Плотность состояний

Физика конденсированного состояния
Фазы  · Фазовый переход  · QCP
состояния вещества Твердое  тело · Жидкость  · Газ  · Плазма  · Конденсат Бозе – Эйнштейна  · Бозе-газ  · Фермионный конденсат  · Ферми-газ  · Ферми-жидкость  · Сверхтвердое тело  · Сверхтекучесть  · Жидкость Латтинжера  · Временной кристалл
Фазовые явления Параметр заказа  · Фазовый переход  · QCP
Электронные фазы Электронная структура группы  · Плазменные  · Изолятор  · Мотта изолятор  · Полупроводниковый  · полуметалл  · Проводник  · сверхпроводник  · Термоэлектрический  · Пьезоэлектрический  · сегнетоэлектрических  · топологическая изолятор  · Спин бесщелевого полупроводника
Электронные явления Квантовый эффект Холла  · Спиновый эффект Холла  · Эффект Кондо
Магнитные фазы Диамагнетик  · Супердиамагнетик Парамагнетик  · Суперпарамагнетик Ферромагнетик  · Антиферромагнетик Метамагнетик  · Спиновое стекло
Квазичастицы Фонон  · Экситон  · Плазмон- поляритон  · Полярон  · Магнон
Мягкая материя Аморфное твердое тело  · Коллоид  · Гранулированный материал  · Жидкий кристалл  · Полимер
Ученые Ван дер Ваальс  · Оннес  · фон Лауэ  · Брэгг  · Дебай  · Блох  · Онсагер  · Мотт  · Пайерлс  · Ландау  · Латтинджер  · Андерсон  · Ван Флек  · Хаббард  · Шокли  · Бардин  · Купер  · Шриффер  · Джозефсон  · Луи Нил  · Эсаки  · Джавер  · Кон  · Каданов  · Фишер  · Уилсон  · фон Клитцинг  · Бинниг  · Рорер  · Беднорц  · Мюллер  · Лафлин  · Штёрмер  · Ян  · Цуй  · Абрикосов  · Гинзбург  · Леггетт
v т е

В физике твердого тела и физике конденсированных сред , то плотность состояний ( DOS ) системы характеризует долю государств, которые должны быть заняты системой при каждой энергии. Плотность состояний определяется как , где - число состояний в системе объема , энергии которых лежат в диапазоне . Математически он представлен как распределение с помощью функции плотности вероятности и обычно представляет собой среднее значение по пространственной и временной областях различных состояний, занимаемых системой. Плотность состояний напрямую связана с дисперсионными соотношениями${\ Displaystyle D (E) = N (E) / V}$${\ Displaystyle N (E) \ delta E}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle E + \ delta E}$свойств системы. Высокая DOS на определенном уровне энергии означает, что многие состояния доступны для занятия.

Обычно плотность состояний материи непрерывна. Однако в изолированных системах , таких как атомы или молекулы в газовой фазе, распределение плотности дискретно , как и спектральная плотность . Локальные вариации, чаще всего из-за искажений исходной системы, часто называют локальными плотностями состояний (LDOS).

Введение [ править ]

В квантово-механических системах волны или волнообразные частицы могут занимать моды или состояния с длинами волн и направлениями распространения, диктуемыми системой. Например, в некоторых системах межатомное расстояние и атомный заряд материала могут позволять существовать только электронам определенных длин волн. В других системах кристаллическая структура материала может позволить волнам распространяться в одном направлении, подавляя распространение волн в другом направлении. Часто разрешены только определенные состояния. Таким образом, может случиться так, что многие состояния доступны для заселения на определенном уровне энергии, в то время как состояния на других уровнях энергии недоступны.

Если посмотреть на плотность состояний электронов на краю зоны между валентной зоной и зоной проводимости в полупроводнике, то для электрона в зоне проводимости увеличение энергии электрона делает больше состояний доступными для заполнения. В качестве альтернативы, плотность состояний является прерывистой для определенного интервала энергии, что означает, что электроны не могут занять никаких состояний в запрещенной зоне материала. Это условие также означает, что электрон на краю зоны проводимости должен потерять, по крайней мере, ширину запрещенной зоны материала, чтобы перейти в другое состояние в валентной зоне.

