Уравнение Гамильтона – Якоби

---

В физике уравнение Гамильтона-Якоби , названное в честь Уильяма Роуэна Гамильтона и Карла Густава Якоба Якоби , представляет собой альтернативную формулировку классической механики , эквивалентную другим формулировкам, таким как законы движения Ньютона , лагранжева механика и гамильтонова механика . Уравнение Гамильтона – Якоби особенно полезно при определении сохраняющихся величин для механических систем, что может быть возможно, даже если сама механическая задача не может быть решена полностью.

Уравнение Гамильтона-Якоби также является единственной формулировкой механики, в которой движение частицы может быть представлено в виде волны. В этом смысле он выполнил давнюю цель теоретической физики (начиная, по крайней мере, с Иоганна Бернулли в восемнадцатом веке) найти аналогию между распространением света и движением частицы. Волновое уравнение, за которым следуют механические системы, похоже, но не идентично уравнению Шредингера , как описано ниже; по этой причине уравнение Гамильтона – Якоби считается «наиболее близким подходом» классической механики к квантовой механике . ^{[1] [2]}

В математике уравнение Гамильтона — Якоби является необходимым условием, описывающим экстремальную геометрию в обобщениях задач вариационного исчисления . Его можно понимать как частный случай уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана из динамического программирования . ^[3]

Переменные, выделенные жирным шрифтом, такие как представляют собой список обобщенных координат ,${\ Displaystyle \ mathbf {д}}$${\ Displaystyle Н}$

Обозначение скалярного произведения между двумя списками с одинаковым количеством координат является сокращением суммы произведений соответствующих компонентов, таких как

Пусть матрица Гессе обратима. Отношение${\ textstyle H _ {\ cal {L}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) = \ left \ {\ partial ^ {2} {\ cal {L}}/\ частичное {\ точка {q}} ^ {i} \ частичное {\ точка {q}} ^ {j} \ право \} _ {ij}}$

---