Оператор запаздывания

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

При анализе временных рядов оператор запаздывания (L) или оператор обратного сдвига (B) работает с элементом временного ряда для создания предыдущего элемента. Например, учитывая некоторый временной ряд

${\ Displaystyle X = \ {X_ {1}, X_ {2}, \ точки \} \,}$

тогда

${\ displaystyle \, LX_ {t} = X_ {t-1}}$ для всех ${\ Displaystyle \; т> 1 \,}$

или аналогично в терминах оператора обратного переключения B : для всех . Эквивалентно это определение может быть представлено как${\ displaystyle \, BX_ {t} = X_ {t-1}}$${\ Displaystyle \; т> 1 \,}$

${\ displaystyle \, X_ {t} = LX_ {t + 1}}$ для всех ${\ Displaystyle \; т \ geq 1 \,}$

Оператор запаздывания (а также оператор обратного сдвига) может быть увеличен до произвольной целочисленной степени, чтобы

${\ Displaystyle \, L ^ {- 1} X_ {t} = X_ {t + 1} \,}$

а также

${\ Displaystyle \, L ^ {k} X_ {t} = X_ {tk}. \,}$

Полиномы запаздывания [ править ]

Можно использовать полиномы оператора запаздывания, и это обычное обозначение для моделей ARMA (авторегрессивное скользящее среднее). Например,

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}\,}$

определяет модель AR ( p ).

Полином операторов лага называется лаг многочлена так , что, например, модель ARMA может быть сжато определяются как

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}$

где и соответственно представляют собой полиномы запаздывания${\displaystyle \varphi (L)}$${\displaystyle \theta (L)}$

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}$

а также

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

Полиномы операторов запаздывания подчиняются тем же правилам умножения и деления, что и числа и многочлены переменных. Например,

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

означает то же самое, что и

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,.}$

Как и в случае полиномов от переменных, полином в операторе запаздывания можно разделить на другой, используя полиномиальное деление в длину . В общем случае деление одного такого многочлена на другой, когда каждый из них имеет конечный порядок (наивысший показатель степени), приводит к многочлену бесконечного порядка.

Оператор аннуляторный , обозначаемый , удаляет запись полинома с отрицательной мощностью (значения в будущем).${\displaystyle [\ ]_{+}}$

Обратите внимание, что обозначает сумму коэффициентов:${\displaystyle \varphi \left(1\right)}$

${\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

Оператор различия [ править ]

В анализе временных рядов первый оператор разности:${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\nabla X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\nabla X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{array}}}$

Точно так же второй оператор разности работает следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\nabla X_{t})&=\nabla X_{t}-\nabla X_{t-1}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)\nabla X_{t}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

Вышеупомянутый подход обобщает i-й разностный оператор${\displaystyle \nabla ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}$

Условное ожидание [ править ]

В стохастических процессах принято заботиться об ожидаемом значении переменной с учетом предыдущего набора информации. Позвольте быть всей информацией, которая является общеизвестной в момент времени t (это часто указывается под оператором математического ожидания); тогда ожидаемое значение реализации X , j временных шагов в будущем, может быть записано эквивалентно как:${\displaystyle \Omega _{t}}$

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}]\,.}$

С этими зависящими от времени условными ожиданиями необходимо различать оператор обратного сдвига ( B ), который регулирует только дату прогнозируемой переменной, и оператор запаздывания ( L ), который одинаково регулирует дату прогнозируемой переменной и набор информации. :

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}]\,,}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}]\,.}$

См. Также [ править ]

• Авторегрессионная модель
• Модель авторегрессионного скользящего среднего
• Модель скользящего среднего
• Оператор сдвига
• Z-преобразование

Ссылки [ править ]

• Гамильтон, Джеймс Дуглас (1994). Анализ временных рядов . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-04289-6.
• Вербеек, Марно (2008). Руководство по современной эконометрике . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-470-51769-7.
• Вайсштейн, Эрик. "Wolfram MathWorld" . WolframMathworld: оператор разности . Wolfram Research . Проверено 10 ноября 2017 года . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Коробка, Джордж EP; Jenkins, Gwilym M .; Рейнзель, Грегори С.; Юнг, Грета М. (2016). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (5-е изд.). Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-1-118-67502-1.