Это определяет, является ли материал изолятором или металлом в размере распространения. Результат количества состояний в зоне также полезен для предсказания свойств проводимости. Например, в одномерной кристаллической структуре нечетное количество электронов на атом приводит к наполовину заполненной верхней полосе; на уровне Ферми есть свободные электроны, в результате чего получается металл. С другой стороны, четное количество электронов точно заполняет целое количество полос, оставляя остальные пустыми. Если тогда уровень Ферми находится в занятой запрещенной зоне между самым высоким заполненным состоянием и самым низким пустым состоянием, материал будет изолятором или полупроводником .

В зависимости от квантово-механической системы плотность состояний может быть рассчитана для электронов , фотонов или фононов и может быть задана как функция энергии или волнового вектора k . Для преобразования между DOS как функцией энергии и DOS как функцией волнового вектора необходимо знать системное соотношение дисперсии энергии между E и k .

В общем, топологические свойства системы, такие как зонная структура, имеют большое влияние на свойства плотности состояний. Наиболее известные системы, такие как нейтроний в нейтронных звездах и газы со свободными электронами в металлах (примеры вырожденного вещества и ферми-газа ), имеют трехмерную евклидову топологию . Менее знакомые системы, такие как двумерные электронные газы (2DEG) в графитовых слоях и система квантового эффекта Холла в устройствах типа MOSFET , имеют 2-мерную евклидову топологию. Еще менее известны углеродные нанотрубки ,квантовая проволока и жидкость Латтинжера с их одномерными топологиями. Системы с 1D и 2D топологией, вероятно, станут более распространенными, если будут развиваться разработки в области нанотехнологий и материаловедения .

Определение [ править ]

Плотность состояний, относящихся к объемным V и N счетным уровням энергии, определяется как:

${\ displaystyle D (E) = {\ frac {1} {V}} \, \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ delta (EE ({\ mathbf {k}} _ {i})) .}$

Поскольку наименьшее допустимое изменение импульса для частицы в ящике размеров и длины равно , объемная плотность состояний для непрерывных уровней энергии получается в пределе как${\ displaystyle k}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle (\ Delta k) ^ {d} = ({\ tfrac {2 \ pi} {L}}) ^ {d}}$${\ displaystyle L \ to \ infty}$

${\displaystyle D(E):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\cdot \delta (E-E(\mathbf {k} )),}$

Здесь - пространственная размерность рассматриваемой системы и волновой вектор.${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbf {k} }$

Для изотропных одномерных систем с параболической дисперсией энергии плотность состояний равна . В двух измерениях плотность состояний постоянна , а в трех измерениях становится .${\displaystyle D_{1D}(E)={\tfrac {1}{\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}}$${\displaystyle D_{2D}={\tfrac {m}{\pi \hbar ^{2}}}}$${\displaystyle D_{3D}(E)={\tfrac {m}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}}$

Эквивалентно, плотность состояний можно также понимать как производную микроканонической статистической суммы (то есть общего числа состояний с энергией меньше чем ) по энергии:${\displaystyle Z_{m}(E)}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}}$.

Число состояний с энергией (степенью вырождения) определяется как:${\displaystyle E'}$

${\displaystyle g\left(E'\right)=\lim _{\Delta E\to 0}\int _{E'}^{E'+\Delta E}D(E)\mathrm {d} E=\lim _{\Delta E\to 0}D\left(E'\right)\Delta E,}$

где последнее равенство применимо только тогда, когда справедлива теорема о среднем значении интегралов.

Симметрия [ править ]

Существует большое разнообразие систем и типов состояний, для которых могут выполняться вычисления DOS.

Некоторые системы конденсированного состояния обладают структурной симметрией в микроскопическом масштабе, которая может быть использована для упрощения расчета их плотностей состояний. В сферически-симметричных системах интегралы функций одномерны, поскольку все переменные в вычислении зависят только от радиального параметра дисперсионного соотношения. Жидкости , стекла и аморфные твердые тела являются примерами симметричной системы, дисперсионные соотношения которой имеют вращательную симметрию.

