Интерферометр Фабри – Перо

В оптике , А интерферометр Фабри-Перо ( ИПИ ) или эталонные представляет собой оптический резонатор изготовлен из двух параллельных отражающих поверхностей (например: тонкие зеркала ). Оптические волны могут проходить через оптический резонатор только тогда, когда они находятся в резонансе с ним. Он назван в честь Шарля Фабри и Альфреда Перо , которые разработали прибор в 1899 году. ^{[1] [2] [3]} Эталон происходит от французского слова étalon , что означает «измерительный прибор» или «эталон». ^[4]

Интерференционные полосы, демонстрирующие тонкую структуру , из эталона Фабри – Перо. Источник - охлаждаемая дейтериевая лампа .

Эталоны широко используются в телекоммуникациях , лазерах и спектроскопии для контроля и измерения длин волн света. Последние достижения в технологии изготовления позволяют создавать очень точные перестраиваемые интерферометры Фабри – Перо. Устройство технически является интерферометром, когда расстояние между двумя поверхностями (а вместе с ним и длина резонанса) может быть изменено, и эталоном, когда расстояние фиксировано (однако эти два термина часто используются как взаимозаменяемые).

Интерферометр Фабри – Перо, использующий пару частично отражающих, слегка заклиненных оптических плоскостей. Угол клина на этой иллюстрации сильно преувеличен; на самом деле необходима лишь доля градуса, чтобы избежать призрачных полос. Низкое качество изображения по сравнению с высоким качеством изображения соответствует коэффициентам отражения зеркала 4% (голое стекло) и 95%.

Сердце интерферометра Фабри-Перо - это пара частично отражающих стеклянных оптических плоскостей, расположенных на расстоянии от микрометров до сантиметров друг от друга, причем отражающие поверхности обращены друг к другу. (В качестве альтернативы эталон Фабри – Перо использует одну пластину с двумя параллельными отражающими поверхностями.) Плоскости в интерферометре часто имеют клиновидную форму, чтобы задние поверхности не создавали интерференционных полос; задние поверхности часто также имеют антибликовое покрытие .

В типичной системе, освещение обеспечивается с помощью набора источника диффузного в фокальной плоскости в виде коллимирующей линзы . Фокусирующая линза после пары плоскостей создала бы перевернутое изображение источника, если бы плоские поверхности отсутствовали; весь свет, излучаемый из точки на источнике, фокусируется в единственной точке плоскости изображения системы. На прилагаемой иллюстрации прослеживается только один луч, испускаемый из точки A источника. Когда луч проходит через спаренные плоскости, он многократно отражается, создавая множество прошедших лучей, которые собираются фокусирующей линзой и переносятся в точку A 'на экране. Полная картина интерференции имеет вид набора концентрических колец. Острота колец зависит от отражающей способности плоских поверхностей. Если коэффициент отражения высок, что приводит к высокой добротности , монохроматический свет создает набор узких ярких колец на темном фоне. Говорят, что интерферометр Фабри – Перо с высокой добротностью обладает высокой точностью .

Коммерческое устройство Фабри-Перо

• Телекоммуникационные сети, использующие мультиплексирование с разделением по длине волны, имеют мультиплексоры ввода-вывода с банками миниатюрных кварцевых или алмазных эталонов. Это небольшие переливающиеся кубики со стороной около 2 мм, установленные в небольшие высокоточные стойки. Материалы выбраны для поддержания стабильных расстояний между зеркалами и стабильных частот даже при изменении температуры. Алмаз является предпочтительным, поскольку он обладает большей теплопроводностью и все еще имеет низкий коэффициент расширения. В 2005 году некоторые производители телекоммуникационного оборудования начали использовать твердые эталоны, которые сами по себе являются оптическими волокнами. Это устраняет большинство трудностей, связанных с установкой, регулировкой и охлаждением.
• Дихроичные фильтры изготавливаются путем нанесения серии эталонных слоев на оптическую поверхность путем осаждения из паровой фазы . Эти оптические фильтры обычно имеют более точные полосы отражения и пропускания, чем поглощающие фильтры. При правильной конструкции они работают холоднее, чем поглощающие фильтры, поскольку могут отражать волны нежелательной длины. Дихроичные фильтры широко используются в оптическом оборудовании, таком как источники света, камеры, астрономическое оборудование и лазерные системы.
• В оптических волномерах и некоторых анализаторах оптического спектра используются интерферометры Фабри – Перо с различными свободными спектральными диапазонами для определения длины волны света с большой точностью.
• Лазерные резонаторы часто называют резонаторами Фабри – Перо, хотя для многих типов лазеров коэффициент отражения одного зеркала близок к 100%, что делает его более похожим на интерферометр Жира – Турнуа . В полупроводниковых диодных лазерах иногда используется истинная геометрия Фабри – Перо из-за сложности покрытия торцевых поверхностей кристалла. В квантовых каскадных лазерах часто используются резонаторы Фабри-Перо для поддержания генерации без необходимости в каких-либо покрытиях граней из-за высокого усиления активной области. ^[5]
• Эталоны часто помещают внутрь резонатора лазера при создании одномодовых лазеров. Без эталона лазер обычно будет излучать свет в диапазоне длин волн, соответствующем ряду мод резонатора , которые аналогичны модам Фабри – Перо. Вставка эталона в резонатор лазера с хорошо подобранной точностью и свободным спектральным диапазоном может подавить все моды резонатора, кроме одной, тем самым изменяя режим работы лазера с многомодового на одномодовый.
• Эталоны Фабри – Перо могут использоваться для увеличения длины взаимодействия в лазерной абсорбционной спектрометрии , особенно в методах измерения резонатора кольцом вниз .
• Эталон Фабри – Перо можно использовать для создания спектрометра, способного наблюдать эффект Зеемана , когда спектральные линии расположены слишком близко друг к другу, чтобы их можно было различить с помощью обычного спектрометра.
• В астрономии эталон используется для выбора одного атомного перехода для построения изображения. Наиболее распространенной является линия Солнца H-альфа . Линия Ca-K от Солнца также обычно отображается с помощью эталонов.
• Датчик метана для Марса (MSM) на борту индийского Мангальяна является примером прибора Фабри-Перо. Это был первый космический инструмент Фабри Перо на момент запуска Мангальяна. ^[6] Поскольку он не отличал излучение, поглощаемое метаном, от излучения, поглощаемого углекислым газом и другими газами, его позже назвали картографом альбедо. ^[7]
• При обнаружении гравитационных волн резонатор Фабри-Перо используется для хранения фотонов в течение почти миллисекунды, пока они отскакивают вверх и вниз между зеркалами. Это увеличивает время, в течение которого гравитационная волна может взаимодействовать со светом, что приводит к лучшей чувствительности на низких частотах. Этот принцип используется в таких детекторах, как LIGO и Virgo , которые состоят из интерферометра Майкельсона с резонатором Фабри – Перо длиной несколько километров в обоих плечах. Меньшие резонаторы, обычно называемые очистителями мод , используются для пространственной фильтрации и стабилизации частоты основного лазера.

