Бесплатная частица

В физике , А свободная частица является частицей , что, в некотором смысле, не связан под действием внешней силы, или , что эквивалентно , не в области , где его потенциальная энергия изменяется. В классической физике это означает, что частица находится в "свободном от поля" пространстве. В квантовой механике это означает, что частица находится в области однородного потенциала, обычно равного нулю в интересующей области, поскольку потенциал может быть произвольно установлен на ноль в любой точке пространства.

Классическая свободная частица [ править ]

Классическая свободная частица характеризуется фиксированной скоростью v . Импульс задается

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = м \ mathbf {v}}$

а кинетическая энергия (равная полной энергии) на

${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}$

где m - масса частицы, а v - векторная скорость частицы.

Квантовая свободная частица [ править ]

Распространение волн де Бройля в 1d - действительная часть комплексной амплитуды синего цвета, мнимая часть зеленого цвета. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета ) нахождения частицы в заданной точке x распределяется как форма волны, нет определенного положения частицы. По мере увеличения амплитуды выше нуля кривизна уменьшается, поэтому снова уменьшается, и наоборот - в результате возникает переменная амплитуда: волна. Вверху: плоская волна . Внизу: волновой пакет .

Математическое описание [ править ]

Свободная частица с массой в нерелятивистской квантовой механике описывается свободным уравнением Шредингера :${\ displaystyle m}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$

где ψ - волновая функция частицы в положении r и времени t . Решение для частицы с импульсом p или волновым вектором k на угловой частоте ω или энергии E дается комплексной плоской волной :

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$

с амплитудой A и ограничивается:

а) если частица имеет массу : (или эквивалент ). ${\displaystyle m}$${\displaystyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

б) если частица является безмассовой частицей: . ${\displaystyle \omega =kc}$

Спектр собственных значений бесконечно вырожден, поскольку каждому собственному значению E> 0 соответствует бесконечное число собственных функций, соответствующих различным направлениям . ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Отношения Де Бройля : применяются. Поскольку потенциальная энергия (заявлено, что она равна) нулю, полная энергия E равна кинетической энергии, которая имеет ту же форму, что и в классической физике: ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,\quad E=\hbar \omega }$

${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$

Что касается всех свободных или связанных квантовых частиц , применяются принципы неопределенности Гейзенберга . Понятно, что, поскольку плоская волна имеет определенный импульс (определенную энергию), вероятность определения местоположения частицы одинакова и ничтожна во всем пространстве. Другими словами, волновая функция не нормируется в евклидовом пространстве, эти стационарные состояния не могут соответствовать физическим реализуемым состояниям . ^[1]${\displaystyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Измерения и расчеты [ править ]

Интеграл от функции плотности вероятности

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}}$

где * обозначает комплексное сопряжение , по всему пространству - это вероятность найти частицу во всем пространстве, которая должна быть равна единице, если частица существует:

${\displaystyle \int _{\mathrm {all\,space} }|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1}$

Это условие нормировки волновой функции. Волновая функция не нормализуется для плоской волны, но предназначена для волнового пакета .

В пределе ħ → 0 положение и импульс частицы становятся известными точно.

Интерпретация волновой функции одной частицы со спином 0 в одном измерении. Показанные волновые функции являются непрерывными, конечными, однозначными и нормализованными. Непрозрачность цвета (%) частиц соответствует плотности вероятности (которая может измеряться в%) нахождения частицы в точках на оси x.

Разложение Фурье [ править ]

Волновая функция свободной частицы может быть представлена ​​суперпозицией собственных функций импульса с коэффициентами, заданными преобразованием Фурье исходной волновой функции: ^[2]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathrm {all\,{\textbf {k}}\,space} }{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}d^{3}\mathbf {k} }$

где интеграл ведется по всему k -пространству и (чтобы волновой пакет был решением уравнения Шредингера для свободной частицы). Вот значение волновой функции в момент времени 0 и преобразование Фурье . (Преобразование Фурье - это, по сути, волновая функция импульса волновой функции положения , но записанная как функция от, а не .)${\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}}}$${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

Среднее значение импульса p для комплексной плоской волны равно

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\left\langle \psi \left|-i\hbar \nabla \right|\psi \right\rangle =\hbar \mathbf {k} }$,

а для общего волнового пакета -

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\int _{\mathrm {all\,space} }\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-i\hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathrm {all\,{\textbf {k}}\,space} }\hbar \mathbf {k} |{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )|^{2}d^{3}\mathbf {k} }$.

