Тонкая структура

Интерференционные полосы , демонстрирующие тонкую структуру (расщепление) охлажденного источника дейтерия , наблюдаемые через интерферометр Фабри – Перо .

В атомной физике , то структура прекрасно описывает расщепление спектральных линий из атомов за счетом электронного спина и релятивистские поправки к нерелятивистскому уравнению Шредингера . Впервые он был измерен именно для атома водорода по Майкельсон и Морли в 1887 году, ^{[1] [2]} закладывает основу для теоретического лечения Арнольда Зоммерфельда , представляя постоянной тонкой структуры . ^[3]

Фон [ править ]

Валовая структура [ править ]

Общая структура линейчатых спектров - это линейчатые спектры, предсказанные квантовой механикой нерелятивистских электронов без спина. Для водородного атома энергетические уровни грубой структуры зависят только от главного квантового числа n . Однако более точная модель учитывает релятивистские и спиновые эффекты, которые нарушают вырождение энергетических уровней и расщепляют спектральные линии. Масштаб расщепления тонкой структуры относительно энергий грубой структуры порядка ( Zα ) ² , где Z - атомный номер, а α - постоянная тонкой структуры., безразмерное число, равное примерно 1/137.

Релятивистские поправки [ править ]

Поправки на энергию тонкой структуры могут быть получены с помощью теории возмущений . Чтобы выполнить этот расчет, необходимо добавить три поправочных члена к гамильтониану : релятивистскую поправку ведущего порядка к кинетической энергии, поправку из-за спин-орбитальной связи и дарвиновский член, обусловленный квантовым флуктуирующим движением или дрожанием электрона. .

Эти поправки также могут быть получены из нерелятивистского предела уравнения Дирака , поскольку теория Дирака естественным образом включает в себя относительность и спиновые взаимодействия.

Атом водорода [ править ]

В этом разделе обсуждаются аналитические решения для атома водорода, поскольку проблема решается аналитически и является базовой моделью для расчета уровней энергии в более сложных атомах.

Релятивистская поправка кинетической энергии [ править ]

Грубая структура предполагает, что член кинетической энергии гамильтониана принимает ту же форму, что и в классической механике , что для одного электрона означает

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} + V}$

где V - потенциальная энергия , - импульс, - масса покоя электрона .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m_ {e}}$

Однако при рассмотрении более точной теории природы с помощью специальной теории относительности мы должны использовать релятивистскую форму кинетической энергии,

${\ displaystyle T = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m_ {e} ^ {2} c ^ {4}}} - m_ {e} c ^ {2} = m_ {e} c ^ {2} \ left [{\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}}}} - 1 \ right]}$

где первый член является полной релятивистской энергией, а второе слагаемого есть энергия покоя электрона ( это скорость света ). Раскладывая квадратный корень для больших значений , находим${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle T = {\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} - {\ frac {p ^ {4}} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} + \ cdots}$

Хотя в этой серии есть бесконечное количество членов, более поздние члены намного меньше, чем более ранние, и поэтому мы можем игнорировать все, кроме первых двух. Поскольку первый член выше уже является частью классического гамильтониана, поправка первого порядка к гамильтониану равна

${\displaystyle {\mathcal {H}}'=-{\frac {p^{4}}{8m_{e}^{3}c^{2}}}}$

Используя это как возмущение , мы можем вычислить поправки к энергии первого порядка из-за релятивистских эффектов.

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\left\langle \psi ^{0}\right\vert {\mathcal {H}}'\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{4}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle }$

где - невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим${\displaystyle \psi ^{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}^{0}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\\left({\frac {p^{2}}{2m_{e}}}+V\right)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=2m_{e}(E_{n}-V)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \end{aligned}}}$

Мы можем использовать этот результат для дальнейшего вычисления релятивистской поправки:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert (2m_{e})^{2}(E_{n}-V)^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2m_{e}c^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\left\langle V^{2}\right\rangle \right)\end{aligned}}}$

Для атома водорода

${\displaystyle V(r)={\frac {-e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}}$,, и ,${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle ={\frac {1}{a_{0}n^{2}}}}$${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle ={\frac {1}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}}$