Потери в резонаторе, выходящий свет, резонансные частоты и форма спектральных линий

Спектральный отклик резонатора Фабри-Перо основан на интерференции между светом, направленным в него, и светом, циркулирующим в резонаторе. Конструктивная интерференция возникает, если два луча находятся в фазе , что приводит к резонансному усилению света внутри резонатора. Если два луча не совпадают по фазе, внутри резонатора сохраняется лишь небольшая часть выпущенного света. Сохраненный, прошедший и отраженный свет спектрально модифицируется по сравнению с падающим светом.

Предположим, что двухзеркальный резонатор Фабри-Перо геометрической длины ${\ displaystyle \ ell}$, однородно заполненный средой с показателем преломления ${\ displaystyle n}$. Свет запускается в резонатор при нормальном падении. Время в оба конца${\ displaystyle t _ {\ rm {RT}}}$ света, движущегося в резонаторе со скоростью ${\ displaystyle c = c_ {0} / n}$, где ${\ displaystyle c_ {0}}$- скорость света в вакууме, а свободный спектральный диапазон ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$ даны

${\ displaystyle t _ {\ rm {RT}} = {\ frac {1} {\ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}} = {\ frac {2 \ ell} {c}}.}$

Отражательная способность электрического поля и напряженности ${\ displaystyle r_ {i}}$ а также ${\ displaystyle R_ {i}}$соответственно на зеркальном ${\ displaystyle i}$ находятся

${\ displaystyle | r_ {i} | ^ {2} = R_ {i}.}$

Если нет других потерь в резонаторе, спад интенсивности света за круговой обход количественно определяется константой скорости затухания на выходе. ${\ displaystyle 1 / \ tau _ {\ rm {out}},}$

${\ Displaystyle R_ {1} R_ {2} = e ^ {- t _ {\ rm {RT}} / \ tau _ {\ rm {out}}},}$

и время распада фотона ${\ displaystyle \ tau _ {c}}$резонатора тогда дается формулой ^[8]

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} = {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {out}}}} = {\ frac {- \ ln {(R_ { 1} R_ {2})}} {t _ {\ rm {RT}}}}.}$

С участием ${\ Displaystyle \ фи (\ ню)}$ количественная оценка однопроходного фазового сдвига, который свет проявляет при распространении от одного зеркала к другому, двусторонний фазовый сдвиг на частоте ${\ displaystyle \ nu}$накапливается до ^[8]

${\ displaystyle 2 \ phi (\ nu) = 2 \ pi \ nu t _ {\ rm {RT}}.}$

Резонансы возникают на частотах, на которых свет проявляет конструктивную интерференцию после одного прохода туда и обратно. Каждый режим резонатора с его индексом режима${\ displaystyle q}$, где ${\ displaystyle q}$ является целым числом в интервале [${\ displaystyle - \ infty}$, ..., −1, 0, 1, ..., ${\ displaystyle \ infty}$], связана с резонансной частотой ${\ displaystyle \ nu _ {q}}$ и волновое число ${\ displaystyle k_ {q}}$,

${\ displaystyle \ nu _ {q} = q \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} \ Rightarrow k_ {q} = {\ frac {2 \ pi q \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} } {c}}.}$

Два режима с противоположными значениями ${\ displaystyle \ pm q}$ а также ${\ displaystyle \ pm k}$ модального индекса и волнового числа, соответственно, физически представляющих противоположные направления распространения, имеют одно и то же абсолютное значение ${\ Displaystyle \ влево | \ ню _ {д} \ вправо |}$частоты. ^[9]

Затухающее электрическое поле на частоте ${\ displaystyle \ nu _ {q}}$ представляет собой затухающее гармоническое колебание с начальной амплитудой ${\ displaystyle E_ {q, s}}$ и постоянная времени затухания ${\ displaystyle 2 \ tau _ {c}}$. В векторной записи это может быть выражено как ^[8]

${\ displaystyle E_ {q} (t) = E_ {q, s} e ^ {i2 \ pi \ nu _ {q} t} e ^ {- {\ frac {t} {2 \ tau _ {c}} }}.}$

Преобразование Фурье электрического поля во времени дает электрическое поле на единицу частотного интервала,

${\ Displaystyle {\ тильда {E}} _ {q} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} E_ {q} (t) e ^ {- i2 \ pi \ nu t } \, dt = E_ {q, s} {\ frac {1} {(2 \ tau _ {c}) ^ {- 1} + i2 \ pi (\ nu - \ nu _ {q})}}. }$

Каждая мода имеет нормированную форму спектральной линии на единицу частотного интервала, заданную формулой

${\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} _ {q} (\ nu) = {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} \ left | {\ frac {{\ tilde {E}} _ {q} (\ nu)} {E_ {q, s}}} \ right | ^ {2} = {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} {\ frac {1} {(2 \ tau _ {c}) ^ {- 2} +4 \ pi ^ {2} (\ nu - \ nu _ {q}) ^ {2}}},}$

