В математике (в частности, функциональном анализе ) свертка - это математическая операция над двумя функциями ( f и g ), которая производит третью функцию ( ), которая выражает, как форма одной изменяется другой. Термин свертка относится как к функции результата, так и к процессу ее вычисления. Он определяется как интеграл произведения двух функций после того, как одна была обращена и сдвинута. Интеграл вычисляется для всех значений сдвига, получая функцию свертки.
Некоторые особенности свертки аналогичны взаимной корреляции : для действительных функций непрерывной или дискретной переменной она отличается от взаимной корреляции ( ) только тем, что либо f ( x ), либо g ( x ) отражается относительно y -ось; таким образом, это взаимная корреляция f ( x ) и g (- x ) или f (- x ) и g ( x ) . [A] Для комплекснозначных функций оператор взаимной корреляции является сопряженным оператора свертки.
Свертка имеет приложения, которые включают вероятность , статистику , акустику , спектроскопию , обработку сигналов и изображений , машиностроение , физику , компьютерное зрение и дифференциальные уравнения . [1]
Свертка может быть определена для функций в евклидовом пространстве и других группах . [ необходимая цитата ] Например, периодические функции , такие как преобразование Фурье с дискретным временем , могут быть определены на окружности и свернуты с помощью периодической свертки . (См. Строку 18 в DTFT § Свойства .) Дискретная свертка может быть определена для функций на множестве целых чисел .
Обобщения свертки находят применения в области численного анализа и численной линейной алгебры , а также при разработке и реализации фильтров с конечной импульсной характеристикой при обработке сигналов. [ необходима цитата ]
Вычисление обратной свертки называется деконволюцией .
Определение [ править ]
Свертка f и g обозначается как f ∗ g , что означает оператор с символом ∗ . [B] Он определяется как интеграл произведения двух функций после обращения и сдвига одной. По сути, это особый вид интегрального преобразования :
Эквивалентное определение (см. Коммутативность ):
Хотя символ t используется выше, он не обязательно должен представлять временную область. Но в этом контексте формулу свертки можно описать как средневзвешенное значение функции f ( τ ) в момент t, когда вес задается как g (- τ ), просто сдвинутым на величину t . При изменении t весовая функция выделяет различные части входной функции.
Для функций f , g, поддерживаемых только на [0, ∞) (т. Е. Ноль для отрицательных аргументов), пределы интегрирования могут быть усечены, что приведет к:
Для многомерной формулировки свертки см. Область определения (ниже).
Обозначение [ править ]
Общепринятое соглашение о технических обозначениях: [2]
который следует толковать осторожно, чтобы избежать путаницы. Например, f ( t ) ∗ g ( t - t 0 ) эквивалентно ( f ∗ g ) ( t - t 0 ) , но f ( t - t 0 ) ∗ g ( t - t 0 ) фактически эквивалентно к ( f ∗ g ) ( t - 2 t 0 ) . [3]
Производные [ править ]
Свертка описывает выходные данные (в терминах входных данных) важного класса операций, известных как линейные инвариантные во времени (LTI). См. Теорию систем LTI для вывода свертки в результате ограничений LTI. Что касается преобразований Фурье входа и выхода операции LTI, новые частотные компоненты не создаются. Существующие только модифицируются (амплитуда и / или фаза). Другими словами, выходное преобразование - это точечное произведение входного преобразования на третье преобразование (известное как передаточная функция ). См. Теорему о сверткедля вывода этого свойства свертки. И наоборот, свертка может быть получена как обратное преобразование Фурье поточечного произведения двух преобразований Фурье.
Визуальное объяснение [ править ]
Визуальные объяснения свертки | |
---|---|
| |
| |
|
Исторические события [ править ]
Одно из первых применений интеграла свертки появилось при выводе Даламбером теоремы Тейлора в книге «Recherches sur différents points importants du système du monde», опубликованной в 1754 году [4].
Также выражение типа:
используется Сильвестром Франсуа Лакруа на странице 505 его книги « Трактат о различиях и сериях» , которая является последним из трех томов энциклопедической серии: Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral , Chez Courcier, Paris, 1797–1800. [5] Вскоре после этого операции свертки появляются в работах Пьера Симона Лапласа , Жан-Батиста Жозефа Фурье , Симеона Дени Пуассона и других. Сам термин не получил широкого распространения до 1950-х или 60-х годов. До этого его иногда называли Faltung (что в переводе с немецкого означает складной ), составной продукт., Суперпозиция интеграл и интеграл Карсона . [6] Тем не менее, он появился еще в 1903 году, хотя определение довольно незнакомо для более старых применений. [7] [8]
Операция:
является частным случаем композиционных произведений, рассмотренным итальянским математиком Вито Вольтеррой в 1913 году [9].
