Вместимость комплекта

В математике , то емкость множества в евклидовом пространстве является мерой «размер» этого сета. В отличие, скажем, от меры Лебега , которая измеряет объем или физическую протяженность набора , емкость является математическим аналогом способности набора удерживать электрический заряд . Точнее, это емкость набора: общий заряд, который набор может удерживать при сохранении заданной потенциальной энергии . Потенциальная энергия вычисляется относительно идеализированной земли на бесконечности для гармонической или ньютоновской емкости и относительно поверхности для емкости конденсатора..

Историческая справка [ править ]

Понятия емкости набора и "емкостного" набора были введены Гюставом Шоке в 1950 году: подробное описание см. В справочнике ( Choquet 1986 ).

Определения [ править ]

Емкость конденсатора [ править ]

Пусть Σ является замкнутой , гладкой, ( п  - 1) - мерная гиперповерхность в п - мерном евклидовом пространстве ℝ ^п , п ≥ 3; K будет обозначать n -мерное компактное (т. Е. Замкнутое и ограниченное ) множество, граница которого Σ . Пусть S будет другой ( n - 1) -мерной гиперповерхностью, которая окружает Σ: со ссылкой на ее происхождение в электромагнетизме пара (Σ,  S ) известна как конденсатор . Вемкость конденсатора Σ относительно S , обозначаемая C (Σ,  S ) или cap (Σ,  S ), задается поверхностным интегралом

${\ Displaystyle C (\ Sigma, S) = - {\ frac {1} {(n-2) \ sigma _ {n}}} \ int _ {S '} {\ frac {\ partial u} {\ partial \ nu}} \, \ mathrm {d} \ sigma ',}$

куда:

• u - единственная гармоническая функция, определенная в области D между Σ и S с граничными условиями u ( x ) = 1 на Σ и u ( x ) = 0 на S ;
• S ′ - любая промежуточная поверхность между Σ и S ;
• ν - внешнее единичное нормальное поле к S ′ и

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nabla u(x)\cdot \nu (x)}$

является нормальной производной от функции и через S '; и

• σ _n  = 2 π ^{n ⁄2}  ⁄ Γ ( n  ⁄ 2) - площадь поверхности единичной сферы в ℝ ⁿ .

C (Σ,  S ) эквивалентно определяется интегралом по объему

${\displaystyle C(\Sigma ,S)={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

Емкость конденсатора также имеет вариационную характеристику : C (Σ,  S ) является инфимумом из энергии Дирихля функционала

${\displaystyle I[v]={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x}$

по всем непрерывно дифференцируемые функции v на D с V ( х ) = 1 на Е и V ( х ) = 0 на S .

Гармоническая / ньютоновская емкость [ править ]

Эвристически , гармоническая емкость K , область, ограниченная Σ, может быть найдена, взяв емкость конденсатора Σ относительно бесконечности. Точнее, пусть у будет гармоническая функция в дополнении К , удовлетворяющих у  = 1 на Е и у ( х ) → 0 при х  → ∞. Таким образом, u - ньютоновский потенциал простого слоя Σ. Тогда гармоническая емкость (также известная как ньютоновская емкость ) K , обозначаемая C ( K ) или cap ( K ), тогда определяется как

${\displaystyle C(K)=\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus K}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

Если S - спрямляемая гиперповерхность, полностью охватывающая K , то гармоническая емкость может быть эквивалентно переписана как интеграл по S от внешней нормальной производной функции u :

${\displaystyle C(K)=\int _{S}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma .}$

Гармоническую емкость также можно понимать как предел емкости конденсатора. То есть, пусть S _r обозначает сферу радиуса r вокруг начала координат в ℝ ⁿ . Так как К ограничено, при достаточно больших г , С _г будет заключить K и (Е,  S _г ) образуют пару конденсатора. Таким образом, гармоническая емкость является пределом, поскольку r стремится к бесконечности:

${\displaystyle C(K)=\lim _{r\to \infty }C(\Sigma ,S_{r}).}$

Гармоническая емкость является математически абстрактной версией электростатической емкости проводника K и всегда неотрицательна и конечна: 0 ≤  C ( K ) <+ ∞.

Обобщения [ править ]

Приведенная выше характеристика емкости набора как минимума функционала энергии, достигающего определенных граничных значений, может быть распространена на другие функционалы энергии в вариационном исчислении .

Эллиптические операторы с дивергентной формой [ править ]

Решения равномерно эллиптического уравнения в частных производных с дивергентной формой

${\displaystyle \nabla \cdot (A\nabla u)=0}$

являются минимизаторами ассоциированного функционала энергии

${\displaystyle I[u]=\int _{D}(\nabla u)^{T}A(\nabla u)\,\mathrm {d} x}$

при соответствующих граничных условиях.

Емкость множества E относительно области D, содержащей E , определяется как нижняя грань энергии по всем непрерывно дифференцируемым функциям v на D с v ( x ) = 1 на E ; и v ( х ) = 0 на границе D .

Минимальная энергия достигается с помощью функции , известной как capacitary потенциала в Е по отношению к D , и это решает проблему препятствий на D с функцией препятствий , предоставленной функцией индикатора из E . Емкостной потенциал поочередно характеризуется как единственное решение уравнения с соответствующими граничными условиями.

См. Также [ править ]

• Аналитический потенциал
• Емкость
• Ньютоновский потенциал
• Возможная теория

Ссылки [ править ]

• Brélot, Marcel (1967) [1960], Лекции по теории потенциала (Заметки К.Н. Говрисанкарана и М.К. Венкатеша Мурти.) (PDF) , Лекции по математике и физике Института фундаментальных исследований Тата. Математика., № 19 (2-е изд.), Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, стр. Ii + 170 + iv, MR  0259146 , Zbl  0257.31001. Второе издание этих конспектов лекций, отредактированное и дополненное с помощью С. Рамасвами, перепечатано, вычитано один раз и свободно доступно для скачивания.
• Шоке, Гюстав (1986), «Возрождение теории возможностей: отражение в опыте персонала» , Comptes rendus de l'Académie des Sciences. Série générale, La Vie des Sciences (на французском языке), 3 (4): 385–397, MR  0867115 , Zbl  0607.01017, доступный от Gallica . Исторический отчет о развитии теории емкости ее основателем и одним из основных авторов; английский перевод названия гласит: «Рождение теории емкости: размышления о личном опыте».
• Дуб, Джозеф Лео (1984), Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 262 , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр.  Xxiv + 846 , ISBN 0-387-90881-1, Руководство по ремонту  0731258 , Zbl  0549.31001
• Littman, W .; Stampacchia, G .; Вайнбергер, Х. (1963), «Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами» , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze , Serie III, 17 (12): 43–77, MR  0161019 , Zbl  0116.30302, доступно на NUMDAM .
• Рэнсфорд, Томас (1995), Теория потенциала в комплексной плоскости , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 28 , Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-46654-7, Zbl  0828,31001
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Емкость множества" , Энциклопедия математики , EMS Press