Измерения на порошках или поликристаллических образцах требуют оценки и вычисления функций и интегралов по всей области , чаще всего зоне Бриллюэна , дисперсионных соотношений интересующей системы. Иногда симметрия системы высока, что приводит к тому, что форма функций, описывающих дисперсионные соотношения системы, появляется многократно во всей области дисперсионного соотношения. В таких случаях усилия по вычислению DOS могут быть значительно уменьшены, если вычисление ограничено ограниченной зоной или фундаментальной областью . ^[1] Зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки (ГЦК) на рисунке справа имеет 48-кратную симметриюточечная группа O _h с полной октаэдрической симметрией . Эта конфигурация означает, что интегрирование по всей области зоны Бриллюэна может быть уменьшено до 48-й части всей зоны Бриллюэна. Как показывает периодическая таблица с кристаллической структурой , существует множество элементов с кристаллической структурой ГЦК, таких как алмаз , кремний и платина, а их зоны Бриллюэна и дисперсионные соотношения обладают 48-кратной симметрией. Две другие известные кристаллические структуры - это объемно-центрированная кубическая решетка (ОЦК) и гексагональные структуры с замкнутой упаковкой (ГПУ) с кубической и гексагональной решетками соответственно. Структура ОЦК имеет 24-кратную пиритоэдрическую симметрию.точечной группы T _h . Структура ГПУ обладает 12-кратной призматической двугранной симметрией точечной группы D _3h . Полный список свойств симметрии точечной группы можно найти в таблицах символов точечной группы .

В общем, легче вычислить DOS, когда симметрия системы выше, а количество топологических измерений дисперсионного соотношения меньше. DOS дисперсионных соотношений с вращательной симметрией часто можно рассчитать аналитически. Этот результат является удачным, поскольку многие материалы, представляющие практический интерес, такие как сталь и кремний, обладают высокой симметрией.

В анизотропных системах конденсированного состояния, таких как монокристалл соединения, плотность состояний может быть различной в одном кристаллографическом направлении, чем в другом. Это затрудняет визуализацию анизотропной плотности состояний и может потребовать таких методов, как вычисление DOS только для определенных точек или направлений или расчет прогнозируемой плотности состояний (PDOS) для конкретной ориентации кристалла.

k -пространственные топологии [ править ]

Плотность состояний зависит от размеров самого объекта. В системе, описываемой тремя ортогональными параметрами (3- мерное измерение), единицей измерения DOS является Энергия ^-1 Объем ^-1 , в двумерной системе единицами DOS является Энергия ^-1 Площадь ^-1 , в одномерной системе величина единиц DOS - Энергия ^-1 Длина ^-1 . Упомянутый объем - это объем k -пространства; пространство, ограниченное поверхностью постоянной энергии системы, полученной с помощью дисперсионного соотношения , связывающего E с k . Пример трехмерного k-пространство представлено на рис. 1. Видно, что размерность системы ограничивает импульс частиц внутри системы.

Плотность состояний волнового вектора (сфера) [ править ]

Расчет для DOS начинается с подсчета N разрешенных состояний при определенном k , которые содержатся в пределах [ k , k + dk ] внутри объема системы. Эта процедура выполняется путем дифференцирования всего объема k-пространства в n-мерном измерении при произвольном k относительно k . Объем, площадь или длина в 3, 2 или 1-мерных сферических k -пространствах выражаются как${\displaystyle \Omega _{n,k}}$

${\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}$

для n-мерного k- пространства с топологически определенными константами

${\displaystyle c_{1}=2,\ c_{2}=\pi ,\ c_{3}={\frac {4\pi }{3}}}$

для линейных, дисковых и сферических функций симметричной формы в 1, 2 и 3-мерном евклидовом k -пространстве соответственно.

Согласно этой схеме, плотность состояний волнового вектора N через дифференцирование по k выражается как${\displaystyle \Omega _{n,k}}$

${\displaystyle N_{n}(k)={\frac {{\rm {d}}\Omega _{n}(k)}{{\rm {d}}k}}=n\;c_{n}\;k^{n-1}}$

1, 2 и 3-мерная плотность состояний волнового вектора для линии, диска или сферы явно записывается как

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{1}(k)&=2\\N_{2}(k)&=2\pi k\\N_{3}(k)&=4\pi k^{2}\end{aligned}}}$

Одно состояние достаточно велико, чтобы содержать частицы с длиной волны λ. Длина волны связана с k через соотношение.