Круговая свертка [ править ]
Когда функция g T является периодической с периодом T , то для функций f , таких, что f ∗ g T существует, свертка также периодична и идентична:
где t 0 - произвольный выбор. Суммирование называется периодическим суммированием функции f .
Когда g T является периодическим суммированием другой функции g , тогда f ∗ g T называется круговой или циклической сверткой f и g .
И если периодическое суммирование выше заменяются е Т , операция называется периодической сверткой х Т и г Т .
Дискретная свертка [ править ]
Для комплекснозначных функций F , г , определенной на множестве Z целых чисел, то дискретная свертка из е и г определяется по формуле: [10]
или эквивалентно (см. коммутативность ):
Свертка двух конечных последовательностей определяется расширением последовательностей до функций с конечным носителем на множестве целых чисел. Когда последовательности являются коэффициентами двух многочленов , тогда коэффициенты обычного произведения двух многочленов представляют собой свертку исходных двух последовательностей. Это известно как произведение Коши коэффициентов последовательностей.
Таким образом, когда g имеет конечный носитель в наборе (представляющий, например, конечный импульсный отклик ), можно использовать конечное суммирование: [11]
Круговая дискретная свертка [ править ]
Когда функция g N является периодической с периодом N , то для функций f , таких, что f ∗ g N существует, свертка также периодична и идентична:
Суммирование по k называется периодическим суммированием функции f .
Если г N представляет собой периодическое суммирование другой функции, г , то е * г N известен как круговая свертку из е и г .
Когда ненулевые длительности как f, так и g ограничены интервалом [0, N −1] , f ∗ g N сводится к этим общим формам:
( Уравнение 1 )
Обозначение ( F * N г ) для циклической свертки означает свертку по циклической группе из целых чисел по модулю N .
Круговая свертка возникает чаще всего в контексте быстрой свертки с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Алгоритмы быстрой свертки [ править ]
Во многих ситуациях дискретные свертки можно преобразовать в циклические свертки, чтобы можно было использовать быстрые преобразования со свойством свертки для реализации вычислений. Например, свертка последовательностей цифр - это операция ядра при умножении многозначных чисел, которая, следовательно, может быть эффективно реализована с помощью методов преобразования ( Knuth 1997 , §4.3.3.C; von zur Gathen & Gerhard 2003 , §8.2).
Уравнение 1 требует N арифметических операций для каждого выходного значения и N 2 операций для N выходов. Это можно значительно уменьшить с помощью любого из нескольких быстрых алгоритмов. Цифровая обработка сигналов и другие приложения обычно используют алгоритмы быстрой свертки, чтобы снизить стоимость свертки досложностиO ( N log N ).
Наиболее распространенные алгоритмы быстрой свертки используют алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ) с помощью теоремы круговой свертки . В частности, циклическая свертка двух последовательностей конечной длины находится путем выполнения БПФ каждой последовательности, поточечного умножения и последующего обратного БПФ. Свертки типа, определенного выше, затем эффективно реализуются с использованием этого метода в сочетании с нулевым расширением и / или отбрасыванием частей вывода. Другие алгоритмы быстрой свертки, такие как алгоритм Шёнхаге – Штрассена или преобразование Мерсенна [12], используют быстрые преобразования Фурье в других кольцах .
Если одна последовательность намного длиннее другой, нулевое расширение более короткой последовательности и быстрая циклическая свертка не являются наиболее эффективным с вычислительной точки зрения доступным методом. [13] Вместо это разложение больше последовательности на блоки и каждый блок сверток позволяет быстрее алгоритмы , такие как Перекрытие-метод сохранению и сложение с перекрытием метода . [14] Гибридный метод свертки, сочетающий блочные и FIR- алгоритмы, обеспечивает нулевую задержку ввода-вывода, что полезно для вычислений свертки в реальном времени. [15]
Область определения [ править ]
Свертка двух комплексных функций на R d сама по себе является комплексной функцией на R d , определяемой следующим образом:
и хорошо определен только в том случае, если f и g убывают на бесконечности достаточно быстро, чтобы существовал интеграл. Условия существования свертки могут быть сложными, так как раздутие g на бесконечности может быть легко компенсировано достаточно быстрым убыванием f . Таким образом, вопрос о существовании может включать разные условия на f и g :
Компактно поддерживаемые функции [ править ]
Если f и g - непрерывные функции с компактным носителем , то их свертка существует, а также непрерывна и имеет компактный носитель ( Hörmander 1983 , глава 1). В более общем смысле, если одна функция (скажем, f ) имеет компактный носитель, а другая локально интегрируема , то свертка f ∗ g корректно определена и непрерывна.