интеграл по частоте равен единице. Представляем ширину линии при полной ширине на полувысоте (FWHM)${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c}}$ формы лоренцевой спектральной линии, получаем

${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c} = {\ frac {1} {2 \ pi \ tau _ {c}}} \ Rightarrow {\ tilde {\ gamma}} _ {q} (\ nu) = { \ frac {1} {\ pi}} {\ frac {\ Delta \ nu _ {c} / 2} {(\ Delta \ nu _ {c} / 2) ^ {2} + (\ nu - \ nu _ {q}) ^ {2}}} = {\ frac {2} {\ pi}} {\ frac {\ Delta \ nu _ {c}} {(\ Delta \ nu _ {c}) ^ {2} +4 (\ nu - \ nu _ {q}) ^ {2}}},}$

выражается через полуширину на полувысоте (HWHM) ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c} / 2}$ или ширину линии FWHM ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c}}$. После калибровки по высоте пика, равной единице, мы получаем лоренцевы линии:

${\ displaystyle \ gamma _ {q, L} (\ nu) = {\ frac {\ pi} {2}} \ Delta \ nu _ {c} {\ tilde {\ gamma}} _ {q} (\ nu ) = {\ frac {(\ Delta \ nu _ {c} / 2) ^ {2}} {(\ Delta \ nu _ {c} / 2) ^ {2} + (\ nu - \ nu _ {q }) ^ {2}}} = {\ frac {(\ Delta \ nu _ {c}) ^ {2}} {(\ Delta \ nu _ {c}) ^ {2} +4 (\ nu - \ nu _ {q}) ^ {2}}}.}$

При повторении вышеуказанного преобразования Фурье для всех мод с индексом моды ${\ displaystyle q}$ в резонаторе получается полный модовый спектр резонатора.

Поскольку ширина линии ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c}}$ и свободный спектральный диапазон ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$ не зависят от частоты, тогда как в пространстве длин волн ширина линии не может быть определена должным образом, а свободный спектральный диапазон зависит от длины волны, а поскольку резонансные частоты ${\ displaystyle \ nu _ {q}}$ шкала пропорциональна частоте, спектральный отклик резонатора Фабри-Перо естественным образом анализируется и отображается в частотном пространстве.

Общее распределение Эйри: коэффициент усиления внутреннего резонанса

Электрические поля в резонаторе Фабри-Перо. ^[8] Коэффициенты отражения зеркал электрического поля равны ${\ displaystyle r_ {1}}$ а также ${\ displaystyle r_ {2}}$. Указаны характерные электрические поля, создаваемые электрическим полем. ${\ displaystyle E _ {\ rm {inc}}}$ падает на зеркало 1: ${\ displaystyle E _ {\ rm {refl, 1}}}$ первоначально отраженный в зеркале 1, ${\ displaystyle E _ {\ rm {laun}}}$ запущен через зеркало 1, ${\ displaystyle E _ {\ rm {circ}}}$ а также ${\ displaystyle E _ {\ text {b-circ}}}$ циркулирующие внутри резонатора в прямом и обратном направлениях соответственно, ${\ displaystyle E _ {\ rm {RT}}}$ распространяясь внутри резонатора после одного обхода, ${\ displaystyle E _ {\ rm {trans}}}$ передается через зеркало 2, ${\ displaystyle E _ {\ rm {назад}}}$ пропускается через зеркало 1, а полное поле ${\ displaystyle E _ {\ rm {refl}}}$распространяется в обратном направлении. Интерференция возникает слева и справа от зеркала 1 между ${\ displaystyle E _ {\ rm {refl, 1}}}$ а также ${\ displaystyle E _ {\ rm {назад}}}$, в результате чего ${\ displaystyle E _ {\ rm {refl}}}$, и между ${\ displaystyle E _ {\ rm {laun}}}$ а также ${\ displaystyle E _ {\ rm {RT}}}$, в результате чего ${\ displaystyle E _ {\ rm {circ}}}$, соответственно.

Реакция резонатора Фабри-Перо на электрическое поле, падающее на зеркало 1, описывается несколькими распределениями Эйри (названными в честь математика и астронома Джорджа Бидделла Эйри ), которые количественно определяют интенсивность света в прямом или обратном направлении распространения в различных положениях внутри или снаружи. резонатора по отношению к интенсивности запущенного или падающего света. Отклик резонатора Фабри-Перо легче всего получить с помощью метода циркулирующего поля. ^[10] Этот подход предполагает установившееся состояние и связывает различные электрические поля друг с другом (см. Рисунок «Электрические поля в резонаторе Фабри-Перо»).

Поле ${\ displaystyle E _ {\ rm {circ}}}$ может быть связано с полем ${\ displaystyle E _ {\ rm {laun}}}$ который запускается в резонатор

${\ displaystyle E _ {\ rm {circ}} = E _ {\ rm {laun}} + E _ {\ rm {RT}} = E _ {\ rm {laun}} + r_ {1} r_ {2} e ^ { -i2 \ phi} E _ {\ rm {circ}} \ Rightarrow {\ frac {E _ {\ rm {circ}}} {E _ {\ rm {laun}}}} = {\ frac {1} {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi}}}.}$

Общее распределение Эйри, которое учитывает только физические процессы, проявляемые светом внутри резонатора, затем определяется как интенсивность, циркулирующая в резонаторе, относительно инициируемой интенсивности ^[8].