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

В квантовой системе длина λ будет зависеть от характерного расстояния системы L, удерживающей частицы. Наконец, плотность состояний N умножается на коэффициент , где s - постоянный коэффициент вырождения, который учитывает внутренние степени свободы из-за таких физических явлений, как спин или поляризация. Если такого явления нет, то . V _k - это объем в k-пространстве, волновые векторы которого меньше, чем минимально возможные волновые векторы, определяемые характерным расстоянием между системой.${\displaystyle s/V_{k}}$${\displaystyle s=1}$

Плотность энергетических состояний [ править ]

Чтобы завершить расчет для DOS, найдите количество состояний на единицу объема образца при энергии внутри интервала . Общий вид DOS системы представлен как${\displaystyle E}$${\displaystyle [E,E+dE]}$

${\displaystyle D_{n}\left(E\right)={\frac {{\rm {d}}\Omega _{n}(E)}{{\rm {d}}E}}}$

Схема, представленная до сих пор, применима только к монотонно возрастающим и сферически симметричным дисперсионным соотношениям. В общем случае дисперсионное соотношение не является сферически симметричным и во многих случаях не возрастает непрерывно. Чтобы выразить D как функцию Е на обратное дисперсионное соотношение должно быть подставлено в выражение как функции к , чтобы получить выражение${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle E(k)}$${\displaystyle \Omega _{n}(k)}$${\displaystyle \Omega _{n}(E)}$как функция энергии. Если дисперсионное соотношение не является сферически симметричным или непрерывно возрастающим и не может быть легко обращено, то в большинстве случаев DOS необходимо рассчитывать численно. Доступны более подробные выводы. ^{[2] [3]}

Дисперсионные отношения [ править ]

Закон дисперсии электронов в твердом теле задается электронной зонной структурой .

Кинетическая энергия частицы зависит от величины и направления волнового вектора к , свойства частицы и окружающей среды , в которой частица движется. Например, кинетическая энергия электрона в ферми-газе определяется выражением

${\displaystyle E=E_{0}+{\frac {\left(\hbar k\right)^{2}}{2m}}\ ,}$

где m - масса электрона . Дисперсионное соотношение представляет собой сферически-симметричную параболу, которая непрерывно возрастает, поэтому DOS можно легко вычислить.

Для продольных фононов в цепочке атомов дисперсионное соотношение кинетической энергии в одномерном k- пространстве, как показано на рисунке 2, определяется выражением

${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|}$

где - частота осциллятора, масса атомов, постоянная межатомной силы и межатомное расстояние. При малых значениях дисперсионное соотношение достаточно линейное:${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k_{\rm {F}}/m}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k_{\rm {F}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k\ll \pi /a}$

${\displaystyle E=\hbar \omega _{0}ka}$

Когда энергия${\displaystyle k\approx \pi /a}$

${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\cos \left({\frac {\pi -ka}{2}}\right)\right|}$

С преобразованием и малым это соотношение можно преобразовать к ${\displaystyle q=k-\pi /a}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left[1-\left({\frac {qa}{2}}\right)^{2}\right]}$

Изотропные дисперсионные соотношения [ править ]

Два упомянутых здесь примера могут быть выражены как

${\displaystyle E=E_{0}+c_{k}k^{p}}$

Это выражение является своего рода дисперсионным соотношением, поскольку оно связывает два волновых свойства, и оно изотропно, поскольку в выражении появляется только длина, а не направление волнового вектора. Величина волнового вектора связана с энергией как:

${\displaystyle k=\left({\frac {E-E_{0}}{c_{k}}}\right)^{\frac {1}{p}}\ ,}$

Соответственно, объем n-мерного k -пространства, содержащего волновые векторы меньше k, равен:

${\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}$

Подстановка изотропного энергетического соотношения дает объем занятых состояний

${\displaystyle \Omega _{n}(E)={\frac {c_{n}}{{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{\frac {n}{p}}\ ,}$