Свертка f и g также хорошо определена, когда обе функции локально интегрируемы с квадратом на R и имеют носитель на интервале вида [ a , + ∞) (или обе функции поддерживаются на [−∞, a ] ).
Интегрируемые функции [ править ]
Свертка f и g существует, если обе функции f и g являются интегрируемыми по Лебегу функциями в L 1 ( R d ) , и в этом случае f ∗ g также интегрируем ( Stein & Weiss 1971 , теорема 1.3). Это следствие теоремы Тонелли . Это также верно для функций из L 1 при дискретной свертке или, в более общем смысле, для свертки на любой группе .
Аналогично, если f ∈ L 1 ( R d ) и g ∈ L p ( R d ), где 1 ≤ p ≤ ∞ , то f ∗ g ∈ L p ( R d ) и
В частном случае p = 1 это показывает, что L 1 является банаховой алгеброй относительно свертки (и равенство двух сторон имеет место, если f и g неотрицательны почти всюду).
В более общем смысле неравенство Юнга означает, что свертка - это непрерывное билинейное отображение между подходящими пространствами L p . В частности, если 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ удовлетворяют:
тогда
так что свертка является непрерывным билинейным отображением из L p × L q в L r . Неравенство Юнга для свертки также верно в других контекстах (круговая группа, свертка на Z ). Предыдущее неравенство не является точным на вещественной прямой: когда 1 < p , q , r <∞ , существует постоянная B p , q <1 такая, что:
Оптимальное значение B p , q было обнаружено в 1975 году [16].
Более сильная оценка верна, если 1 < p , q , r <∞ :
где - слабая L q норма. Свертка также определяет билинейное непрерывное отображение для , благодаря слабому неравенству Юнга: [17]
Функции быстрого распада [ править ]
В дополнение к функциям с компактным носителем и интегрируемым функциям, функции, которые имеют достаточно быстрое затухание на бесконечности, также могут быть свернуты. Важная особенность свертки состоит в том, что если f и g быстро убывают, то f ∗ g также быстро убывает. В частности, если f и g - быстро убывающие функции , то свертка f ∗ g тоже . В сочетании с тем фактом, что свертка коммутирует с дифференцированием (см. # Свойства ), отсюда следует, что класс функций Шварца замкнут относительно свертки ( Stein & Weiss 1971, Теорема 3.3).
Распределения [ править ]
При некоторых обстоятельствах можно определить свертку функции с распределением или двух распределений. Если f - функция с компактным носителем, а g - распределение, то f ∗ g - гладкая функция, определяемая формулой распределения, аналогичной
В более общем смысле, можно расширить определение свертки уникальным способом, так что ассоциативный закон
остается в силе в случае, когда f - распределение, а g - распределение с компактным носителем ( Hörmander 1983 , §4.2).
Меры [ править ]
Свертка любых двух борелевских мер ц и ν из ограниченной вариации является мерой определяется ( Рудина 1 962 )
В частности,
где есть измеримое множество , и является функцией индикатора из .
Это согласуется со сверткой, определенной выше, когда μ и ν рассматриваются как распределения, а также со сверткой L 1 функций, когда μ и ν абсолютно непрерывны относительно меры Лебега.
Свертка мер также удовлетворяет следующей версии неравенства Юнга
где норма - это полная вариация меры. Поскольку пространство мер ограниченной вариации является банаховым пространством , свертку мер можно обрабатывать стандартными методами функционального анализа, которые могут не применяться для свертки распределений.
Свойства [ править ]
Алгебраические свойства [ править ]
Свертка определяет произведение на линейном пространстве интегрируемых функций. Это произведение удовлетворяет следующим алгебраическим свойствам, которые формально означают, что пространство интегрируемых функций с произведением, заданным сверткой, является коммутативной ассоциативной алгеброй без единицы ( Strichartz 1994 , §3.3). Другие линейные пространства функций, такие как пространство непрерывных функций с компактным носителем, замкнуты относительно свертки и, таким образом, также образуют коммутативные ассоциативные алгебры.
- Коммутативность
Доказательство: по определению.
Далее следует изменение переменной интегрирования к результату.
- Ассоциативность
Доказательство: это следует из использования теоремы Фубини (т. Е. Двойные интегралы могут быть вычислены как повторные интегралы в любом порядке).
