В математике , в Schwarz-Альфорс-Pick теорема является продолжением леммы Шварца для гиперболической геометрии , такие как полуплоскость модель Пуанкаре .
Шварц-Pick лемма состояния , что каждая голоморфная функция от единичного круга U к себе, или из верхней полуплоскости H к самому себе, не приведет к увеличению расстояния между точками Пуанкара. Единичный круг U с метрикой Пуанкаре имеет отрицательную гауссову кривизну −1. В 1938 году Ларс Альфорс обобщил лемму на отображение единичного круга на другие поверхности с отрицательной кривизной:
Теорема ( Шварц - Альфорс - Пик ). Пусть U - единичный круг с метрикой Пуанкаре; пусть S - риманова поверхность с эрмитовой метрикой чья гауссова кривизна ≤ −1; позволять- голоморфная функция . потом
для всех
Обобщение этой теоремы было доказано Шинг-Тунг Яу в 1973 г. [1]
Рекомендации
- ^ Оссерман, Роберт (сентябрь 1999). «От Шварца до пика к Альфорсу и не только» (PDF) . Уведомления AMS . 46 (8): 868–873.