Дифференцирование этого объема по энергии дает выражение для плотности состояний изотропного дисперсионного соотношения

${\displaystyle D_{n}\left(E\right)={\frac {d}{dE}}\Omega _{n}(E)={\frac {nc_{n}}{p{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{{\frac {n}{p}}-1}}$

Параболическая дисперсия [ править ]

В случае параболического дисперсионного соотношения ( p = 2), например, применяемого к свободным электронам в ферми-газе, результирующая плотность состояний,, для электронов в n-мерных системах равна${\displaystyle D_{n}\left(E\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{\sqrt {c_{k}\left(E-E_{0}\right)}}}\\D_{2}\left(E\right)&={\frac {\pi }{c_{k}}}\\D_{3}\left(E\right)&=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\ .\end{aligned}}}$

для , с для .${\displaystyle E>E_{0}}$${\displaystyle D(E)=0}$${\displaystyle E<E_{0}}$

В 1-мерных системах DOS расходится в нижней части полосы по мере уменьшения до . В двумерных системах DOS оказывается независимым от . Наконец, для трехмерных систем DOS растет как квадратный корень из энергии. ^[4]${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E}$

С учетом префактора выражение для 3D DOS выглядит следующим образом:${\displaystyle s/V_{k}}$

${\displaystyle N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}}$,

где - полный объем, включающий 2-кратное вырождение спина.${\displaystyle V}$${\displaystyle N(E-E_{0})}$

Линейная дисперсия [ править ]

В случае линейной зависимости ( p = 1), например, применимой к фотонам , акустическим фононам или к некоторым специальным видам электронных зон в твердом теле, DOS в 1-, 2- и 3-мерных системах связана с энергией как :

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{c_{k}}}\\D_{2}\left(E\right)&={\frac {2\pi }{c_{k}^{2}}}\left(E-E_{0}\right)\\D_{3}\left(E\right)&={\frac {4\pi }{c_{k}^{3}}}\left(E-E_{0}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Функции распределения [ править ]

Плотность состояний играет важную роль в кинетической теории твердого тела . Произведение плотности состояний и функции распределения вероятностей - это количество занятых состояний в единице объема при заданной энергии для системы, находящейся в тепловом равновесии. Это значение широко используется для исследования различных физических свойств вещества. Ниже приведены примеры с использованием двух общих функций распределения того, как применение функции распределения к плотности состояний может привести к появлению физических свойств.

Рисунок 4:   Распределение вероятностей Ферми-Дирака,   плотность состояний, и   их продукт для полупроводника. Нижний зеленый лепесток отображает энергию дырки и, таким образом, используется в качестве функции распределения.${\displaystyle f(-x)}$

Статистика Ферми – Дирака. Функция распределения вероятностей Ферми – Дирака, рис. 4, используется для определения вероятности того, что фермион занимает определенное квантовое состояние в системе, находящейся в тепловом равновесии. Фермионы - это частицы, которые подчиняются принципу исключения Паули (например, электроны, протоны, нейтроны). Функцию распределения можно записать как

${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}}$.

${\displaystyle \mu }$- химический потенциал (также обозначаемый E _F и называемый уровнем Ферми, когда T = 0), - постоянная Больцмана и - температура. На рис. 4 показано, как произведение функции распределения Ферми-Дирака и трехмерной плотности состояний полупроводника может дать представление о физических свойствах, таких как концентрация носителей заряда и энергетическая запрещенная зона.${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$${\displaystyle T}$

Статистика Бозе – Эйнштейна: функция распределения вероятностей Бозе – Эйнштейна используется для определения вероятности того, что бозон занимает определенное квантовое состояние в системе, находящейся в тепловом равновесии. Бозоны - это частицы, которые не подчиняются принципу исключения Паули (например, фононы и фотоны). Функцию распределения можно записать как

${\displaystyle f_{\mathrm {BE} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}}$