- Распределительность
Доказательство. Это следует из линейности интеграла.
- Ассоциативность со скалярным умножением
для любого действительного (или комплексного) числа .
- Мультипликативная идентичность
Никакая алгебра функций не обладает тождеством для свертки. Отсутствие идентичности обычно не является серьезным неудобством, поскольку большинство наборов функций, для которых выполняется свертка, могут быть свернуты с помощью дельта-распределения или, по крайней мере (как в случае L 1 ), допускают приближения к идентичности . Однако линейное пространство распределений с компактным носителем допускает тождество при свертке. Конкретно,
где δ - дельта-распределение.
- Обратный элемент
Некоторые распределения S имеют обратный элемент S −1 для свертки, который тогда должен удовлетворять
из которого может быть получена явная формула для S −1 . Множество обратимых распределений при свертке образует абелеву группу .
- Комплексное сопряжение
- Связь с дифференциацией
Доказательство:
- Отношения с интеграцией
- Если и тогда
Интеграция [ править ]
Если f и g - интегрируемые функции, то интеграл от их свертки на всем пространстве просто получается как произведение их интегралов:
Это следует из теоремы Фубини . Тот же самый результат верен, если f и g только предполагаются неотрицательными измеримыми функциями по теореме Тонелли .
Дифференциация [ править ]
В случае одной переменной
где d / dx - производная . В более общем плане, в случае функций нескольких переменных, аналогичная формула верна с частной производной :
Частным следствием этого является то, что свертку можно рассматривать как «сглаживающую» операцию: свертка f и g дифференцируема столько раз, сколько f и g в сумме.
Эти тождества выполняются при точном условии, что f и g абсолютно интегрируемы и по крайней мере один из них имеет абсолютно интегрируемую (L 1 ) слабую производную как следствие неравенства свертки Юнга . Например, когда f непрерывно дифференцируема с компактным носителем, а g - произвольная локально интегрируемая функция,
Эти тождества также имеют более широкое значение в смысле умеренных распределений, если одно из f или g является быстро убывающим умеренным распределением , умеренным распределением с компактным носителем или функцией Шварца, а другое - умеренным распределением. С другой стороны, две положительно интегрируемые и бесконечно дифференцируемые функции могут иметь нигде не непрерывную свертку.
В дискретном случае оператор разности D f ( n ) = f ( n + 1) - f ( n ) удовлетворяет аналогичному соотношению:
Теорема свертки [ править ]
Теорема о свертке утверждает, что
где обозначает преобразование Фурье от и является константой , которая зависит от конкретной нормализации преобразования Фурье. Версии этой теоремы также верны для преобразования Лапласа , двустороннего преобразования Лапласа , Z-преобразования и преобразования Меллина .
См. Также менее тривиальную теорему Титчмарша о свертке .
С другой стороны, если - матрица преобразования Фурье , то
,
где - произведение расщепления граней , [18] [19] [20] [21] [22] обозначает произведение Кронекера , обозначает произведение Адамара (этот результат является развитием свойств счетного скетча [23] ).
Трансляционная эквивалентность [ править ]
Свертка коммутирует с переводами, что означает, что
где τ x f - перенос функции f на x, определяемый формулой
Если f - функция Шварца , то τ x f - свертка со сдвинутой дельта-функцией Дирака τ x f = f ∗ τ x δ . Таким образом, трансляционная инвариантность свертки функций Шварца является следствием ассоциативности свертки.
Кроме того, при определенных условиях свертка является наиболее общей операцией, инвариантной к трансляции. Неформально говоря, имеет место следующее
- Предположим, что S - ограниченный линейный оператор, действующий на функции, коммутирующий со сдвигами: S ( τ x f ) = τ x ( Sf ) для всех x . Тогда S задается в виде свертки с функцией (или распределением) g S ; то есть Sf = g S ∗ f .
Таким образом, некоторые операции, инвариантные к трансляции, можно представить в виде свертки. Свертки играют важную роль в изучении систем , не зависящих от времени , и особенно теории систем LTI . Функция , представляющий г S является импульсной характеристикой преобразования S .
Более точная версия процитированной выше теоремы требует указания класса функций, на которых определена свертка, а также требует дополнительно предположить, что S должен быть непрерывным линейным оператором относительно соответствующей топологии . Известно, например, что каждый непрерывный инвариантный относительно сдвига линейный непрерывный оператор на L 1 является сверткой с конечной борелевской мерой . В более общем смысле, любой непрерывный инвариантный относительно сдвига линейный непрерывный оператор на L p для 1 ≤ p <∞ является сверткой с умеренным распределением , преобразование Фурье которойограничен. А именно, все они задаются ограниченными множителями Фурье .