${\ displaystyle A _ {\ rm {circ}} = {\ frac {I _ {\ rm {circ}}} {I _ {\ rm {laun}}}} = {\ frac {\ left | E _ {\ rm {circ }} \ right | ^ {2}} {\ left | E _ {\ rm {laun}} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left | 1-r_ {1} r_ { 2} e ^ {- i2 \ phi} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right ) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}.$

${\ displaystyle A _ {\ rm {circ}}}$представляет собой спектрально зависимое усиление внутреннего резонанса, которое резонатор обеспечивает свету, который в него попадает (см. рисунок «Повышение резонанса в резонаторе Фабри-Перо»). На резонансных частотах${\ displaystyle \ nu _ {q}}$, где ${\ Displaystyle \ грех (\ фи)}$ равен нулю, коэффициент усиления внутреннего резонанса равен

${\ displaystyle A _ {\ rm {circ}} (\ nu _ {q}) = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ right) ^ {2}}}.}$

Другие дистрибутивы Эйри

Усиление резонанса в резонаторе Фабри-Перо. ^[8] (вверху) Спектрально-зависимое усиление внутреннего резонанса, равное общему распределению Эйри ${\ displaystyle A _ {\ text {circ}}}$. Свет, попадающий в резонатор, резонансно усиливается этим фактором. Для кривой с ${\ Displaystyle R_ {1} = R_ {2} = 0,9}$, пиковое значение находится на ${\ displaystyle A _ {\ text {circ}} (\ nu _ {q}) = 100}$, вне шкалы ординат. (внизу) Спектрально-зависимое усиление внешнего резонанса, равное распределению Эйри ${\ displaystyle A _ {\ text {circ}} ^ {\ prime}}$. За счет этого фактора происходит резонансное усиление света, падающего на резонатор.

Как только усиление внутреннего резонанса, общее распределение Эйри, установлено, все остальные распределения Эйри могут быть выведены с помощью простых масштабных коэффициентов. ^[8] Поскольку интенсивность, вводимая в резонатор, равна прошедшей части интенсивности, падающей на зеркало 1,

${\ displaystyle I _ {\ text {laun}} = \ left (1-R_ {1} \ right) I _ {\ text {inc}},}$

а интенсивности, прошедшие через зеркало 2, отраженные в зеркале 2 и прошедшие через зеркало 1, представляют собой прошедшие и отраженные / прошедшие доли интенсивности, циркулирующей внутри резонатора,

${\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ text {trans}} & = \ left (1-R_ {2} \ right) I _ {\ text {circ}}, \\ I _ {\ text {b-circ }} & = R_ {2} I _ {\ text {circ}}, \\ I _ {\ text {back}} & = \ left (1-R_ {1} \ right) I _ {\ text {b-circ} }, \ end {выровнены}}}$

соответственно, остальные распределения Эйри ${\ displaystyle A}$ по интенсивности пуска ${\ displaystyle I _ {\ text {laun}}}$ а также ${\ displaystyle A ^ {\ prime}}$ по интенсивности падающего ${\ displaystyle I _ {\ text {inc}}}$являются ^[8]

${\ displaystyle {\ begin {align} A _ {\ text {circ}} & = {\ frac {1} {R_ {2}}} A _ {\ text {b-circ}} = {\ frac {1} { R_ {1} R_ {2}}} A _ {\ text {RT}} = {\ frac {1} {1-R_ {2}}} A _ {\ text {trans}} = {\ frac {1} { (1-R_ {1}) R_ {2}}} A _ {\ text {back}} = {\ frac {1} {1-R_ {1} R_ {2}}} A _ {\ text {emit}} , \\ A _ {\ text {circ}} '& = {\ frac {1} {R_ {2}}} A _ {\ text {b-circ}}' = {\ frac {1} {R_ {1} R_ {2}}} A _ {\ text {RT}} '= {\ frac {1} {1-R_ {2}}} A _ {\ text {trans}}' = {\ frac {1} {(1 -R_ {1}) R_ {2}}} A _ {\ text {back}} '= {\ frac {1} {1-R_ {1} R_ {2}}} A _ {\ text {emit}}' , \\ A _ {\ text {circ}} '& = \ left (1-R_ {1} \ right) A _ {\ text {circ}}. \ End {выравнивается}}}$

Индекс «излучение» обозначает распределения Эйри, которые учитывают сумму интенсивностей, излучаемых с обеих сторон резонатора.

Интенсивность передачи назад ${\ displaystyle I _ {\ text {back}}}$не может быть измерен, потому что также первоначально отраженный назад свет добавляется к сигналу, распространяющемуся назад. Измеримый случай интенсивности, возникающей в результате интерференции обоих электрических полей, распространяющихся в обратном направлении, дает распределение Эйри ^[8]

${\ displaystyle A _ {\ text {refl}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ text {refl}}} {I _ {\ text {inc}}}} = {\ frac {\ left | E_ {\ text {refl}} \ right | ^ {2}} {\ left | E _ {\ text {inc}} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {\ left ({{\ sqrt {R_ {1}}} - {\ sqrt {R_ {2}}}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi) } {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ { 2} (\ phi)}}.}$

Нетрудно показать, что в резонаторе Фабри-Перо, несмотря на наличие конструктивной и деструктивной интерференции, энергия сохраняется на всех частотах:

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime} + A _ {\ text {refl}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ text {trans}} + I _ {\ text {refl }}} {I _ {\ text {inc}}}} = 1.}$

Коэффициент усиления внешнего резонанса (см. Рисунок «Повышение резонанса в резонаторе Фабри-Перо») равен ^[8]

${\ displaystyle A _ {\ text {circ}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ text {circ}}} {I _ {\ text {inc}}}} = (1-R_ {1}) A _ {\ text {circ}} = {\ frac {1-R_ {1}} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2} + 4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}$

На резонансных частотах ${\ displaystyle \ nu _ {q}}$, где ${\ Displaystyle \ грех (\ фи)}$ равен нулю, коэффициент усиления внешнего резонанса равен

${\ displaystyle A _ {\ text {circ}} ^ {\ prime} (\ nu _ {q}) = {\ frac {1-R_ {1}} {\ left (1 - {\ sqrt {R_ {1}) R_ {2}}} \ right) ^ {2}}}.}$

