Мера Гиббса

В математике , то мера Гиббса , названная в честь Гиббса , является вероятностной мера часто встречается во многих задачах теории вероятностей и статистической механике . Это обобщение канонического ансамбля на бесконечные системы. Канонический ансамбль дает вероятность того, что система X находится в состоянии x (эквивалентно случайной величине X, имеющей значение x ), как

${\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x)).}$

Здесь E ( x ) - функция от пространства состояний до действительных чисел; в физических приложениях E ( x ) интерпретируется как энергия конфигурации x . Параметр β - свободный параметр; в физике это обратная температура . Константа нормализующее Z ( β ) является функция распределения. Однако в бесконечных системах полная энергия больше не является конечным числом и не может использоваться в традиционном построении распределения вероятностей канонического ансамбля. Традиционные подходы в статистической физике изучали предел интенсивных свойств, когда размер конечной системы приближается к бесконечности ( термодинамический предел ). Когда функцию энергии можно записать как сумму членов, каждый из которых включает только переменные из конечной подсистемы, понятие меры Гиббса обеспечивает альтернативный подход. Меры Гиббса были предложены теоретиками вероятности, такими как Добрушин , Лэнфорд и Рюэль. и предоставил основу для непосредственного изучения бесконечных систем, вместо того, чтобы брать предел конечных систем.

Мера является мерой Гиббса, если условные вероятности, которые она индуцирует для каждой конечной подсистемы, удовлетворяют условию согласованности: если все степени свободы вне конечной подсистемы заморожены, канонический ансамбль для подсистемы с этими граничными условиями совпадает с вероятностями в гиббсовской мера, обусловленная замороженными степенями свободы.

Из теоремы Хаммерсли – Клиффорда следует, что любая вероятностная мера, удовлетворяющая марковскому свойству, является мерой Гиббса при соответствующем выборе (локально определенной) энергетической функции. Таким образом, мера Гиббса относится к широко распространенным проблемам за пределами физики , такие как сети Хопфилда , сети Маркова , марковские логических сети , а также ограниченно рациональные потенциальные игры в теории игр и экономике. Мера Гиббса в системе с локальными (конечными) взаимодействиями максимизирует плотность энтропии для данной ожидаемой плотности энергии ; или, что то же самое, минимизирует свободную энергию плотность.

Мера Гиббса бесконечной системы не обязательно единственна, в отличие от канонического ансамбля конечной системы, который единственен. Существование более чем одной меры Гиббса связано со статистическими явлениями, такими как нарушение симметрии и сосуществование фаз .

Статистическая физика [ править ]

Множество мер Гиббса на системе всегда выпукло ^[1], поэтому существует либо единственная мера Гиббса (в этом случае система называется « эргодической »), либо их бесконечно много (и система называется « неэргодический "). В неэргодическом случае меры Гиббса могут быть выражены как набор выпуклых комбинаций гораздо меньшего числа специальных мер Гиббса, известных как «чистые состояния» (не путать с родственным, но отдельным понятием чистых состояний в квантовой механике ) . В физических приложениях гамильтониан (функция энергии) обычно имеет некоторый смысл локальности , а чистые состояния имеют кластерное разложениесвойство, что «далекие подсистемы» независимы. На практике физически реалистичные системы находятся в одном из этих чистых состояний.

Если гамильтониан обладает симметрией, то единственная (т.е. эргодическая) мера Гиббса обязательно будет инвариантной относительно симметрии. Но в случае множественных (т. Е. Неэргодических) мер Гиббса чистые состояния обычно не инвариантны относительно симметрии гамильтониана. Например, в модели Изинга с бесконечным ферромагнетиком ниже критической температуры есть два чистых состояния, «в основном вверх» и «в основном вниз», которые меняются местами в соответствии с симметрией модели .${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Марковское свойство [ править ]

Пример свойства Маркова можно увидеть в мере Гиббса модели Изинга . Вероятности для данного спина сг _к , чтобы быть в состоянии с , в принципе, зависят от состояний всех остальных спинов в системе. Таким образом, мы можем записать вероятность в виде

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)}$.

Однако в модели Изинга только с взаимодействиями конечного радиуса действия (например, взаимодействиями ближайших соседей) мы на самом деле имеем

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\in N_{k})}$,

где N _k - окрестность узла k . То есть вероятность в узле k зависит только от спинов в конечной окрестности. Это последнее уравнение имеет форму локального марковского свойства . Меры с этим свойством иногда называют марковскими случайными полями . Более того, верно и обратное: любое положительное распределение вероятностей (ненулевая плотность всюду), обладающее марковским свойством, может быть представлено как мера Гиббса для соответствующей функции энергии. ^[2] Это теорема Хаммерсли – Клиффорда .