Свертки по группам [ править ]
Если G - подходящая группа, наделенная мерой λ, и если f и g - действительные или комплекснозначные интегрируемые функции на G , то мы можем определить их свертку следующим образом:
В общем, он не коммутативен. В типичных интересующих нас случаях G - локально компактная топологическая группа Хаусдорфа, а λ - (левая) мера Хаара . В этом случае, если G не является унимодулярным , определенная таким образом свертка не будет такой же, как . Предпочтение одного перед другим сделано так, что свертка с фиксированной функцией g коммутирует с левым переносом в группе:
Кроме того, соглашение также требуется для согласования с определением свертки мер, приведенным ниже. Однако с правой вместо левой меры Хаара последний интеграл предпочтительнее первого.
На локально компактных абелевых группах верна версия теоремы о свертке : преобразование Фурье свертки является поточечным произведением преобразований Фурье. Группа окружностей T с мерой Лебега является непосредственным примером. Для фиксированного g в L 1 ( T ) мы имеем следующий знакомый оператор, действующий в гильбертовом пространстве L 2 ( T ):
Оператор Т является компактным . Непосредственный расчет показывает, что сопряженный к нему T * является сверткой с
По свойству коммутативности упомянутых выше, Т является нормальным : Т * Т = ТТ *. Кроме того, T коммутирует с операторами трансляции. Рассмотрим семейство операторов S, состоящее из всех таких сверток и операторов трансляции. Тогда S - коммутирующее семейство нормальных операторов. Согласно спектральной теории , существует ортогональный базис { ч K } , которые одновременно диагонализирует S . Это характеризует извилины на окружности. В частности, у нас есть
который в точности символов из T . Каждая свертка является оператором компактного умножения в этом базисе. Это можно рассматривать как версию обсуждаемой выше теоремы о свертке.
Дискретный пример - конечная циклическая группа порядка n . Операторы свертки здесь представлены циркулянтными матрицами и могут быть диагонализованы с помощью дискретного преобразования Фурье .
Аналогичный результат имеет место для компактных групп (не обязательно абелева): матричные коэффициенты конечномерных унитарных представлений образуют ортогональный базис в L 2 со стороны теоремы Питер-Вейля , и аналог свертки теорема продолжает удерживать, наряду со многими другие аспекты гармонического анализа , зависящие от преобразования Фурье.
Свертка мер [ править ]
Пусть G - топологическая группа (мультипликативно записанная). Если μ и ν - конечные борелевские меры на G , то их свертка μ ∗ ν определяется как прямая мера действия группы и может быть записана как
для каждого измеримого подмножества Е из G . Свертка также является конечной мерой, полная вариация которой удовлетворяет
В случае , когда G является локально компактным с (лево-) мера Хаара λ, μ и ν и являются абсолютно непрерывна относительно X, так , что каждый из них имеет функцию плотности , то свертка μ * ν также абсолютно непрерывна, и его функция плотности - это просто свертка двух отдельных функций плотности.
Если μ и ν являются вероятностными мерами на топологической группе ( R , +), то свертка μ ∗ ν является распределением вероятностей суммы X + Y двух независимых случайных величин X и Y, чьи соответствующие распределения - μ и ν.
Биалгебры [ править ]
Пусть ( X , ∆, ∇, ε , η ) - биалгебра с коумножением ∆, умножением ∇, единицей η и счетчиком ε . Свертка - это произведение, определенное на алгебре эндоморфизмов End ( X ) следующим образом. Пусть φ , ψ ∈ End ( X ), т.е. φ , ψ : X → X - функции, которые уважают всю алгебраическую структуру X , тогда свертка φ ∗ ψ определяется как композиция
Свертка особенно заметна в определении алгебр Хопфа ( Kassel 1995 , §III.3). Биалгебра является алгеброй Хопфа тогда и только тогда, когда у нее есть антипод: эндоморфизм S такой, что
Приложения [ править ]
Свертка и связанные с ней операции используются во многих приложениях в области науки, техники и математики.
- В обработке изображений
- В цифровой обработке изображений сверточная фильтрация играет важную роль во многих важных алгоритмах в обнаружении края и связанных с ним процессы.
- В оптике фотография не в фокусе - это свертка резкого изображения с функцией линзы. Фотографический термин для этого - боке .
- В приложениях для обработки изображений, таких как добавление размытия.