Воздушное распределение ${\ Displaystyle А _ {\ текст {транс}} ^ {\ prime}}$ (сплошные линии), соответствующие свету, прошедшему через резонатор Фабри-Перо, рассчитанному для различных значений коэффициентов отражения ${\ Displaystyle R_ {1} = R_ {2}}$, и сравнение с одиночной лоренцевой линией (пунктирные линии), рассчитанной для того же ${\ Displaystyle R_ {1} = R_ {2}}$. ^[8] На половине максимума (черная линия) с уменьшением коэффициентов отражения ширина линии на полувысоте ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ text {Эйри}}}$ распределения Эйри уширяется по сравнению с шириной линии на полувысоте ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c}}$ соответствующей ему лоренцевой линии: ${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2} = 0.9,0.6,0.32,0.172}$ приводит к ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ text {Airy}} / \ Delta \ nu _ {c} = 1.001,1.022,1.132,1.717}$, соответственно.

Обычно свет проходит через резонатор Фабри-Перо. Поэтому часто применяется распределение Эйри ^[8]

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ text {trans}}} {I _ {\ text {inc}}}} = (1-R_ {1}) (1-R_ {2}) A _ {\ text {circ}} = {\ frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2})} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}$

Он описывает дробь ${\ displaystyle I _ {\ text {trans}}}$ интенсивности ${\ displaystyle I _ {\ text {inc}}}$ источника света, падающего на зеркало 1, проходящего через зеркало 2 (см. рисунок «Распределение Эйри ${\ Displaystyle А _ {\ текст {транс}} ^ {\ prime}}$"). Его пиковое значение на резонансных частотах ${\ displaystyle \ nu _ {q}}$ является

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime} (\ nu _ {q}) = {\ frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2})} {\ left ( {1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2}}}.}$

Для ${\ Displaystyle R_ {1} = R_ {2}}$пиковое значение равно единице, т. е. весь свет, падающий на резонатор, проходит; следовательно, свет не отражается,${\ Displaystyle А _ {\ текст {refl}} ^ {\ prime} = 0}$, в результате деструктивной интерференции полей ${\ displaystyle E _ {{\ text {refl}}, 1}}$ а также ${\ displaystyle E _ {\ text {back}}}$.

${\ Displaystyle А _ {\ текст {транс}} ^ {\ prime}}$был получен в рамках подхода циркулирующего поля ^[10] с учетом дополнительного фазового сдвига${\ Displaystyle е ^ {я \ пи / 2}}$ при каждой передаче через зеркало,

${\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ text {circ}} & = it_ {1} E _ {\ text {inc}} + r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi} E_ { \ text {circ}} \ Rightarrow {\ frac {E _ {\ text {circ}}} {E _ {\ text {inc}}}} = {\ frac {it_ {1}} {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi}}}, \\ E _ {\ text {trans}} & = it_ {2} E _ {\ text {circ}} e ^ {- i \ phi} \ Rightarrow {\ frac {E _ {\ text {trans}}} {E _ {\ text {inc}}}} = {\ frac {-t_ {1} t_ {2} e ^ {- i \ phi}} {1-r_ { 1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi}}}, \ end {выравнивается}}}$

в результате чего

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ text {trans}}} {I _ {\ text {inc}}}} = {\ frac {\ left | E_ {\ text {trans}} \ right | ^ {2}} {\ left | E _ {\ text {inc}} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {\ left | -t_ {1} t_ {2} e ^ {- i \ phi} \ right | ^ {2}} {\ left | 1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2})} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2 } +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}.$

В качестве альтернативы, ${\ Displaystyle А _ {\ текст {транс}} ^ {\ prime}}$может быть получен с помощью метода распада в оба конца ^[11] , отслеживая бесконечное количество циклов, которые падающее электрическое поле${\ displaystyle E _ {\ text {inc}}}$ экспонаты после входа в резонатор и накопления электрического поля ${\ displaystyle E _ {\ text {trans}}}$передается во всех поездках туда и обратно. Поле, передаваемое после первого распространения, и все меньшие и меньшие поля, передаваемые после каждого последовательного распространения через резонатор, равны

${\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ text {trans, 1}} & = E _ {\ text {inc}} it_ {1} it_ {2} e ^ {- i \ phi} = - E _ {\ текст {inc}} t_ {1} t_ {2} e ^ {- i \ phi}, \\ E _ {{\ text {trans}}, m + 1} & = E _ {{\ text {trans}}, m} r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi}, \ end {выровнено}}}$

соответственно. Эксплуатируя

${\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} x ^ {m} = {\ frac {1} {1-x}} \ Rightarrow E _ {\ text {trans}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} E _ {{\ text {trans}}, m} = E _ {\ text {inc}} {\ frac {-t_ {1} t_ {2} e ^ {- i \ phi} } {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi}}}}$

приводит к тому же ${\ displaystyle E _ {\ text {trans}} / E _ {\ text {inc}}}$ как и выше, поэтому такое же распределение Эйри ${\ Displaystyle А _ {\ текст {транс}} ^ {\ prime}}$происходит. Однако этот подход вводит в заблуждение с физической точки зрения, поскольку он предполагает, что интерференция имеет место между выведенными пучками после зеркала 2, вне резонатора, а не между выпущенными и циркулирующими пучками после зеркала 1 внутри резонатора. Поскольку именно интерференция изменяет спектральный состав, распределение спектральной интенсивности внутри резонатора будет таким же, как и распределение спектральной интенсивности падающего излучения, и никакого усиления резонанса внутри резонатора не произойдет.