Формальное определение решеток [ править ]

Ниже приводится формальное определение частного случая случайного поля на решетке. Однако идея меры Гиббса гораздо шире.

Определение случайного поля Гиббса на решетке требует некоторой терминологии:

• Решетка : счетное множество .${\displaystyle \mathbb {L} }$
• Пространство с одним спином : вероятностное пространство .${\displaystyle (S,{\mathcal {S}},\lambda )}$
• Конфигурационное пространство : , где и .${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \Omega =S^{\mathbb {L} }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }}$
• Для конфигурации ω ∈ Ω и подмножества ограничение ω на Λ равно . Если и , то конфигурация - это конфигурация, ограничения которой на Λ ₁ и Λ ₂ равны и соответственно.${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$${\displaystyle \omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }}$${\displaystyle \Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset }$${\displaystyle \Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L} }$${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}}$${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}}$${\displaystyle \omega _{\Lambda _{2}}}$
• Множество всех конечных подмножеств .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \mathbb {L} }$
• Для каждого подмножества , является σ - алгебра порождается семейством функций , где . Объединение этих σ -алгебр как разное представляет собой алгебру цилиндрических множеств на решетке.${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Lambda }}$${\displaystyle (\sigma (t))_{t\in \Lambda }}$${\displaystyle \sigma (t)(\omega )=\omega (t)}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
• Потенциал : семейство функций Ф _A : Ω → R такое , что${\displaystyle \Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}}$
  1. Для каждого это - измеримы , то есть он зависит только от ограничения (и делает это измеримо).${\displaystyle A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$${\displaystyle \omega _{A}}$
  2. Для всех и ω ∈ Ω существует следующий ряд: ^{[ при определении как? ]}${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L}},A\cap \Lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}(\omega ).}$

Мы понимаем Ф _А как вклад в общую энергию (гамильтониан) , связанный с взаимодействием между всеми точками конечного множества A . Затем как вклад в общую энергию всех конечных множеств A, которые встречаются . Обратите внимание, что полная энергия обычно бесконечна, но , как мы надеемся , когда мы «локализуем» ее для каждого, она может быть конечной.${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$

• Гамильтонова в с граничными условиями , для потенциала Ф , определяется${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\Lambda }^{\Phi }\left(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}\right)}$

где .${\displaystyle \Lambda ^{c}=\mathbb {L} \setminus \Lambda }$

• Функция распределения в с граничными условиями и обратной температуры β > 0 (для потенциала Ф и Х ) определяется${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})),}$

куда

${\displaystyle \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )=\prod _{t\in \Lambda }\lambda (\mathrm {d} \omega (t)),}$

это мера продукта

Потенциал Φ является λ- допустимым, если он конечен для всех и β > 0 .${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})}$${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega }$

Вероятностная мера μ на является мерой Гиббса для Л -допустимого потенциалов Ф , если он удовлетворяет Добрушинский-Лэнфорд-Рюэлль (DLR) уравнение${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \int \mu (\mathrm {d} {\bar {\omega }})Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})^{-1}\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))1_{A}(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}})=\mu (A),}$

для всех и .${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$

Пример [ править ]

Чтобы помочь понять приведенные выше определения, вот соответствующие величины в важном примере модели Изинга с взаимодействиями между ближайшими соседями (константа связи J ) и магнитным полем ( h ) на Z ^d :

• Решетка простая .${\displaystyle \mathbb {L} =\mathbf {Z} ^{d}}$
• Пространство с одним спином S = {−1, 1}.
• Потенциал определяется

${\displaystyle \Phi _{A}(\omega )={\begin{cases}-J\,\omega (t_{1})\omega (t_{2})&{\text{if }}A=\{t_{1},t_{2}\}{\text{ with }}\|t_{2}-t_{1}\|_{1}=1\\-h\,\omega (t)&{\text{if }}A=\{t\}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

См. Также [ править ]

• Распределение Больцмана
• Экспоненциальная семья
• Алгоритм Гиббса
• Выборка Гиббса
• Система взаимодействующих частиц
• Возможная игра
• Софтмакс
• Стохастические клеточные автоматы

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Георгий, Х.-О. (2011) [1988]. Меры Гиббса и фазовые переходы (2-е изд.). Берлин: де Грюйтер. ISBN 978-3-11-025029-9.
• Фридли, С .; Веленик Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107184824.