где - элементарный заряд , - диэлектрическая проницаемость вакуума , - радиус Бора , - главное квантовое число , - азимутальное квантовое число и - расстояние электрона от ядра. Следовательно, релятивистская поправка первого порядка для атома водорода равна${\displaystyle e}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2m_{e}c^{2}}}\left(E_{n}^{2}+2E_{n}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {1}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}{\frac {e^{4}}{(l+{\frac {1}{2}})n^{3}a_{0}^{2}}}\right)\\&=-{\frac {E_{n}^{2}}{2m_{e}c^{2}}}\left({\frac {4n}{l+{\frac {1}{2}}}}-3\right)\end{aligned}}}$

где мы использовали:

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a_{0}n^{2}}}}$

По окончательному расчету порядок релятивистской поправки к основному состоянию составляет .${\displaystyle -9.056\times 10^{-4}\ {\text{eV}}}$

Спин-орбитальная связь [ править ]

Для водородоподобного атома с протонами ( для водорода), орбитальным угловым моментом и спином электрона спин-орбитальный член определяется как:${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z=1}$${\displaystyle {\vec {L}}}$${\displaystyle {\vec {S}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }={\frac {1}{2}}\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\left({\frac {g_{s}}{2m_{e}^{2}c^{2}}}\right){\frac {{\vec {L}}\cdot {\vec {S}}}{r^{3}}}}$

где - спиновый g-фактор .${\displaystyle g_{s}}$

Спина коррекция -орбите может быть понята путем перехода от стандартной системы отсчета (где электрон орбиты ядра ) в одном , где электрон неподвижен и ядро вместо него орбит. В этом случае орбитальное ядро ​​функционирует как эффективная токовая петля, которая, в свою очередь, будет генерировать магнитное поле. Однако сам электрон обладает магнитным моментом из-за собственного углового момента . Два магнитных вектора и соединяются вместе, так что существует определенная стоимость энергии в зависимости от их относительной ориентации. Это приводит к энергетической поправке вида${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle {\vec {\mu }}_{s}}$

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {SO} }=\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}}$

Обратите внимание, что к вычислению необходимо добавить важный множитель 2, называемый прецессией Томаса , который исходит из релятивистских вычислений, которые возвращаются к системе отсчета электрона из системы отсчета ядра.

С

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle &={\frac {Z^{3}}{n^{3}a_{0}^{3}}}{\frac {1}{l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}\\\left\langle {\vec {L}}\cdot {\vec {S}}\right\rangle &={\frac {\hbar ^{2}}{2}}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\end{aligned}}}$

математическое ожидание для гамильтониана:

${\displaystyle \left\langle {\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }\right\rangle ={\frac {E_{n}{}^{2}}{m_{e}c^{2}}}~n~{\frac {j(j+1)-l(l+1)-{\frac {3}{4}}}{l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}}$

Таким образом, порядок величины спин-орбитальной связи равен .${\displaystyle {\frac {Z^{4}}{n^{3}(j+1/2)}}10^{-5}{\text{ eV}}}$

При приложении слабых внешних магнитных полей спин-орбитальная связь способствует эффекту Зеемана .

Термин Дарвина [ править ]

Есть еще один последний член в нерелятивистском разложении уравнения Дирака . Он упоминается как термин Дарвина, поскольку он был впервые получен Чарльзом Гальтоном Дарвином , и дается следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{\mathrm {Darwin} }&={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)\\\langle {\mathcal {H}}_{\mathrm {Darwin} }\rangle &={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)|\psi (0)|^{2}\\\psi (0)&=0{\text{ for }}l>0\\\psi (0)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,2\left({\frac {Z}{na_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\text{ for }}l=0\\{\mathcal {H}}_{\mathrm {Darwin} }&={\frac {2n}{m_{e}c^{2}}}\,E_{n}^{2}\end{aligned}}}$

Член Дарвина влияет только на s-орбитали. Это связано с тем, что волновая функция электрона с обращается в нуль в начале координат, следовательно, дельта-функция не имеет никакого эффекта. Например, он дает 2s-орбитали ту же энергию, что и 2p-орбиталь, повышая состояние 2s на${\displaystyle l>0}$9,057 · 10 ⁻⁵  эВ .

