Бесконечные композиции аналитических функций

В математике, бесконечные композиции из аналитических функций (ICAF) предлагают альтернативные формулировки аналитических цепных дробей , серии , продуктов и других бесконечных расширений, и теория развивается из таких композиций может пролить свет на схождения / расхождения этих разложений. Некоторые функции могут быть расширены напрямую до бесконечных композиций. Кроме того, можно использовать ICAF для оценки решений уравнений с фиксированной точкой, включающих бесконечные разложения. Комплексная динамика предлагает еще одно место для итерации систем функций.а не одну функцию. Для бесконечных композиций одной функции см. Итерированная функция . Для композиций конечного числа функций, полезных в теории фракталов , см. Итерационная система функций .

Хотя в названии этой статьи указаны аналитические функции, есть результаты и для более общих функций комплексной переменной .

Обозначение [ править ]

Есть несколько обозначений, описывающих бесконечные композиции, в том числе следующие:

Форвардные композиции: F _{k, n} ( z ) = f _k ∘ f _{k +1} ∘ ... ∘ f _{n −1} ∘ f _n ( z ).

Обратные композиции: G _{k, n} ( z ) = f _n ∘ f _{n −1} ∘ ... ∘ f _{k +1} ∘ f _k ( z )

В каждом случае сходимость интерпретируется как наличие следующих ограничений:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{1,n}(z),\qquad \lim _{n\to \infty }G_{1,n}(z).}$

Для удобства положим F _n ( z ) = F _{1, n} ( z ) и G _n ( z ) = G _{1, n} ( z ) .

Можно также написать и${\displaystyle F_{n}(z)={\underset {k=1}{\overset {n}{\mathop {R} }}}\,f_{k}(z)=f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}(z)}$${\displaystyle G_{n}(z)={\underset {k=1}{\overset {n}{\mathop {L} }}}\,g_{k}(z)=g_{n}\circ g_{n-1}\circ \cdots \circ g_{1}(z)}$

Теорема о сжатии [ править ]

Многие результаты можно рассматривать как продолжение следующего результата:

Теорема о сжатии для аналитических функций. ^[1] Пусть F аналитична в односвязной области S и непрерывной на замыкании S из S . Пусть F ( S ) является ограниченным множеством , содержащимся в S . Тогда для всех z в S существует притягивающая неподвижная точка α функции f в S такая, что:

${\displaystyle F_{n}(z)=(f\circ f\circ \cdots \circ f)(z)\to \alpha ,}$

Бесконечные композиции сжимающих функций [ править ]

Пусть { е _п } последовательность функций аналитических на односвязной области S . Предположим , что существует компактное множество Ω ⊂ S таким образом, что для каждого п , е _п ( S ) ⊂ Ω.

Теорема о прямой (внутренней или правой) композиции. { F _n } сходится равномерно на компактных подмножествах S к постоянной функции F ( z ) = λ. ^[2]

Теорема обратной (внешней или левой) композиции. { G _n } сходится равномерно на компактных подмножествах S к γ ∈ Ω тогда и только тогда, когда последовательность неподвижных точек { γ _n } множества { f _n } сходится к γ . ^[3]

Дополнительная теория, являющаяся результатом исследований, основанных на этих двух теоремах, в частности теореме о прямых композициях, включает анализ местоположения для пределов, полученных здесь [1] . О другом подходе к теореме обратной композиции см. [2] .

Что касается теоремы обратной композиции, пример f _{2 n} ( z ) = 1/2 и f _{2 n −1} ( z ) = −1/2 для S = { z  : | z | <1} демонстрирует неадекватность простого требования сжатия в компактное подмножество, как теорема о прямых композициях.

