Нормальный (геометрия)

Многоугольник и два его нормальных вектора

Нормаль к поверхности в точке совпадает с нормалью к касательной плоскости к поверхности в той же точке.

В геометрии , A нормальный представляет собой объект , такие как линии , луч , или вектор , который является перпендикулярно к данному объекту. Например, в двух измерениях нормальная линия к кривой в данной точке - это линия, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке. Вектор нормали может иметь длину один ( единичный вектор ) или его длина может представлять кривизну объекта ( вектор кривизны ); его алгебраический знак может указывать стороны (внутренние или внешние).

В трех измерениях, в нормали к поверхности , или просто нормальном , к поверхности в точке Р является вектор , перпендикулярный к касательной плоскости к поверхности в точке Р. Слово «нормальный» также используются в качестве прилагательного: а линии нормальных к плоскости , нормальный компонент силы , вектор нормали и т. д. Понятие нормальности обобщается на ортогональность ( прямые углы ).

Это понятие было обобщено на дифференцируемые многообразия произвольной размерности, вложенные в евклидово пространство . Нормальное векторное пространство , или нормальное пространство многообразия в точке Р есть множество векторов, ортогональных к касательной в P . Нормальные векторы представляют особый интерес в случае гладких кривых и гладких поверхностей .

Нормаль часто используется в трехмерной компьютерной графике (обратите внимание на единственное число, поскольку будет определена только одна нормаль) для определения ориентации поверхности по отношению к источнику света для плоского затенения или ориентации каждого из углов ( вершин ) поверхности для имитации изогнутая поверхность с штриховкой Фонга .

Нормально к поверхностям в трехмерном пространстве [ править ]

Изогнутая поверхность, показывающая единичные векторы нормали (синие стрелки) к поверхности

Расчет нормали к поверхности [ править ]

Для выпуклого многоугольника (например, треугольника ) нормаль к поверхности может быть вычислена как векторное произведение двух (непараллельных) ребер многоугольника.

Для плоскости, заданной уравнением , вектор является нормальным. ${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {п} = (а, б, в)}$

Для плоскости, уравнение которой задано в параметрической форме

${\ Displaystyle \ mathbf {r} (s, t) = \ mathbf {r} _ {0} + s \ mathbf {p} + t \ mathbf {q}}$,

где r ₀ - точка на плоскости, а p, q - непараллельные векторы, указывающие вдоль плоскости, нормаль к плоскости - это вектор, нормальный как к p, так и к q , который можно найти как перекрестное произведение .${\ Displaystyle \ mathbf {п} = \ mathbf {p} \ times \ mathbf {q}}$

Если поверхность (возможно , плоские) S в 3-пространстве R ³ является параметрироваться системой криволинейной координаты г ( ы , т ) = ( х ( х , т ), у ( с , т ), г ( х , t )) с вещественными переменными s и t , то нормаль к S по определению является нормалью к касательной плоскости, заданной перекрестным произведением частных производных

${\ displaystyle \ mathbf {n} = {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial s}} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial t}}.}$

Если поверхность S задана неявно как набор точек, которым удовлетворяет , то нормаль в точке на поверхности задается градиентом${\ Displaystyle (х, у, г)}$${\ Displaystyle F (х, y, z) = 0}$${\ Displaystyle (х, у, г)}$

${\ displaystyle \ mathbf {n} = \ nabla F (x, y, z).}$

так как градиент в любой точке перпендикулярно к множеству уровня S .

Для поверхности S в R ^3, заданной как график функции , направленная вверх нормаль может быть найдена либо из параметризации , что дает${\ Displaystyle г = е (х, у)}$${\ Displaystyle \ mathbf {г} (х, у) = (х, у, f (х, у))}$

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}})\times (0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}})=(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1);}$

или, проще говоря, от его неявной формы , давая . Поскольку поверхность не имеет касательной плоскости в особой точке , у нее нет четко определенной нормали в этой точке: например, вершины конуса . Вообще говоря, можно определить нормаль почти всюду для липшицевой поверхности . ${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0}$${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1)}$

Выбор нормального [ править ]

Нормаль к (гипер) поверхности обычно масштабируется, чтобы иметь единичную длину , но у нее нет уникального направления, поскольку ее противоположность также является единичной нормалью. Для поверхности , которая является топологической границей множества в трех измерениях, можно различить внутрь указывая нормально и внешние указывая нормально . Для ориентированной поверхности нормаль обычно определяется правилом правой руки или его аналогом в более высоких измерениях.

Если нормаль построена как произведение касательных векторов (как описано в тексте выше), это псевдовектор .

Преобразование нормалей [ править ]

Примечание: в этом разделе мы используем только верхнюю матрицу 3 × 3, так как перевод не имеет отношения к расчету.

При применении преобразования к поверхности часто бывает полезно получить нормали для результирующей поверхности из исходных нормалей.

В частности, учитывая матрицу преобразования 3 × 3 M , мы можем определить матрицу W, которая преобразует вектор n, перпендикулярный касательной плоскости t, в вектор n ′, перпендикулярный преобразованной касательной плоскости M t , по следующей логике:

Запишите n ′ как W n . Мы должны найти W .