Термин Дарвина изменяет эффективный потенциал ядра. Это можно интерпретировать как размытие электростатического взаимодействия между электроном и ядром из-за zitterbewegung , или быстрых квантовых колебаний электрона. Это можно продемонстрировать кратким расчетом. ^[4]

Квантовые флуктуации позволяют создавать виртуальные электронно-позитронные пары, время жизни которых оценивается по принципу неопределенности . Расстояние частицы могут двигаться в течение этого времени , то длина волны Комптона . Электроны атома взаимодействуют с этими парами. Это приводит к колебаниям положения электрона . Используя разложение Тейлора , можно оценить влияние на потенциал :${\displaystyle \Delta t\approx \hbar /\Delta E\approx \hbar /mc^{2}}$${\displaystyle \xi \approx c\Delta t\approx \hbar /mc=\lambda _{c}}$${\displaystyle {\vec {r}}+{\vec {\xi }}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle U({\vec {r}}+{\vec {\xi }})\approx U({\vec {r}})+\xi \cdot \nabla U({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}\xi _{i}\xi _{j}\partial _{i}\partial _{j}U({\vec {r}})}$

Усреднение по колебаниям ${\displaystyle {\vec {\xi }}}$

${\displaystyle {\overline {\xi }}=0,\quad {\overline {\xi _{i}\xi _{j}}}={\frac {1}{3}}{\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\delta _{ij},}$

дает средний потенциал

${\displaystyle {\overline {U\left({\vec {r}}+{\vec {\xi }}\right)}}=U\left({\vec {r}}\right)+{\frac {1}{6}}{\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\nabla ^{2}U\left({\vec {r}}\right).}$

Приближаясь , это дает возмущение потенциала из-за флуктуаций:${\displaystyle {\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\approx \lambda _{c}^{2}}$

${\displaystyle \delta U\approx {\frac {1}{6}}\lambda _{c}^{2}\nabla ^{2}U={\frac {\hbar ^{2}}{6m_{e}^{2}c^{2}}}\nabla ^{2}U}$

Чтобы сравнить с приведенным выше выражением, подключите кулоновский потенциал :

${\displaystyle \nabla ^{2}U=-\nabla ^{2}{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}=4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}({\vec {r}})\quad \Rightarrow \quad \delta U\approx {\frac {\hbar ^{2}}{6m_{e}^{2}c^{2}}}4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}({\vec {r}})}$

Это немного отличается.

Другой механизм, который влияет только на s-состояние, - это лэмбовский сдвиг , дополнительная, меньшая поправка, возникающая в квантовой электродинамике, которую не следует путать с дарвиновским термином. Термин Дарвина дает s-состоянию и p-состоянию одинаковую энергию, но лэмбовский сдвиг делает s-состояние более высоким по энергии, чем p-состояние.

Общий эффект [ править ]

Полный гамильтониан дается формулой

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{\rm {Coulomb}}+{\mathcal {H}}_{\mathrm {kinetic} }+{\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }+H_{\mathrm {Darwin} },\!}$

где - гамильтониан кулоновского взаимодействия .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {Coulomb}}}$

Общий эффект, полученный путем суммирования трех компонентов, определяется следующим выражением: ^[5]

${\displaystyle \Delta E={\frac {E_{n}(Z\alpha )^{2}}{n}}\left({\frac {1}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4n}}\right)\,,}$

где - квантовое число полного углового момента ( если и в противном случае). Стоит отметить, что это выражение было впервые получено Зоммерфельдом на основе старой теории Бора ; т.е. до того, как была сформулирована современная квантовая механика .${\displaystyle j}$${\displaystyle j=1/2}$${\displaystyle l=0}$${\displaystyle j=l\pm 1/2}$

Точные релятивистские энергии [ править ]

Полный эффект также можно получить с помощью уравнения Дирака. В этом случае электрон считается нерелятивистским. Точные значения энергии приведены в ^[6]

${\displaystyle E_{j\,n}=-m_{\text{e}}c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\dfrac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right].}$

Это выражение, которое содержит все члены более высокого порядка, которые не учитывались в других вычислениях, расширяется до первого порядка, чтобы дать поправки на энергию, полученные из теории возмущений. Однако это уравнение не содержит поправок на сверхтонкую структуру , обусловленных взаимодействиями со спином ядра. Другие поправки из квантовой теории поля, такие как лэмбовский сдвиг и аномальный магнитный дипольный момент электрона, не включены.

См. Также [ править ]

• Связь по угловому моменту
• Прекрасная электронная структура

Ссылки [ править ]

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.
• Либофф, Ричард Л. (2002). Вводная квантовая механика . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5.

Внешние ссылки [ править ]

• Гиперфизика: тонкая структура
• Техасский университет: тонкая структура водорода