Для функций, не обязательно аналитических, достаточно условия Липшица :

Теорема. ^[4] Предположим, что является односвязным компактным подмножеством и пусть - семейство функций, удовлетворяющее${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle t_{n}:S\to S}$

${\displaystyle \forall n,\forall z_{1},z_{2}\in S,\exists \rho :\quad \left|t_{n}(z_{1})-t_{n}(z_{2})\right|\leq \rho |z_{1}-z_{2}|,\quad \rho <1.}$

Определять:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}(z)&=\left(t_{n}\circ t_{n-1}\circ \cdots \circ t_{1}\right)(z)\\F_{n}(z)&=\left(t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}\right)(z)\end{aligned}}}$

Тогда равномерно на If является единственной неподвижной точкой тогда равномерно тогда и только тогда, когда .${\displaystyle F_{n}(z)\to \beta \in S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \alpha _{n}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle G_{n}(z)\to \alpha }$${\displaystyle S}$${\displaystyle |\alpha _{n}-\alpha |=\varepsilon _{n}\to 0}$

Бесконечные композиции других функций [ править ]

Бесконтактные сложные функции [ править ]

Результаты ^[5], включающие целые функции, включают следующие в качестве примеров. Набор

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(z)&=a_{n}z+c_{n,2}z^{2}+c_{n,3}z^{3}+\cdots \\\rho _{n}&=\sup _{r}\left\{\left|c_{n,r}\right|^{\frac {1}{r-1}}\right\}\end{aligned}}}$

Тогда верны следующие результаты:

Теорема E1. ^[6] Если _п ≡ 1,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\rho _{n}<\infty }$

тогда F _n → F целиком.

Теорема E2. ^[5] Положить ε _n = | a _n −1 | предположим, что существует неотрицательное δ _n , M ₁ , M ₂ , R такое, что выполняется следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}&<\infty ,\\\sum _{n=1}^{\infty }\delta _{n}&<\infty ,\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\delta _{n})&<M_{1},\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\varepsilon _{n})&<M_{2},\\\rho _{n}&<{\frac {\delta _{n}}{RM_{1}M_{2}}}.\end{aligned}}}$

Тогда G _n ( z ) → G ( z ), аналитическая для | z | < R . Сходимость равномерна на компактных подмножествах { z  : | z | < R }.

Дополнительные элементарные результаты включают:

Теорема GF3. ^[4] Предположим, что там, где существуют такие, из которых следует Далее, предположим, и Тогда для${\displaystyle f_{n}(z)=z+\rho _{n}\varphi (z)}$${\displaystyle R,M>0}$${\displaystyle |z|<R}$${\displaystyle |\varphi (z)|<M.}$${\displaystyle \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }$${\displaystyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.}$${\displaystyle R*<R-M\sum _{k=1}^{n}\rho _{k}}$

${\displaystyle G_{n}(z)\equiv \left(f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}\right)(z)\to G(z)\qquad {\text{ for }}\{z:|z|<R*\}}$

Теорема GF4. ^[4] Предположим, где существуют такие, что и подразумевают, и Кроме того, предположим, и Тогда для${\displaystyle f_{n}(z)=z+\rho _{n}\varphi (z)}$${\displaystyle R,M>0}$${\displaystyle |z|<R}$${\displaystyle |\zeta |<R}$${\displaystyle |\varphi (z)|<M}$${\displaystyle |\varphi (z)-\varphi (\zeta )|\leq r|z-\zeta |.}$${\displaystyle \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }$${\displaystyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.}$${\displaystyle R*<R-M\sum _{k=1}^{n}\rho _{k}}$

${\displaystyle F_{n}(z)\equiv \left(f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}\right)(z)\to F(z)\qquad {\text{ for }}\{z:|z|<R*\}}$

Теорема GF5. ^[5] Пусть аналитический для | z | < R ₀ , при | g _n ( z ) | ≤ C β _n ,${\displaystyle f_{n}(z)=z+zg_{n}(z),}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\beta _{n}<\infty .}$

Выберите 0 < r < R ₀ и определите

${\displaystyle R=R(r)={\frac {R_{0}-r}{\prod _{n=1}^{\infty }(1+C\beta _{n})}}.}$

