Фундаментальная пара периодов

В математике , фундаментальная пара периодов является упорядоченной парой из комплексных чисел , определяющих решетку в комплексной плоскости . Этот тип решетки является базовым объектом, с помощью которого определяются эллиптические функции и модульные формы .

Хотя концепция двумерной решетки довольно проста, в математической литературе имеется значительное количество специальных обозначений и терминологии, касающихся решетки. В данной статье делается попытка пересмотреть эти обозначения, а также представить некоторые теоремы, характерные для двумерного случая.

Фундаментальный параллелограмм, определяемый парой векторов в комплексной плоскости.

Определение [ править ]

Фундаментальная пара периодов является парой комплексных чисел таким образом, что их отношение Q , ₂ / ω _- не реально. Другими словами, рассматриваемые как векторы в , эти два не коллинеарны . Решетка, порожденная ω ₁ и ω _2, есть${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ in \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ Lambda = \ {м \ omega _ {1} + n \ omega _ {2} \, \, | \, \, m, n \ in \ mathbb {Z} \}}$

Эту решетку также иногда обозначают как Λ (ω ₁ , ω ₂ ), чтобы пояснить, что она зависит от ω ₁ и ω ₂ . Иногда его также обозначают Ω или Ω (ω ₁ , ω ₂ ) или просто 〈ω ₁ , ω ₂〉. Два образующих ω ₁ и ω ₂ называются базисом решетки .

Параллелограмм определяется вершинами 0, и называется фундаментальной параллелограмм .${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$

Важно отметить, что в то время как фундаментальная пара порождает решетку, решетка не имеет единственной фундаментальной пары, то есть многие (фактически бесконечное число) фундаментальных пар соответствуют одной и той же решетке.

Алгебраические свойства [ править ]

Получить ряд свойств, перечисленных ниже.

Эквивалентность [ править ]

Решетка, натянутая на периоды ω ₁ и ω ₂ , показывающая эквивалентную пару периодов α ₁ и α ₂ .

Две пары комплексных чисел (ω ₁ , Q ₂ ) и (α ₁ , α ₂ ) называются эквивалентны , если они порождают ту же решетку: то есть, если ⟨ω ₁ , ω ₂ ⟩ = ⟨α ₁ , α ₂ ⟩.

Нет внутренних точек [ править ]

Основной параллелограмм не содержит дополнительных точек решетки внутри или на границе. И наоборот, любая пара точек решетки с этим свойством составляет фундаментальную пару и, кроме того, порождает одну и ту же решетку.

Модульная симметрия [ править ]

Две пары и эквивалентны тогда и только тогда, когда существует матрица 2 × 2 с целыми элементами a ,  b ,  c и  d и определителем ad  -  bc  = ± 1 такая, что${\ displaystyle (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$${\ Displaystyle (\ альфа _ {1}, \ альфа _ {2})}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ alpha _ {1} \\\ alpha _ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} \ omega _ {1} \\\ omega _ {2} \ end {pmatrix}},}$

то есть так, чтобы

${\ displaystyle \ alpha _ {1} = a \ omega _ {1} + b \ omega _ {2} \,}$

и

${\ displaystyle \ alpha _ {2} = c \ omega _ {1} + d \ omega _ {2}. \,}$

Заметим , что эта матрица принадлежит к матричной группе , которая, с небольшим злоупотребление терминологией, известной как модулярной группы . Эту эквивалентность решеток можно рассматривать как лежащую в основе многих свойств эллиптических функций (особенно эллиптических функций Вейерштрасса ) и модулярных форм.${\ Displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {Z})}$

Топологические свойства [ править ]

Абелева группа отображает комплексную плоскость в фундаментальный параллелограмм. То есть каждую точку можно записать как целые числа m , n с точкой p в основном параллелограмме.${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z=p+m\omega _{1}+n\omega _{2}}$

Так как это отображение выявляет противоположные стороны параллелограмма , как к тому же, фундаментальный параллелограмм имеет топологию в виде тора . Эквивалентно говорят, что фактормногообразие является тором.${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Фундаментальная область [ править ]

Серым цветом показана каноническая фундаментальная область.

Определим τ = ω ₂ / ω ₁ как отношение полупериодов . Тогда базис решетки всегда можно выбрать так, чтобы τ лежал в особой области, называемой фундаментальной областью . С другой стороны, всегда существует элемент PSL (2, Z ), который отображает базис решетки в другой базис, так что τ лежит в фундаментальной области.

Фундаментальная область задается множеством D , которое состоит из множества U плюс часть границы U :

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

где H - верхняя полуплоскость .

Затем строится фундаментальная область D , добавляя границу слева и половину дуги снизу:

${\displaystyle D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,{\mbox{Re}}(z)=-{\tfrac {1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,{\mbox{Re}}(z)\leq 0\right\}.}$

Речь идет о трех случаях:

• Если и , то в фундаментальной области имеется ровно два базиса решетки с одинаковым τ: и${\displaystyle \tau \neq i}$${\displaystyle \tau \neq e^{{\frac {1}{3}}i\pi }}$${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle (-\omega _{1},-\omega _{2}).}$
• Если , то четыре основания решетки имеют одинаковое τ: два вышеупомянутых , и ,${\displaystyle \tau =i}$${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle (-\omega _{1},-\omega _{2})}$${\displaystyle (i\omega _{1},i\omega _{2})}$${\displaystyle (-i\omega _{1},-i\omega _{2}).}$
• Если , то есть шесть решеток база с тем же т: , , и их негативы.${\displaystyle \tau =e^{{\frac {1}{3}}i\pi }}$${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle (\tau \omega _{1},\tau \omega _{2})}$${\displaystyle (\tau ^{2}\omega _{1},\tau ^{2}\omega _{2})}$

Обратите внимание, что при закрытии основного домена: и${\displaystyle \tau =i}$${\displaystyle \tau =e^{{\frac {1}{3}}i\pi }.}$

См. Также [ править ]

• Существует ряд альтернативных обозначений для решетки и фундаментальной пары, которые часто используются вместо них. См., Например, статьи о номинале , эллиптическом модуле , четверти периода и соотношении полупериодов .
• Эллиптическая кривая
• Модульная форма
• Серия Эйзенштейна

Ссылки [ править ]

• Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (1990), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN  0-387-97127-0 (См. Главы 1 и 2.)
• Юрген Йост, Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 3-540-43299-X (См. Главу 2.)