Из этих двух распределений можно рассчитать такие свойства, как внутренняя энергия , количество частиц , удельная теплоемкость и теплопроводность . Связь между этими свойствами и произведением плотности состояний и распределением вероятностей, обозначающим плотность состояний с помощью вместо , определяется выражением${\displaystyle U}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle g(E)}$${\displaystyle D(E)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int E\,f(E)\,g(E)\,{\rm {d}}E\\N&=\int f(E)\,g(E)\,{\rm {d}}E\\C&={\frac {\partial }{\partial T}}\int E\,f(E)\,g(E)\,{\rm {d}}E\\k&={\frac {1}{d}}{\frac {\partial }{\partial T}}\int Ef(E)\,g(E)\,\nu (E)\,\Lambda (E)\,{\rm {d}}E\end{aligned}}}$

${\displaystyle d}$- размерность, - скорость звука и - длина свободного пробега .${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \Lambda }$

Приложения [ править ]

Плотность состояний появляется во многих областях физики и помогает объяснить ряд квантово-механических явлений.

Квантование [ править ]

Расчет плотности состояний для небольших структур показывает, что распределение электронов изменяется с уменьшением размерности. Для квантовых проводов DOS для определенных энергий фактически становится выше, чем DOS для объемных полупроводников, а для квантовых точек электроны квантуются до определенных энергий.

Фотонные кристаллы [ править ]

Плотностью состояний фотонов можно управлять, используя периодические структуры с масштабами длины порядка длины волны света. Некоторые структуры могут полностью препятствовать распространению света определенных цветов (энергий), создавая фотонную запрещенную зону: плотность состояний равна нулю для этих энергий фотонов. Другие структуры могут препятствовать распространению света только в определенных направлениях, создавая зеркала, волноводы и полости. Такие периодические структуры известны как фотонные кристаллы . ^{[5] [6] [7] [8]} В наноструктурированных средах концепция локальной плотности состояний (LDOS) часто более актуальна, чем концепция DOS, поскольку DOS значительно варьируется от точки к точке.

Вычислительный расчет [ править ]

Интересные системы в целом являются сложными, например соединения, биомолекулы, полимеры и т. Д. Из-за сложности этих систем аналитический расчет плотности состояний в большинстве случаев невозможен. Компьютерное моделирование предлагает набор алгоритмов для оценки плотности состояний с высокой точностью. Один из этих алгоритмов называется алгоритмом Ванга и Ландау . ^[9]

В рамках схемы Ванга и Ландау требуется любое предварительное знание плотности состояний. Действуют следующим образом: функция стоимости (например, энергия) системы дискретизируется. Каждый раз, когда достигается ячейка i, гистограмма плотности состояний обновляется на${\displaystyle g(i)}$

${\displaystyle g(i)\rightarrow g(i)+f}$

где f называется коэффициентом модификации. Как только каждый интервал в гистограмме посещается определенное количество раз (10-15), коэффициент модификации уменьшается на некоторый критерий, например,

${\displaystyle f_{n+1}\rightarrow {\frac {1}{2}}f_{n}}$

где n обозначает n-й шаг обновления. Моделирование завершается, когда, например, коэффициент модификации меньше определенного порога .${\displaystyle f_{n}<10^{-8}}$

Алгоритм Ванга и Ландау имеет некоторые преимущества перед другими распространенными алгоритмами, такими как многоканонное моделирование и параллельное темперирование . Например, плотность состояний получается как основной продукт моделирования. Кроме того, моделирование Ванга и Ландау полностью не зависит от температуры. Эта функция позволяет вычислять плотность состояний систем с очень грубым энергетическим ландшафтом, таких как белки. ^[10]

Математически плотность состояний формулируется в виде башни покрывающих карт. ^[11]

Локальная плотность состояний [ править ]

Важной особенностью определения DOS является то, что его можно распространить на любую систему. Одним из его свойств является трансляционная неизменность, что означает, что плотность состояний однородна и одинакова в каждой точке системы. Но это всего лишь частный случай, и LDOS дает более широкое описание с неоднородной плотностью состояний через систему.

Концепция [ править ]

Локальная плотность состояний (LDOS) описывает плотность состояний с пространственным разрешением. В материаловедении, например, этот термин полезен при интерпретации данных, полученных со сканирующего туннельного микроскопа (СТМ), поскольку этот метод позволяет отображать электронные плотности состояний с атомным разрешением. В зависимости от кристаллической структуры это количество может быть предсказано вычислительными методами, например, с помощью теории функционала плотности .