Распределение Эйри как сумма профилей мод

Физически распределение Эйри представляет собой сумму модовых профилей продольных мод резонатора. ^[8] Исходя из электрического поля.${\ displaystyle E_ {circ}}$ циркулируя внутри резонатора, мы рассматриваем экспоненциальное затухание во времени этого поля через оба зеркала резонатора, Фурье преобразует его в частотное пространство, чтобы получить нормированные формы спектральных линий ${\ Displaystyle {\ тильда {\ gamma}} _ {q} (\ ню)}$, делит его на время прохождения туда и обратно ${\ displaystyle t _ {\ rm {RT}}}$ чтобы учесть, как полная циркулирующая напряженность электрического поля распределяется в продольном направлении в резонаторе и выводится в единицу времени, что приводит к профилям излучаемых мод

${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {emit}}} (\ nu) = {\ frac {1} {t _ {\ rm {RT}}}} {\ tilde {\ gamma}} _ {q } (\ nu),}$

а затем суммирует профили излучаемых мод всех продольных мод ^[8]

${\ displaystyle \ sum _ {q = - \ infty} ^ {\ infty} \ gamma _ {q, {\ rm {emit}}} (\ nu) = {\ frac {1-R_ {1} R_ {2 }} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi)}} = A _ {\ rm {emit}},}$

таким образом, равняется распределению Эйри ${\ displaystyle A _ {\ rm {emit}}}$.

Те же простые коэффициенты масштабирования, которые обеспечивают отношения между отдельными распределениями Эйри, также обеспечивают отношения между ${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {emit}}} (\ nu)}$и другие профили режима: ^[8]

${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {circ}}} = {\ frac {1} {R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ text {b-circ}}} = {\ frac {1} {R_ {1} R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm {RT}}} = {\ frac {1} {1-R_ {2}}} \ gamma _ {q , {\ rm {trans}}} = {\ frac {1} {(1-R_ {1}) R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm {back}}} = {\ frac { 1} {1-R_ {1} R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm {emit}}},}$

${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {circ}}} ^ {\ prime} = {\ frac {1} {R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ text {b-circ} }} ^ {\ prime} = {\ frac {1} {R_ {1} R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm {RT}}} ^ {\ prime} = {\ frac {1 } {1-R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm {trans}}} ^ {\ prime} = {\ frac {1} {(1-R_ {1}) R_ {2}} } \ gamma _ {q, {\ rm {back}}} ^ {\ prime} = {\ frac {1} {1-R_ {1} R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm { испускать}}} ^ {\ prime},}$

${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {circ}}} ^ {\ prime} = (1-R_ {1}) \ gamma _ {q, {\ rm {circ}}}.}$

Характеристика резонатора Фабри-Перо: лоренцевская ширина линии и изящество

Критерий спектрального разрешения Тейлора предполагает, что две спектральные линии могут быть разрешены, если отдельные линии пересекаются с половинной интенсивностью. Запуская свет в резонатор Фабри-Перо, измеряя распределение Эйри, можно получить общие потери резонатора Фабри-Перо, пересчитав лоренцеву ширину линии${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c}}$, отображается (синяя линия) относительно свободного спектрального диапазона на рисунке «Лоренцева ширина линии и точность в зависимости от ширины линии Эйри и точности резонатора Фабри-Перо».

Лоренцевская ширина линии и изящество в зависимости от ширины линии Эри и изящество резонатора Фабри-Перо. ^[8] [Left] Относительная лоренцевская ширина линии ${\ Displaystyle \ Delta \ nu _ {c} / \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$ (синяя кривая), относительная ширина линии Эйри ${\ Displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}} / \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$(зеленая кривая) и его аппроксимация (красная кривая). [Справа] Лоренцевское изящество ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c}}$ (синяя кривая), воздушная утонченность ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}}}$ (зеленая кривая) и ее аппроксимация (красная кривая) как функция значения отражательной способности ${\ displaystyle R_ {1} R_ {2}}$. Точные решения ширины линии Эйри и изящества (зеленые линии) правильно разбиваются на ${\ Displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$, что эквивалентно ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}} = 1}$, тогда как их приближения (красные линии) неправильно не нарушаются. Вставки: Регион ${\ displaystyle R_ {1} R_ {2} <0,1}$.

Физический смысл лоренцевой ловкости ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c}}$резонатора Фабри-Перо. ^[8] Отображается ситуация для ${\ Displaystyle R_ {1} = R_ {2} \ приблизительно 4,32 \%}$, при котором ${\ Displaystyle \ Delta \ nu _ {c} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$ а также ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} = 1}$, т.е. две соседние лоренцевы линии (пунктирные цветные линии, для наглядности показаны только 5 линий для каждой резонансной частоты, ${\ displaystyle \ nu _ {q}}$) пересекаются на половине максимума (сплошная черная линия), и критерий Тейлора для спектрального разрешения двух пиков в результирующем распределении Эйри (сплошная фиолетовая линия, сумма 5 линий, которые были нормированы на максимальную интенсивность самого себя) достигается.

Основные лоренцевы линии могут быть разрешены, пока соблюдается критерий Тейлора (см. Рисунок «Физический смысл лоренцевой ловкости»). Следовательно, можно определить лоренцеву изящество резонатора Фабри-Перо: ^[8]

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} = {\ frac {\ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}} {\ Delta \ nu _ {c}}} = {\ frac {2 \ pi} {- \ ln (R_ {1} R_ {2})}}.}$

Он показан синей линией на рисунке «Физический смысл лоренцевой ловкости». Лоренцевское изящество${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c}}$имеет фундаментальный физический смысл: он описывает, насколько хорошо лоренцевы линии, лежащие в основе распределения Эйри, могут быть разрешены при измерении распределения Эйри. В точке, где

${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} \ Rightarrow R_ {1} R_ {2} = e ^ {- 2 \ pi} \ приблизительно 0,001867,}$

эквивалентно ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} = 1}$, критерий Тейлора для спектрального разрешения одиночного распределения Эйри достигается. Под этим пунктом${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} <1}$, две спектральные линии не различимы. При равных коэффициентах отражения зеркал эта точка возникает, когда${\ Displaystyle R_ {1} = R_ {2} \ приблизительно 4,32 \%}$. Следовательно, ширина линии лоренцевых линий, лежащих в основе распределения Эйри резонатора Фабри-Перо, может быть определена путем измерения распределения Эйри, следовательно, его потери в резонаторе могут быть определены спектроскопически до этой точки.