- В цифровой обработке данных
- В аналитической химии , Савицкий-Голея сглаживающие фильтры используются для анализа спектроскопических данных. Они могут улучшить соотношение сигнал / шум с минимальным искажением спектров.
- В статистике взвешенное скользящее среднее - это свертка.
- В акустике , реверберация является сверткой исходного звука с эхо - сигналов от объектов , окружающих источник звука.
- При цифровой обработке сигналов свертка используется для отображения импульсной характеристики реальной комнаты на цифровой аудиосигнал.
- В электронной музыке свертка - это наложение на звук спектральной или ритмической структуры. Часто эта оболочка или структура берется из другого звука. Свертка двух сигналов - это фильтрация одного через другой. [24]
- В электротехнике свертка одной функции ( входного сигнала ) со второй функцией (импульсный отклик) дает на выходе линейную инвариантную во времени систему (LTI). В любой данный момент выходные данные представляют собой совокупный эффект всех предшествующих значений входной функции, причем самые последние значения обычно имеют наибольшее влияние (выраженные в виде мультипликативного коэффициента). Функция импульсной характеристики обеспечивает этот коэффициент как функцию времени, прошедшего с момента появления каждого входного значения.
- В физике везде, где есть линейная система с « принципом суперпозиции », появляется операция свертки. Например, в спектроскопии уширение линии из-за эффекта Доплера само по себе дает гауссову форму спектральной линии, а только столкновительное уширение дает лоренцеву форму линии. Когда действуют оба эффекта, форма линии представляет собой свертку гауссиана и лоренцевой функции Фойгта .
- В флуоресцентной спектроскопии с временным разрешением сигнал возбуждения можно рассматривать как цепочку дельта-импульсов, а измеренная флуоресценция представляет собой сумму экспоненциального затухания каждого дельта-импульса.
- В вычислительной гидродинамики , то крупных вихрей (LES) модель турбулентности использует операцию свертки , чтобы понизить диапазон масштабов длины , необходимых при вычислении , тем самым снижая вычислительные затраты.
- В теории вероятностей , то распределение вероятности суммы двух независимых случайных величин является сверткой их индивидуальных распределений.
- При оценке плотности ядра распределение оценивается по точкам выборки путем свертки с ядром, таким как изотропный гауссиан. [25]
- В системах планирования лечения лучевой терапией большая часть всех современных кодов расчета использует алгоритм свертки-суперпозиции . [ требуется разъяснение ]
- В структурной надежности индекс надежности можно определить на основе теоремы о свертке.
- Определение показателя надежности для функций предельного состояния с ненормальными распределениями может быть установлено в соответствии с совместной функцией распределения . Фактически, совместная функция распределения может быть получена с помощью теории свертки. [26]
- Сверточные нейронные сети используют несколько ядер каскадной свертки с приложениями в области машинного зрения и искусственного интеллекта . Хотя на самом деле это скорее взаимные корреляции , чем свертки. [27]
- В гидродинамике сглаженных частиц моделирование динамики жидкости вычисляется с использованием частиц, каждая из которых имеет окружающие ядра. Для любой заданной частицы некоторая физическая величина вычисляется как свертка с весовой функцией, где обозначает соседей частицы : те, которые расположены внутри ее ядра. Свертка аппроксимируется как суммирование по каждому соседу. [28]
См. Также [ править ]
- Обработка аналогового сигнала
- Циркулянтная матрица
- Свертка для оптических откликов широкого луча в рассеивающих средах
- Мощность свертки
- Деконволюция
- Свертка Дирихле
- Обобщенное усреднение сигнала
- Ян Микусинский
- Список сверток вероятностных распределений
- Теория систем LTI # Импульсная характеристика и свертка
- Многомерная дискретная свертка
- Масштабированная корреляция
- Теорема Титчмарша о свертке
- Матрица Теплица (свертки можно рассматривать как матричную операцию Теплица, где каждая строка является сдвинутой копией ядра свертки)
Заметки [ править ]
- ^ Причины отражения включают:
- Необходимо реализовать эквивалент поточечного произведения преобразований Фурье функций f и g .
- Когда свертка рассматривается как скользящее средневзвешенное значение , весовая функция g (- x ) часто определяется в терминах другой функции, g ( x ) , называемой импульсной характеристикой линейной системы, не зависящей от времени .
- ^ Символ U + 2217 ∗ ASTERISK OPERATOR отличается от символа U + 002A * ASTERISK , который часто используется для обозначения комплексного сопряжения. См. Раздел « Звездочка» § Математическая типографика .