Общее определение [ править ]

В локальной плотности состояний вклад каждого состояния взвешивается плотностью его волновой функции в точке. становится${\displaystyle N(E)}$${\displaystyle n(E,x)}$

${\displaystyle n(E,x)=\sum _{n}|\phi _{n}(x)|^{2}\delta (E-\varepsilon _{n})}$

коэффициент означает, что каждое государство вносит больший вклад в регионах с высокой плотностью. Среднее значение этого выражения восстановит обычную формулу для DOS. LDOS полезен в неоднородных системах, где содержится больше информации, чем одна.${\displaystyle |\phi _{n}(x)|^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n(E,x)}$${\displaystyle n(E)}$

Для одномерной системы со стенкой синусоидальные волны дают

${\displaystyle n_{1D}(E,x)={\frac {2}{\pi \hbar }}{\sqrt {\frac {2m}{E}}}\sin ^{2}{kx}}$

где .${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$

В трехмерной системе с выражением${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle n_{3D}(E,x)=\left(1-{\frac {\sin {2kx}}{2kx}}\right)n_{3D}(E)}$

Фактически, мы можем обобщить локальную плотность состояний дальше на

${\displaystyle n(E,x,x')=\sum _{n}\phi _{n}(x)\phi _{n}^{*}(x')\delta (E-\varepsilon _{n})}$

это называется спектральной функцией, и это функция, в которой каждая волновая функция отдельно находится в своей переменной. В более продвинутой теории он связан с функциями Грина и дает компактное представление некоторых результатов, таких как оптическое поглощение .

Твердотельные устройства [ править ]

LDOS можно использовать для получения прибыли в твердотельном устройстве. Например, рисунок справа иллюстрирует LDOS транзистора при его включении и выключении в баллистической симуляции. LDOS имеет четкую границу между истоком и стоком, что соответствует положению края полосы. В канале DOS увеличивается по мере увеличения напряжения затвора и снижения потенциального барьера.

Оптика и фотоника [ править ]

В оптике и фотонике понятие локальной плотности состояний относится к состояниям, которые могут быть заняты фотоном. Свет обычно измеряется флуоресцентными методами, методами сканирования ближнего поля или катодолюминесцентными методами. Для разных фотонных структур LDOS имеют разное поведение и по-разному контролируют спонтанное излучение. В фотонных кристаллах ожидаются близкие к нулю LDOS, которые вызывают подавление спонтанного излучения. ^[12] LDOS все еще находятся в фотонных кристаллах, но теперь они находятся в полости. В этом случае LDOS может быть значительно увеличен, и они пропорциональны усилению Парселла спонтанного излучения. ^{[13] [14]}Подобное усиление LDOS также ожидается в плазмонной полости. ^[15] Однако в неупорядоченных фотонных наноструктурах LDOS ведут себя иначе. Они колеблются в пространстве, их статистика пропорциональна силе рассеяния структур. ^[16] Кроме того, взаимосвязь со средней длиной свободного пробега рассеяния тривиальна, поскольку на LDOS все еще могут сильно влиять краткие детали сильных нарушений в форме сильного усиления Парселла излучения. ^[17] и, наконец, для плазмонного беспорядка этот эффект намного сильнее для флуктуаций LDOS, поскольку его можно наблюдать как сильную локализацию в ближнем поле. ^[18]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Чен, банда. Наномасштабный перенос энергии и преобразование. Нью-Йорк: Оксфорд, 2005 г.
• Уличный человек, Бен Г. и Санджай Банерджи. Твердотельные электронные устройства. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall, 2000.
• Мюллер, Ричард С. и Теодор И. Каминс. Приборная электроника для интегральных схем. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья, 2003.
• Киттель, Чарльз и Герберт Кремер. Теплофизика. Нью-Йорк: WH Freeman and Company, 1980.
• Зе, Саймон М. Физика полупроводниковых приборов. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, 1981

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-лекция: ECE 606 Лекция 8: Плотность состояний М. Алама
• Ученые пролили свет на светящиеся материалы Как измерить фотонный LDOS