Тогда F _n → F равномерно при | z | ≤ R . Более того,

${\displaystyle \left|F'(z)\right|\leq \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\tfrac {R_{0}}{r}}C\beta _{n}\right).}$

Пример GF1 :${\displaystyle F_{40}(x+iy)={\underset {k=1}{\overset {40}{\mathop {R} }}}\left({\frac {x+iy}{1+{\tfrac {1}{4^{k}}}(x\cos(y)+iy\sin(x))}}\right),\qquad [-20,20]}$

Пример GF2 :${\displaystyle G_{40}(x+iy)={\underset {k=1}{\overset {40}{\mathop {L} }}}\,\left({\frac {x+iy}{1+{\tfrac {1}{2^{k}}}(x\cos(y)+iy\sin(x))}}\right),\qquad [-20,20]}$

Дробно-линейные преобразования [ править ]

Результаты ^[5] для композиций дробно-линейных преобразований (Мёбиуса) включают в себя следующие, в качестве примеров:

Теорема LFT1. На множестве сходимости последовательности { F _n } неособых LFT предельная функция:

• (а) невырожденная ЛПФ,
• (b) функция, принимающая два различных значения, или
• (c) постоянная.

В (а) последовательность сходится всюду в расширенной плоскости. В (b) последовательность сходится либо всюду, и к одному и тому же значению везде, кроме одной точки, либо она сходится только в двух точках. Случай (c) может иметь место со всеми возможными наборами сходимости. ^[7]

Теорема LFT2. ^[8] Если { F _n } сходится к LFT, то f _n сходится к тождественной функции f ( z ) = z .

Теорема LFT3. ^[9] Если f _n → f и все функции являются гиперболическими или локсодромными преобразованиями Мёбиуса, то F _n ( z ) → λ , постоянная для всех , где { β _n } - неподвижные точки отталкивания { f _n }.${\displaystyle z\neq \beta =\lim _{n\to \infty }\beta _{n}}$

Теорема LFT4. ^[10] Если е _п → F , где F является параболическим с фиксированной точкой у. Пусть неподвижными точками { f _n } являются {γ _n } и { β _n }. Если

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\gamma _{n}-\beta _{n}\right|<\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }n\left|\beta _{n+1}-\beta _{n}\right|<\infty }$

тогда F _n ( z ) → λ , постоянная в расширенной комплексной плоскости, для всех z .

Примеры и приложения [ править ]

Непрерывные дроби [ править ]

Значение бесконечной цепной дроби

${\displaystyle {\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\cdots }}}}}$

можно выразить как предел последовательности { F _n (0)}, где

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {a_{n}}{b_{n}+z}}.}$

В качестве простого примера, хорошо известный результат (Worpitsky Circle * ^[11] ) следует из применения теоремы (A):

Рассмотрим непрерывную дробь

${\displaystyle {\cfrac {a_{1}\zeta }{1+{\cfrac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}}$

с участием

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {a_{n}\zeta }{1+z}}.}$

Предположим, что | ζ | <1 и | z | < R <1. Тогда при 0 < r <1

${\displaystyle |a_{n}|<rR(1-R)\Rightarrow \left|f_{n}(z)\right|<rR<R\Rightarrow {\frac {a_{1}\zeta }{1+{\frac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}=F(\zeta )}$, аналитический для | z | <1. Установите R = 1/2.

Пример. ${\displaystyle F(z)={\frac {(i-1)z}{1+i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(2-i)z}{1+2i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(3-i)z}{1+3i+z{\text{ }}+}}\cdots ,}$ ${\displaystyle [-15,15]}$

Пример. ^[5] с фиксированной точкой продолжала форму дроби (одну переменных).