${\displaystyle W\mathbb {n} {\text{ perpendicular to }}M\mathbb {t} }$

${\displaystyle \iff (W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )=0}$

${\displaystyle \iff (W\mathbb {n} )^{\mathrm {T} }(M\mathbb {t} )=0}$

${\displaystyle \iff (\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} })(M\mathbb {t} )=0}$

${\displaystyle \iff \mathbb {n} ^{\mathrm {T} }(W^{\mathrm {T} }M)\mathbb {t} =0}$

Ясно, что выбор W такой, что , или , удовлетворяет вышеуказанному уравнению, давая перпендикуляр к , или n ', перпендикулярный к t' , если требуется.${\displaystyle W^{\mathrm {T} }M=I}$${\displaystyle W=(M^{-1})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle W\mathbb {n} }$${\displaystyle M\mathbb {t} }$

Следовательно, при преобразовании нормалей к поверхности следует использовать обратное транспонирование линейного преобразования. Обратное транспонирование равно исходной матрице, если матрица ортонормирована, т.е. чисто вращательная, без масштабирования или сдвига.

Гиперповерхности в n -мерном пространстве [ править ]

Для -мерной гиперплоскости в n- мерном пространстве R ^n, заданной ее параметрическим представлением${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle \mathbf {r} (t_{1},\ldots ,t_{n-1})=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},}$

где p ₀ - точка на гиперплоскости, а p _i для i = 1, ..., n - 1 - линейно независимые векторы, указывающие вдоль гиперплоскости, нормаль к гиперплоскости - это любой вектор в нулевом пространстве матрицы , что означает . То есть любой вектор, ортогональный всем векторам в плоскости, по определению является нормалью к поверхности. В качестве альтернативы, если гиперплоскость определяется как набор решений одного линейного уравнения , тогда вектор является нормальным.${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle P\mathbf {n} =\mathbf {0} }$${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c}$${\displaystyle \mathbb {n} =(a_{1},\ldots ,a_{n})}$

Определение нормали к поверхности в трехмерном пространстве может быть расширено до ( n - 1) -мерных гиперповерхностей в R ⁿ . Гиперповерхность может быть локально определена неявно как набор точек, удовлетворяющих уравнению , где - заданная скалярная функция . Если она непрерывно дифференцируема, то гиперповерхность является дифференцируемым многообразием в окрестности точек, где градиент не равен нулю. В этих точках вектор нормали задается градиентом: ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$

Нормальная линия представляет собой одномерное подпространство с базисом { п }.

Многообразия, определяемые неявными уравнениями в n -мерном пространстве [ править ]

Дифференциальное многообразие определяется неявных уравнений в п - мерном пространстве R ^п есть множество общих нулей конечного множества дифференцируемых функций в п переменных

${\displaystyle f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

Матрица Якоби многообразия является K × N матрица , у которой я -й строки является градиентом F _I . По теореме о неявной функции многообразие является многообразием в окрестности точки, в которой матрица Якоби имеет ранг k . В такой точке Р , то нормальное векторное пространство есть векторное пространство , порожденное значениями в P из градиентных векторов из F _I .

Другими словами, многообразие определяется как пересечение k гиперповерхностей, а нормальное векторное пространство в точке - это векторное пространство, порожденное векторами нормалей гиперповерхностей в этой точке.

Нормальный (аффинное) пространство в точке Р многообразия является аффинным подпространством , проходящий через P и порождается нормальным векторным пространством в P .

Эти определения можно дословно распространить на те точки, где многообразие не является многообразием.

Пример [ править ]

Пусть V - многообразие, определенное в трехмерном пространстве уравнениями

${\displaystyle x\,y=0,\quad z=0\,.}$

Это разнообразие является объединением оси x и оси y .

В точке ( a , 0, 0) , где a ≠ 0 , строки матрицы Якоби - это (0, 0, 1) и (0, a , 0) . Таким образом, нормальное аффинное пространство - это плоскость уравнения x = a . Аналогично, если b ≠ 0 , нормальная плоскость в точке (0, b , 0) является плоскостью уравнения y = b .

В точке (0, 0, 0) строки матрицы Якоби - это (0, 0, 1) и (0, 0, 0) . Таким образом, нормальное векторное пространство и нормальное аффинное пространство имеют размерность 1, а нормальное аффинное пространство - это ось z .

Использует [ редактировать ]

• Поверхностные нормалей полезны для определения поверхностных интегралов от векторных полей .
• Нормали поверхности обычно используются в трехмерной компьютерной графике для расчетов освещения (см . Закон косинуса Ламберта ), часто корректируемые с помощью карт нормалей .
• Слои визуализации, содержащие информацию о нормали к поверхности, могут использоваться в цифровом композитинге для изменения видимого освещения визуализируемых элементов. ^{[ необходима цитата ]}
• В компьютерном зрении формы трехмерных объектов оцениваются на основе нормалей поверхности с использованием фотометрического стерео . ^[1]

Нормаль в геометрической оптике [ править ]

Нормальный луч является внешним указывающим лучом перпендикулярно к поверхности оптической среды в данной точке. ^[2] В отражении света , то угол падения и угол отражения является , соответственно, углом между нормалью и падающим лучом (на плоскости падения ) и углом между нормалью и отраженным лучом .

См. Также [ править ]

• Вектор нормали эллипсоида
• Псевдовектор
• Двойное пространство
• Вершина нормальная

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальный вектор» . MathWorld .
• Объяснение нормальных векторов из MSDN от Microsoft
• Чистый псевдокод для вычисления нормали к поверхности от треугольника или многоугольника.