Сканирование резонатора Фабри-Перо: воздушная ширина линии и изящество

Физический смысл утонченности Эйри ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}}}$резонатора Фабри-Перо. ^[8] При сканировании длины Фабри-Перо (или угла падающего света) распределения Эйри (цветные сплошные линии) создаются сигналами на отдельных частотах. Экспериментальный результат измерения представляет собой сумму отдельных распределений Эйри (черная пунктирная линия). Если сигналы возникают на частотах ${\ displaystyle \ nu _ {m} = \ nu _ {q} + m \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}}}$, где ${\ displaystyle m}$ целое число, начинающееся с ${\ displaystyle q}$, распределения Эйри на соседних частотах отделены друг от друга шириной линии ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}}}$, тем самым выполняя критерий Тейлора для спектроскопического разрешения двух соседних пиков. Максимальное количество сигналов, которые могут быть разрешены, составляет ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}}}$. Поскольку в этом конкретном примере отражательная способность ${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2} = 0,59928}$ были выбраны так, что ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}} = 6}$ целое число, сигнал для ${\ displaystyle m = {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}}}$ на частоте ${\ displaystyle \ nu _ {q} + {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}} \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} = \ nu _ {q} + \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$ совпадает с сигналом для ${\ displaystyle m = q}$ в ${\ displaystyle \ nu _ {q}}$. В этом примере максимум ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}} = 6}$ пики могут быть разрешены при применении критерия Тейлора.

Пример резонатора Фабри-Перо с частотно-зависимой отражательной способностью зеркала (вверху) и результирующими профилями искаженных мод (внизу) ${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {trans}}} ^ {\ prime}}$ режимов с индексами ${\ displaystyle q = 2000,2001,2002}$, сумма 6 миллионов профилей мод (розовые точки, отображаются только для нескольких частот) и распределение Эйри ${\ Displaystyle А _ {\ rm {транс}} ^ {\ prime}}$. ^[8] Вертикальные пунктирные линии обозначают максимум кривой отражательной способности (черный) и резонансные частоты отдельных мод (цветные).

Когда резонатор Фабри-Перо используется в качестве сканирующего интерферометра, т. Е. При различной длине резонатора (или угле падения), можно спектроскопически различать спектральные линии на разных частотах в пределах одного свободного спектрального диапазона. Несколько дистрибутивов Эйри${\ Displaystyle А _ {\ rm {транс}} ^ {\ prime} (\ ню)}$, каждая из которых создается отдельной спектральной линией, должна быть разрешена. Таким образом, распределение Эйри становится основной функцией, и измерение дает сумму распределений Эйри. Параметры, которые правильно определяют эту ситуацию, - это ширина линии Эйри.${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}}}$ и воздушное изящество ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}}}$. Ширина линии FWHM${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}}}$ распределения Эйри ${\ Displaystyle А _ {\ rm {транс}} ^ {\ prime} (\ ню)}$это ^[8]

${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} {\ frac {2} {\ pi}} \ arcsin \ left ({\ frac {1- {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} {2 {\ sqrt [{4}] {R_ {1} R_ {2}}}}} \ right).}$

Воздушная ширина линии ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}}}$ отображается как зеленая кривая на рисунке «Лоренцевская ширина линии и точность в зависимости от ширины линии Эри и точности резонатора Фабри-Перо».

Концепция определения ширины линии пиков Эйри на полуширине не соответствует ${\ Displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$ (сплошная красная линия на рисунке «Распределение Эйри ${\ Displaystyle А _ {\ rm {транс}} ^ {\ prime}}$"), потому что в этот момент ширина линии Эйри мгновенно перескакивает до бесконечного значения для ${\ displaystyle \ arcsin}$функция. Для более низких значений отражательной способности${\ displaystyle R_ {1} R_ {2}}$ширина линии пиков Эйри на FWHM не определена. Предельный случай имеет место при

${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} \ Rightarrow {\ frac {1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} } {2 {\ sqrt [{4}] {R_ {1} R_ {2}}}}} = 1 \ Rightarrow R_ {1} R_ {2} \ приблизительно 0,02944.}$

При равных коэффициентах отражения зеркал этот момент достигается, когда ${\ Displaystyle R_ {1} = R_ {2} \ приблизительно 17,2 \%}$ (сплошная красная линия на рисунке «Распределение Эйри ${\ Displaystyle А _ {\ rm {транс}} ^ {\ prime}}$").

Изящество распределения Эйри резонатора Фабри-Перо, которое отображается как зеленая кривая на рисунке «Лоренцевская ширина линии и изящество в зависимости от ширины линии Эйри и изящество резонатора Фабри-Перо» в прямом сравнении с лоренцевой изяществом ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c}}$, определяется как ^[8]

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}} = {\ frac {\ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}} {\ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}}} } = {\ frac {\ pi} {2}} \ left [\ arcsin \ left ({\ frac {1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}}} {2 {\ sqrt [{4 }] {R_ {1} R_ {2}}}}} \ right) \ right] ^ {- 1}.}$

При сканировании длины резонатора Фабри-Перо (или угла падающего света) тонкость Эйри количественно определяет максимальное количество распределений Эйри, создаваемых светом на отдельных частотах. ${\ displaystyle \ nu _ {m}}$в свободном спектральном диапазоне резонатора Фабри-Перо, соседние пики которого можно однозначно различить спектроскопически, т. е. они не перекрываются на своей FWHM (см. рисунок «Физический смысл утонченности Эйри»). Это определение тонкости Эйри согласуется с критерием Тейлора разрешающей способности спектрометра. Поскольку концепция ширины линии на полувысоте не работает на${\ Displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$, следовательно, тонкость Эйри определяется только до тех пор, пока ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}} = 1}$см. рисунок «Лоренцевская ширина линии и точность в зависимости от ширины линии Эйри и точности резонатора Фабри-Перо».