Ссылки [ править ]
- ^ https://core.ac.uk/download/pdf/25493611.pdf
- ^ Смит, Стивен W (1997). «13.Свертка» . Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов (1-е изд.). Калифорнийское техническое издательство. ISBN 0-9660176-3-3. Проверено 22 апреля 2016 года .
- ^ Ирвин, Дж. Дэвид (1997). «4.3». Справочник по промышленной электронике (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 75. ISBN 0-8493-8343-9.
- ↑ Домингес-Торрес, стр. 2
- ↑ Домингес-Торрес, стр. 4
- ↑ RN Bracewell (2005), «Ранние работы по теории построения изображений в радиоастрономии» , в WT Sullivan (ed.), The Early Years of Radio Astronomy: Reflections Fifty Years After Jansky's Discovery , Cambridge University Press, p. 172, ISBN 978-0-521-61602-7
- ^ Джон Хилтон Грейс и Альфред Янг (1903), Алгебра инвариантов , Cambridge University Press, стр. 40
- ^ Леонард Юджин Диксон (1914), Алгебраические инварианты , Дж. Вили, стр. 85
- ↑ Согласно [Лотар фон Вольферсдорф (2000), «Einige Klassen quadratischer Integralgleichungen», Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig , Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse , том 128–12 , том 6, Volra number 2, v. 1913), "Leçons sur les fonctions de linges". Готье-Виллар, Париж, 1913 год.
- ^ Damelin & Miller 2011 , стр. 219
- ^ Press, Уильям Х .; Фланнери, Брайан П .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т. (1989). Числовые рецепты на Паскале . Издательство Кембриджского университета. п. 450 . ISBN 0-521-37516-9.
- ^ Рейдер, CM (декабрь 1972 г.). «Дискретные свертки через преобразования Мерсенна». Транзакции IEEE на компьютерах . 21 (12): 1269–1273. DOI : 10.1109 / TC.1972.223497 .
- ^ Селезник, Иван В .; Буррус, К. Сидней (1999). «Быстрая свертка и фильтрация». В Мадисетти, Виджай К. (ред.). Справочник по цифровой обработке сигналов . CRC Press. п. Раздел 8. ISBN. 978-1-4200-4563-5.
- ^ Хуанг, Б. Х. «Лекция 21: блочная свертка» (PDF) . EECS в Технологическом институте Джорджии . Проверено 17 мая 2013 года .
- ↑ Гарднер, Уильям Г. (ноябрь 1994 г.). «Эффективная свертка без задержки ввода / вывода» (PDF) . Конвенция Общества звукорежиссеров 97 . Документ 3897 . Проверено 17 мая 2013 года .
- ^ Бекнер, Уильям (1975), "Неравенства в анализе Фурье", Ann. математики. (2) 102 : 159–182. Независимо, Браскамп, Херм Дж. И Либ, Эллиотт Х. (1976), «Лучшие константы в неравенстве Юнга, его обратное и его обобщение на более чем три функции», Advances in Math. 20 : 151–173. См. Неравенство Браскампа – Либа.
- ^ Reed & Simon 1975 , IX.4
- ^ Слюсарь, VI (27 декабря 1996). «Конечные продукты в матрицах в радиолокационных приложениях» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи.– 1998, Вып. 41; Номер 3 : 50–53.
- ^ Слюсарь, В. И. (1997-05-20). «Аналитическая модель цифровой антенной решетки на основе матричных продуктов расщепления граней» (PDF) . Proc. ICATT-97, Киев : 108–109.
- ^ Слюсарь, В. И. (1997-09-15). «Новые операции матричного продукта для приложений радаров» (PDF) . Proc. Прямые и обратные задачи теории электромагнитных и акустических волн (ДИПЭД-97), Львов. : 73–74.
- ^ Слюсарь, VI (13 марта 1998). «Семейство граней произведений матриц и его свойства» (PDF) . Кибернетика и системный анализ C / C Кибернетика и Системный анализ.- 1999 . 35 (3): 379–384. DOI : 10.1007 / BF02733426 .
- ^ Слюсарь, VI (2003). «Обобщенные лицевые произведения матриц в моделях цифровых антенных решеток с неодинаковыми каналами» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 46 (10): 9–17.
- ^ Нинь, Фам; Паг, Расмус (2013). Быстрые и масштабируемые полиномиальные ядра с помощью явных карт функций . Международная конференция SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных. Ассоциация вычислительной техники. DOI : 10.1145 / 2487575.2487591 .
- ^ Zölzer, Удо, изд. (2002). DAFX: Цифровые аудиоэффекты, стр. 48–49. ISBN 0471490784 .
- ^ Диггл 1985 .
