Уравнение Абеля

Уравнение Абеля , названное в честь Нильса Хенрика Абеля , представляет собой тип функционального уравнения, которое можно записать в форме

${\ Displaystyle е (час (х)) = час (х + 1)}$

или, что то же самое,

${\ Displaystyle \ альфа (е (х)) = \ альфа (х) +1}$

и управляет итерацией   f .

Эквивалентность [ править ]

Эти уравнения эквивалентны. Предполагая, что α - обратимая функция , второе уравнение можно записать как

${\ Displaystyle \ альфа ^ {- 1} (\ альфа (е (х))) = \ альфа ^ {- 1} (\ альфа (х) +1) \ ,.}$

Взяв x = α ⁻¹ ( y ) , уравнение можно записать в виде

${\ Displaystyle е (\ альфа ^ {- 1} (у)) = \ альфа ^ {- 1} (у + 1) \ ,.}$

Для предполагаемой функции f ( x ) задача состоит в том, чтобы решить функциональное уравнение для функции α ⁻¹ ≡ h , возможно, удовлетворяющее дополнительным требованиям, таким как α ⁻¹ (0) = 1 .

Замены переменных ев ^{альфа ( х )} = Ψ ( х ) , для действительного параметра s , приводит уравнение Абеля в знаменитом уравнение Шредера , W ( F ( х )) = s  Ψ ( х ) .

Дальнейшая замена F ( x ) = exp ( s ^{α ( x )} ) в уравнение Бёттчера , F ( f ( x )) = F ( x ) ^s .

Уравнение Абеля является частным случаем (и легко обобщается) в уравнение перевода , ^[1]

${\ Displaystyle \ омега (\ омега (х, и), v) = \ омега (х, и + v) ~,}$

например, для , ${\ Displaystyle \ омега (х, 1) = е (х)}$

${\ Displaystyle \ омега (х, и) = \ альфа ^ {- 1} (\ альфа (х) + и)}$. (Заметим, что ω ( x , 0) = x .)

Функция Абеля α ( x ) дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли (однопараметрических групп Ли ).

История [ править ]

Первоначально сообщалось об уравнении в более общем виде ^{[2] [3]} . Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и допускает специальный анализ. ^{[4] [5] [6]}

В случае линейной передаточной функции решение выразимо компактно. ^[7]

Особые случаи [ править ]

Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля с f = exp .

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует повторяющуюся процедуру, например,

${\ Displaystyle \ альфа (е (е (х))) = \ альфа (х) + 2 ~,}$

и так далее,

${\ Displaystyle \ альфа (е_ {п} (х)) = \ альфа (х) + п ~.}$

Решения [ править ]

• формальное решение: единственное (до константы) ^[8] (Не уверен, потому что если - решение, то , где , также является решением ^[9] .)${\displaystyle u}$${\displaystyle v(x)=u(x)+\Omega (u(x))}$${\displaystyle \Omega (x+1)=\Omega (x)}$
• аналитические решения (координаты Фату) = аппроксимация асимптотическим разложением функции, определенной степенным рядом в секторах вокруг параболической фиксированной точки ^[10]

• Существование: уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда , когда , где , n раз. ^[11]${\displaystyle E}$${\displaystyle \forall x\in E,\forall n\in \mathbb {N} ,f^{(n)}(x)\neq x}$${\displaystyle f^{(n)}=f\circ f\circ ...\circ f}$

Координаты Фату описывают локальную динамику дискретной динамической системы вблизи параболической неподвижной точки .

См. Также [ править ]

• Функциональное уравнение
  • Уравнение Шредера
  • Уравнение Бёттхера
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Итерированная функция
• Оператор сдвига
• Суперфункция

Ссылки [ править ]