Ожидаемое значение энергии E равно

${\displaystyle \langle E\rangle =\left\langle \psi \left|-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right|\psi \right\rangle =\int _{\mathrm {all\,space} }\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} }$.

Групповая скорость и фазовая скорость [ править ]

Фазовая скорость определяется как скорость , при которой плоская волна распространяется решение, а именно

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}={\frac {p}{2m}}}$.

Обратите внимание, что это не скорость классической частицы с импульсом ; скорее, это половина классической скорости.${\displaystyle {\frac {p}{2m}}}$${\displaystyle p}$

Между тем предположим, что исходная волновая функция - это волновой пакет , преобразование Фурье которого сосредоточено около определенного волнового вектора . Тогда групповая скорость плоской волны определяется как${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle v_{g}=\nabla \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}={\frac {\mathbf {p} }{m}}}$,

что согласуется с формулой для классической скорости частицы. Групповая скорость - это (приблизительная) скорость, с которой распространяется весь волновой пакет, а фазовая скорость - это скорость, с которой перемещаются отдельные пики в волновом пакете. ^[3] Рисунок иллюстрирует это явление, когда отдельные пики внутри волнового пакета распространяются со скоростью, вдвое меньшей скорости всего пакета.

Распространение волнового пакета [ править ]

Понятие групповой скорости основано на линейной аппроксимации дисперсионного соотношения вблизи определенного значения . ^[4] В этом приближении амплитуда волнового пакета движется со скоростью, равной групповой скорости, не меняя формы . Этот результат представляет собой приближение, которое не может уловить некоторые интересные аспекты эволюции свободной квантовой частицы. Примечательно, что ширина волнового пакета, измеренная по неопределенности положения, линейно растет во времени в течение больших времен. Это явление называется разбросом волнового пакета для свободной частицы.${\displaystyle \omega (k)}$${\displaystyle k}$

В частности, нетрудно вычислить точную формулу для неопределенности как функции времени, где - оператор положения. Работая в одном пространственном измерении для простоты, мы имеем: ^[5]${\displaystyle \Delta _{\psi (t)}X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle (\Delta _{\psi (t)}X)^{2}={\frac {t^{2}}{m^{2}}}(\Delta _{\psi _{0}}P)^{2}+{\frac {2t}{m}}\left(\left\langle {\frac {XP+PX}{2}}\right\rangle _{\psi _{0}}-\left\langle X\right\rangle _{\psi _{0}}\left\langle P\right\rangle _{\psi _{0}}\right)+(\Delta _{\psi _{0}}X)^{2}}$,

где - волновая функция нулевого времени. Выражение в скобках во втором слагаемом справа - это квантовая ковариация и .${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

Таким образом, при больших положительных временах неопределенность в линейно растет с коэффициентом, равным . Если импульс начальной волновой функции сильно локализован, волновой пакет будет распространяться медленно, и приближение групповой скорости будет оставаться хорошим в течение длительного времени. Интуитивно этот результат говорит о том, что если исходная волновая функция имеет очень четко определенный импульс, то частица имеет четко определенную скорость и будет (в хорошем приближении) распространяться с этой скоростью в течение длительного времени.${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (\Delta _{\psi _{0}}P)/m}$${\displaystyle \psi _{0}}$

Релятивистская квантовая свободная частица [ править ]

Существует ряд уравнений, описывающих релятивистские частицы: см. Релятивистские волновые уравнения .

См. Также [ править ]

• Волновой пакет
• Групповая скорость
• Частица в коробке
• Конечная квадратная скважина
• Дельта-потенциал

Ссылки [ править ]

• Квантовая механика , Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0
• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание) , Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
• Стационарные состояния , A. Holden, College Physics Monographs (США), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3 
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Демистификация квантовой механики , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Элементарная квантовая механика , NF Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Я. Пелег, Р. Пнини, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (США), 1998, ISBN 007-0540187 

Конкретный

Дальнейшее чтение [ править ]

• Новая квантовая вселенная , Т. Хей, П. Уолтерс, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 . 
• Квантовая теория поля , Д. МакМэхон, Мак Гроу Хилл (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Я. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Schaum's Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN 978-007-145533-6