- ^ Гасей & Новак +2017 .
- ↑ Атлас, Хомма и знаки. «Искусственная нейронная сеть для пространственно-временных биполярных паттернов: приложение к классификации фонем» (PDF) . Системы обработки нейронной информации (NIPS 1987) . 1 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
- Перейти ↑ Monaghan, JJ (1992). «Гидродинамика сглаженных частиц» . АРА & . 30 : 543 - 547. DOI : 10.1146 / annurev.aa.30.090192.002551 . Проверено 16 февраля 2021 года .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Bracewell, R. (1986), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw – Hill, ISBN 0-07-116043-4.
- Damelin, S .; Миллер, В. (2011), Математика обработки сигналов , Cambridge University Press, ISBN 978-1107601048
- Диггл, PJ (1985), "Метод ядра для сглаживания данных процесса точки", журнал Королевского статистического общества, серия C , 34 (2): 138-147, DOI : 10,2307 / 2347366 , JSTOR 2347366 , S2CID 116746157
- Домингес-Торрес, Алехандро (2 ноября 2010 г.). «Происхождение и история свертки». 41 стр. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution . Крэнфилд, Бедфорд MK43 OAL, Великобритания. Проверено 13 марта 2013 года.
- Гасеми, С. Хуман; Новак, Анджей С. (2017), «Индекс надежности для ненормальных распределений Предельное государственных функций», Проектирование зданий и сооружений и механики , 62 (3): 365-372, DOI : 10,12989 / sem.2017.62.3.365
- Гриншпан, Аризона (2017), "Неравенство для множества сверток с относительно вероятностной меры Дирихле", Прогресс в области прикладной математики , 82 (1): 102-119, DOI : 10.1016 / j.aam.2016.08.001
- Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1979), Абстрактный гармонический анализ. Vol. I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 115 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-09434-0, Руководство по ремонту 0551496.
- Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1970), Абстрактный гармонический анализ. Vol. II: Структура и анализ компактных групп. Анализ на локально компактных абелевых группах , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 152, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0262773.
- Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, Руководство по ремонту 0717035.
- Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы , Тексты для выпускников по математике, 155 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0783-2 , ISBN 978-0-387-94370-1, Руководство по ремонту 1321145.
- Knuth, Donald (1997), Seminumerical Algorithms (3-е изд.), Reading, Massachusetts: Addison – Wesley, ISBN. 0-201-89684-2.
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики. II. Анализ Фурье, самосопряженность , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, стр. Xv + 361, ISBN 0-12-585002-6, Руководство по ремонту 0493420
- Рудин, Вальтер (1962), анализ Фурье на группах , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 12 , New York – London: Interscience Publishers, ISBN 0-471-52364-X, MR 0152834.
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
- Соболев, В.И. (2001) [1994], "Свертка функций" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
- Титчмарш, E (1948), Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chelsea Pub. Co. (опубликовано в 1986 г.), ISBN 978-0-8284-0324-5.
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Улудаг AM (1998), "О возможном ухудшении гладкости под действием свертки", J. Math. Анальный. Прил. , 227 (2): 335-358, DOI : 10,1006 / jmaa.1998.6091
- von zur Gathen, J .; Герхард, Дж. (2003), Современная компьютерная алгебра , Cambridge University Press, ISBN 0-521-82646-2.
Внешние ссылки [ править ]
Найдите свертку в Викисловаре, бесплатном словаре. |
Викискладе есть медиафайлы по теме свертки . |
- Самое раннее использование: статья о свертке содержит некоторую историческую информацию.
- Свертка , Краткое руководство по анализу данных
- http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Java-апплет с визуальной сверткой
- http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Java-апплет с визуальной сверткой для функций с дискретным временем
- https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution онлайн-калькулятор discret-convolution
- https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Демонстрация свертки и визуализация в javascript
- https://phiresky.github.io/convolution-demo/ Еще одна демонстрация свертки в javascript
- Лекции по обработке изображений: сборник из 18 лекций в формате pdf из Университета Вандербильта. Лекция 7 посвящена двумерной свертке. , Алан Питерс
- * https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
- Операция с маской ядра свертки Интерактивное руководство
- Свертка в MathWorld
- Freeverb3 Impulse Response Processor : процессор импульсных откликов с нулевой задержкой и открытым исходным кодом с плагинами VST
- Интерактивная Flash-демонстрация CS 178 Стэнфордского университета, показывающая, как работает пространственная свертка.
- Видео лекция по теме свертки дается Салман
- Пример свертки БПФ для распознавания образов (обработка изображений)