, а не самих коэффициентов, что эквивалентно ограничивающим нормам элементы в некоторых гильбертовых пространствах однолистных функций.

Было несколько доказательств гипотезы Бибербаха для некоторых более высоких значений n , в частности доказано Гарабедян и Шиффер (1955) | а 4 | ≤ 4, Одзава (1969) и Педерсон (1968) доказали | 6 | ≤ 6, и Педерсон и Шиффер (1972) доказали | а 5 | ≤ 5.

Хейман (1955) доказал , что предел в п / п существует, и имеет абсолютное значение меньше 1 , если F не является функцией Кёба. В частности, это показало, что для любого f может быть не более конечного числа исключений из гипотезы Бибербаха.

В Milin гипотеза утверждает , что для каждой функции однолисты на единичном круге, и для всех положительных целых чисел п ,

где логарифмические коэффициенты γ n функции f равны

Милин (1977) показал, используя неравенство Лебедева – Милина, что из гипотезы Милина (позже доказанной де Бранжем) следует гипотеза Робертсона и, следовательно, гипотеза Бибербаха.

Наконец, Де Бранж (1985) доказал | а п | ≤ n для всех n .

Доказательство де Бранжа [ править ]

Доказательство использует тип гильбертовых пространств из целых функций . Изучение этих пространств превратилось в подполе комплексного анализа, и эти пространства стали называть пространствами де Бранжа . Де Бранж доказал более сильную гипотезу Милина ( Милин, 1971 ) о логарифмических коэффициентах. Уже было известно, что это подразумевает гипотезу Робертсона ( Robertson 1936 ) о нечетных однолистных функциях, которая, в свою очередь, как известно, подразумевает гипотезу Бибербаха о однолистных функциях (Bieberbach 1916 ). Его доказательство использует уравнение Лёвнера , неравенство Аски – Гаспера о многочленах Якоби иНеравенство Лебедева – Милина на экспоненциальных степенных рядах.

Де Бранж свел гипотезу к некоторым неравенствам для многочленов Якоби и проверил первые несколько вручную. Уолтер Гаучи проверил на компьютере больше этих неравенств для де Бранжа (доказав гипотезу Бибербаха для первых 30 или около того коэффициентов), а затем спросил Ричарда Аски , знает ли он о подобных неравенствах. Аски указал, что Аски и Гаспер (1976) доказали необходимые неравенства за восемь лет до этого, что позволило де Бранжу завершить свое доказательство. Первая версия была очень длинной и имела некоторые мелкие ошибки, которые вызывали некоторый скептицизм, но они были исправлены с помощью участников Ленинградского семинара по геометрической теории функций ( Ленинградское отделение Математического института им. В. А. Стеклова).), когда де Бранж посетил его в 1984 году.

Де Бранж доказал следующий результат, который при ν = 0 влечет гипотезу Милина (и, следовательно, гипотезу Бибербаха). Предположим, что ν> −3/2 и σ n - действительные числа для натуральных чисел n с пределом 0 и такие, что

неотрицательна, невозрастающая и имеет предел 0. Тогда для всех функций отображения Римана F ( z ) =  z  + ... однолистна в единичном круге с

максимальное значение

достигается функцией Кебе z / (1 -  z ) 2 .

Упрощенная версия доказательства была опубликована в 1985 году Карлом Фитцджеральдом и Кристианом Поммеренке ( FitzGerald & Pommerenke (1985) ), а еще более короткое описание - Якобом Коревааром ( Korevaar (1986) ).

См. Также [ править ]

  • Матрица Грунского

Ссылки [ править ]

