Zitterbewegung

В физике , то дрожащее ( «нервное движение» в немецком языке ) является прогнозируемым быстрым колебательным движением элементарных частиц, подчиняющиеся релятивистские волновыми уравнений . Существование такого движения было впервые обсуждено Грегори Брейтом в 1928 году ^{[1] [2]} в результате его анализа волновых пакетных решений уравнения Дирака для релятивистских электронов в свободном пространстве, в котором интерференция между положительной и отрицательной энергией состоянияпроизводит то , что , как представляется, колебание (до скорости света) от положения электрона вокруг медианы, с угловой частотой от2 мкр ²/ℏ, или примерно 1,6 × 10 ²¹ радиан в секунду. Для атома водорода zitterbewegung можно использовать как эвристический способ вывести термин Дарвина , небольшую поправку на энергетический уровень s-орбиталей .

Теория [ править ]

Свободный фермион [ править ]

Зависящее от времени уравнение Дирака записывается как

${\ displaystyle H \ psi (\ mathbf {x}, t) = я \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} (\ mathbf {x}, t)}$,

где это (уменьшается) постоянная Планка , является волновая функция ( биспинор ) из фермионной частицы спин-½ , а Н является Дирака гамильтонова из свободной частицы :${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, t)}$

${\ displaystyle H = \ beta mc ^ {2} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} p_ {j} c}$,

где - масса частицы, - скорость света , - оператор импульса , и - матрицы, связанные с гамма-матрицами , как и .${\ textstyle m}$${\ textstyle c}$${\textstyle p_{j}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\textstyle \gamma _{\mu }}$${\textstyle \beta =\gamma _{0}}$${\textstyle \alpha _{j}=\gamma _{0}\gamma _{j}}$

В картине Гейзенберга зависимость от времени произвольной наблюдаемой Q подчиняется уравнению

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial Q}{\partial t}}=\left[H,Q\right].}$

В частности, зависимость оператора положения от времени определяется выражением

${\displaystyle {\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}={\frac {i}{\hbar }}\left[H,x_{k}\right]=c\alpha _{k}}$.

где x _k ( t ) - оператор положения в момент времени t .

Вышеприведенное уравнение показывает, что оператор α _k можно интерпретировать как k -й компонент «оператора скорости».

Обратите внимание, что это означает, что

${\displaystyle \left\langle \left({\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}\right)^{2}\right\rangle =c^{2}}$,

как если бы «среднеквадратичная скорость» во всех направлениях пространства была скоростью света.

Чтобы добавить зависимость от времени к α _k , реализуется картина Гейзенберга, которая гласит:

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=e^{\frac {iHt}{\hbar }}\alpha _{k}e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}}$.

Зависимость оператора скорости от времени определяется выражением

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial \alpha _{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2\left(i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}\right)=2i\left(p_{k}-\alpha _{k}H\right)}$,

куда

${\displaystyle \sigma _{kl}\equiv {\frac {i}{2}}\left[\gamma _{k},\gamma _{l}\right].}$

Теперь, поскольку и p _k, и H не зависят от времени, приведенное выше уравнение можно легко интегрировать дважды, чтобы найти явную зависимость оператора положения от времени.

Первый:

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}+cp_{k}H^{-1}}$,

и наконец

${\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)\left(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}-1\right)}$.

Результирующее выражение состоит из начального положения, движения, пропорционального времени, и члена колебаний с амплитудой, равной длине волны Комптона . Этот период колебаний называется zitterbewegung.

Интерпретация [ править ]

В квантовой механике термин zitterbewegung исчезает при принятии значений математического ожидания для волновых пакетов, которые полностью состоят из волн положительной (или полностью отрицательной) энергии. Стандартная релятивистская скорость может быть восстановлена ​​с помощью преобразования Фолди – Ваутхойзена , когда положительные и отрицательные компоненты разделены. Таким образом, мы приходим к интерпретации zitterbewegung как результат интерференции между волновыми компонентами положительной и отрицательной энергии.

В квантовой электродинамике состояния с отрицательной энергией заменяются состояниями позитронов , а дрожание понимается как результат взаимодействия электрона со спонтанно образующимися и аннигилирующими электрон-позитронными парами . ^[3]

Экспериментальное моделирование [ править ]

Zitterbewegung свободной релятивистской частицы никогда не наблюдалось напрямую, хотя есть веские доказательства в пользу его существования. ^[4] Это также дважды моделировалось в модельных системах, которые представляют собой аналоги релятивистского явления в конденсированных средах. Первый пример, в 2010 году, поместил захваченный ион в такую ​​среду, что нерелятивистское уравнение Шредингера для иона имело ту же математическую форму, что и уравнение Дирака (хотя физическая ситуация иная). ^{[5] [6]} Затем, в 2013 году, это было смоделировано на установке с конденсатами Бозе – Эйнштейна . ^[7]

Другие предложения для аналогов конденсированных сред включают полупроводниковые наноструктуры, графен и топологические изоляторы . ^{[8] [9] [10] [11]}

См. Также [ править ]

• Эффект Казимира
• Баранина сдвиг

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Шредингер, Э. (1930). Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik [ О свободном движении в релятивистской квантовой механике ] (на немецком языке). С. 418–428. OCLC  881393652 .
• Шредингер, Э. (1931). Zur Quantendynamik des Elektrons [ Квантовая динамика электрона ] (на немецком языке). С. 63–72.
• Мессия, А. (1962). «XX, Раздел 37» (pdf) . Квантовая механика . II . С. 950–952. ISBN 9780471597681.

Внешние ссылки [ править ]

• Zitterbewegung в New Scientist
• Геометрическая алгебра в квантовой механике