Часто ненужное приближение ${\ Displaystyle \ грех {(\ ​​фи)} \ приблизительно \ фи}$ производится при получении от ${\ Displaystyle А _ {\ rm {транс}} ^ {\ prime}}$ воздушная ширина линии ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}}}$. В отличие от точного решения, приведенного выше, это приводит к

${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} \ приблизительно \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {1 - {\ sqrt { R_ {1} R_ {2}}}} {\ sqrt [{4}] {R_ {1} R_ {2}}}} \ Rightarrow {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Эйри}} = { \ frac {\ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}} {\ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}}}} \ приблизительно \ pi {\ frac {\ sqrt [{4}] {R_ {1 } R_ {2}}} {1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}}}.}$

Эта аппроксимация ширины линии Эйри, отображаемая как красная кривая на рисунке «Лоренцевская ширина линии и точность в зависимости от ширины линии Эри и изящество резонатора Фабри-Перо», отклоняется от правильной кривой при низких коэффициентах отражения и неправильно не выходит из строя, когда ${\ Displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Эйри}}> \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$. Это приближение обычно также используется для расчета тонкости Эйри.

Частотно-зависимые коэффициенты отражения зеркал

Более общий случай резонатора Фабри-Перо с частотно-зависимыми коэффициентами отражения зеркал можно рассматривать с помощью тех же уравнений, что и выше, за исключением того, что время распада фотона ${\ Displaystyle \ тау _ {с} (\ ню)}$ и ширина линии ${\ Displaystyle \ Дельта \ ню _ {с} (\ ню)}$теперь становятся локальными функциями частоты. В то время как время распада фотона по-прежнему является четко определенной величиной, ширина линии теряет свое значение, потому что она напоминает спектральную ширину полосы, значение которой теперь изменяется в пределах этой самой полосы. Также в этом случае каждое распределение Эйри представляет собой сумму всех основных профилей мод, которые могут быть сильно искажены. ^[8] Пример распределения Эйри${\ Displaystyle А _ {\ rm {транс}} ^ {\ prime}}$ и несколько основных профилей режима ${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {trans}}} ^ {\ prime} (\ nu)}$ приведен на рисунке «Пример резонатора Фабри-Перо с частотно-зависимой отражательной способностью зеркала».

Резонатор Фабри-Перо с собственными оптическими потерями

Собственные потери на распространение внутри резонатора можно количественно оценить с помощью коэффициента потерь интенсивности ${\ displaystyle \ alpha _ {\ rm {loss}}}$ на единицу длины или, что то же самое, на собственные потери при передаче туда и обратно ${\ displaystyle L _ {\ rm {RT}},}$такие, что ^[12]

${\ Displaystyle 1-L _ {\ rm {RT}} = e ^ {- \ alpha _ {\ rm {loss}} 2 \ ell} = e ^ {- t _ {\ rm {RT}} / \ tau _ { \ rm {loss}}}.}$

Дополнительные потери сокращают время распада фотона. ${\ displaystyle \ tau _ {c}}$резонатора: ^[12]

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} = {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {out}}}} + {\ frac {1} {\ tau _ { \ rm {loss}}}} = {\ frac {- \ ln {[R_ {1} R_ {2} (1-L _ {\ rm {RT}})]}} {t _ {\ rm {RT}} }} = {\ frac {- \ ln {[R_ {1} R_ {2}]}} {t _ {\ rm {RT}}}} + c \ alpha _ {\ rm {loss}}.}$

где ${\ displaystyle c}$- скорость света в полости. Общее распределение Эйри или коэффициент усиления внутреннего резонанса${\ displaystyle A _ {\ rm {circ}}}$ затем выводится, как указано выше, путем включения потерь на распространение через коэффициент амплитудных потерь ${\ displaystyle \ alpha _ {\ rm {loss}} / 2}$: ^[12]

${\ displaystyle E _ {\ rm {circ}} = E _ {\ rm {laun}} + E _ {\ rm {RT}} = E _ {\ rm {laun}} + r_ {1} r_ {2} e ^ { - (\ alpha _ {\ rm {loss}} / 2) 2 \ ell} e ^ {- i2 \ phi} E _ {\ rm {circ}} \ Rightarrow {\ frac {E _ {\ rm {circ}}} {E _ {\ rm {laun}}}} = {\ frac {1} {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {loss}} \ ell} e ^ {- i2 \ phi}}} \ Rightarrow}$

${\ displaystyle A _ {\ rm {circ}} = {\ frac {I _ {\ rm {circ}}} {I _ {\ rm {laun}}}} = {\ frac {\ left | E _ {\ rm {circ }} \ right | ^ {2}} {\ left | E _ {\ rm {laun}} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left | 1-r_ {1} r_ { 2} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {loss}} \ ell} e ^ {- i2 \ phi} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left ({1- {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {loss}} \ ell}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {loss}} \ ell} \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}.}$

Затем можно получить другие распределения Эйри, как указано выше, с дополнительным учетом потерь при распространении. В частности, передаточная функция с потерями принимает вид ^[12]

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ rm {trans}}} {I _ {\ rm {inc}}}} = (1-R_ {1}) (1-R_ {2}) e ​​^ {- \ alpha _ {\ rm {loss}} \ ell} A _ {\ rm {circ}} = {\ frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2}) e ​​^ {- \ alpha _ {\ rm {loss}} \ ell}} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {loss}} \ ell}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {loss}} \ ell } \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}$

Описание резонатора Фабри-Перо в пространстве длин волн

Эталон Фабри – Перо. Свет попадает в эталон и подвергается множественным внутренним отражениям.

Зависимость пропускания эталона от длины волны. Эталон высокого качества (красная линия) показывает более резкие пики и более низкие минимумы пропускания, чем эталон низкого качества (синий).

Утонченность как функция отражательной способности. Для очень высоких показателей тонкости требуются зеркала с высокой отражающей способностью.