  • Аски, Ричард ; Gasper, Джордж (1976), "Позитивное Якоби полиномиальные суммы II.", Американский журнал математики , 98 (3): 709-737, DOI : 10,2307 / 2373813 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2373813 , MR  0430358
  • Бернштейн, Альберт; Драсин, Дэвид; Дурен, Питер; и др., ред. (1986), Гипотеза Бибербаха , Математические обзоры и монографии, 21 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. Xvi + 218, DOI : 10.1090 / Surv / 021 , ISBN 978-0-8218-1521-2, Руководство по ремонту  0875226
  • Бибербах, Л. (1916), "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln", Sitzungsber. Preuss. Акад. Wiss. Phys-Math. Kl. : 940–955
  • Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94460-9
  • де Бранж, Луи (1985), "Доказательство гипотезы Бибербаха", Acta Mathematica , 154 (1): 137-152, DOI : 10.1007 / BF02392821 , МР  0772434
  • де Бранж, Луи (1987), "Основные концепции в доказательстве гипотезы Бибербаха", Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Беркли, Калифорния, 1986) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 25–42, MR  0934213
  • Драсин, Дэвид; Дурен, Питер; Марден, Альберт, ред. (1986), «Гипотеза Бибербаха», Труды симпозиума по случаю доказательства гипотезы Бибербаха, состоявшегося в Университете Пердью, Вест-Лафайет, Индиана, 11-14 марта 1985 г. , Математические обзоры и монографии, Провиденс, Род-Айленд. : Американское математическое общество, 21 , стр. Xvi + 218, DOI : 10.1090 / Surv / 021 , ISBN 0-8218-1521-0, Руководство по ремонту  0875226
  • Фекете, М .; Szeg, G. (1933), "Eine Bemerkung Über Ungerade Schlichte Funktionen", J. London Math. Soc. , S1-8 (2): 85-89, DOI : 10.1112 / jlms / s1-8.2.85
  • Фитцджеральд, Карл; Поммеренке, Кристиан (1985), "Теорема де Бранжа об однолистных функциях", Пер. Амер. Математика. Soc. , 290 (2): 683, DOI : 10,2307 / 2000306 , JSTOR  2000306
  • Голузина, EG (2001) [1994], "Гипотеза Бибербаха" , Энциклопедия математики , EMS Press
  • Гриншпан, Аркадий З. (1999), "О Бибербах гипотеза и функционалы Milín в", Американский Математический Месячный , 106 (3): 203-214, DOI : 10,2307 / 2589676 , JSTOR  2589676 , MR  1682341
  • Гриншпан, Аркадий З. (2002), "Логарифмическая геометрия, возведение в степень и границы коэффициентов в теории однолистных функций и неперекрывающихся областей", в Kuhnau, Reiner (ed.), Geometric Function Theory , Handbook of Complex Analysis, Volume 1, Амстердам : Северная Голландия ., стр 273-332, DOI : 10.1016 / S1874-5709 (02) 80012-9 , ISBN 0-444-82845-1, MR  1966197 , Zbl  1083.30017 |volume= has extra text (help).
  • Хейман, WK (1955), "Асимптотическое поведение функций р-валентных", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 5 (3): 257-284, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-5.3.257 , MR  0071536
  • Hayman, WK (1994), "Теорема Де Бранжа", Multivalent functions , Cambridge Tracts in Mathematics, 110 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0521460263
  • Кёпф, Вольфрам (2007), гипотеза Бибербаха, функции де Бранжа и Вайнштейна и неравенство Аски-Гаспера
  • Коревааром, Jacob (1986), "Гипотеза Людвига Бибербаха и ее доказательство Луи де Бранжа" , Американский Математический Месячный , 93 (7): 505-514, DOI : 10,2307 / 2323021 , ISSN  0002-9890 , JSTOR  2323021 , MR  0856290
  • Littlewood, JE (1925), "О неравенствах в теории функций", Proc. Лондонская математика. Soc. , S2-23: 481-519, DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-23.1.481
  • Литтлвуд, Дж. Э .; Пэли, EAC (1932), «Доказательство того, что нечетная функция Шлихта имеет ограниченные коэффициенты», J. London Math. Soc. , S1-7 (3): 167-169, DOI : 10.1112 / jlms / s1-7.3.167
  • Loewner, C. (1917), "Untersuchungen über die Verzerrung bei konformen Abbildungen des Einheitskreises / z / <1, die durch Funktionen mit nicht verschwindender Ableitung geliefert werden", Ber. Верх. Sachs. Ges. Wiss. Лейпциг , 69 : 89–106.
  • Лёвнер, К. (1923), "Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I", Math. Аня. , 89 : 103-121, DOI : 10.1007 / BF01448091 , ЛВП : 10338.dmlcz / 125927 , JFM  49.0714.01
  • Милин, И.М. (1977), Однолистные функции и ортонормированные системы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0369684 (Перевод русского издания 1971 г.)
  • Неванлинна Р. (1921), "Über die konforme Abbildung von Sterngebieten", Ofvers. Finska Vet. Soc. Для ч. , 53 : 1–21
  • Робертсон, М. (1936), "Замечание о нечетных однолистных функций" , Бюллетень Американского математического общества , 42 (6): 366-370, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1936-06300-7