${\displaystyle f_{k,n}(z)={\frac {\alpha _{k,n}\beta _{k,n}}{\alpha _{k,n}+\beta _{k,n}-z}},\alpha _{k,n}=\alpha _{k,n}(z),\beta _{k,n}=\beta _{k,n}(z),F_{n}(z)=\left(f_{1,n}\circ \cdots \circ f_{n,n}\right)(z)}$

${\displaystyle \alpha _{k,n}=x\cos(ty)+iy\sin(tx),\beta _{k,n}=\cos(ty)+i\sin(tx),t=k/n}$

Прямое функциональное расширение [ править ]

Примеры, иллюстрирующие преобразование функции непосредственно в композицию, следующие:

Пример 1. ^{[6] [12]} Предположим, что - целая функция, удовлетворяющая следующим условиям:${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi (tz)=t\left(\phi (z)+\phi (z)^{2}\right)&|t|>1\\\phi (0)=0\\\phi '(0)=1\end{cases}}}$

потом

${\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{t^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \phi (z)}$.

Пример 2. ^[6]

${\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{2^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to {\frac {1}{2}}\left(e^{2z}-1\right)}$

Пример 3. ^[5]

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {z}{1-{\tfrac {z^{2}}{4^{n}}}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \tan(z)}$

Пример 4. ^[5]

${\displaystyle g_{n}(z)={\frac {2\cdot 4^{n}}{z}}\left({\sqrt {1+{\frac {z^{2}}{4^{n}}}}}-1\right)\Longrightarrow G_{n}(z)\to \arctan(z)}$

Расчет фиксированных точек [ править ]

Теорема (B) может применяться для определения неподвижных точек функций, определяемых бесконечными разложениями или некоторыми интегралами. Следующие примеры иллюстрируют этот процесс:

Пример FP1. ^[3] Для | ζ | ≤ 1 пусть

${\displaystyle G(\zeta )={\frac {\tfrac {e^{\zeta }}{4}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{8}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{12}}{3+\zeta +\cdots }}}}}}}$

Чтобы найти α = G (α), сначала определим:

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}(z)&={\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{4n}}{3+\zeta +z}}\\f_{n}(\zeta )&=t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}(0)\end{aligned}}}$

Затем вычислите с ζ = 1, что дает: α = 0,087118118 ... с точностью до десяти знаков после запятой после десяти итераций.${\displaystyle G_{n}(\zeta )=f_{n}\circ \cdots \circ f_{1}(\zeta )}$

Теорема FP2. ^[5] Пусть φ (ζ, t ) аналитична в S = { z  : | z | < R } для всех t в [0, 1] и непрерывно по t . Набор

${\displaystyle f_{n}(\zeta )={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\varphi \left(\zeta ,{\tfrac {k}{n}}\right).}$

Если | φ (ζ, t ) | ≤ r < R для ζ ∈ S и t ∈ [0, 1], то

${\displaystyle \zeta =\int _{0}^{1}\varphi (\zeta ,t)\,dt}$

имеет единственное решение α в S с${\displaystyle \lim _{n\to \infty }G_{n}(\zeta )=\alpha .}$

Функции эволюции [ править ]

Рассмотрим временной интервал, нормированный на I = [0, 1]. ICAF могут быть построены для описания непрерывного движения точки z на интервале, но таким образом, что в каждый «момент» движение фактически равно нулю (см. Стрелку Зенона ): для интервала, разделенного на n равных подинтервалов, 1 ≤ k ≤ n множество аналитических или просто непрерывных - в области S , такой что${\displaystyle g_{k,n}(z)=z+\varphi _{k,n}(z)}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{k,n}(z)=0}$для всех k и всех z в S ,

и .${\displaystyle g_{k,n}(z)\in S}$

Основной пример ^[5] [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{k,n}(z)&=z+{\frac {1}{n}}\phi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\\G_{k,n}(z)&=\left(g_{k,n}\circ g_{k-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)\\G_{n}(z)&=G_{n,n}(z)\end{aligned}}}$

подразумевает

${\displaystyle \lambda _{n}(z)\doteq G_{n}(z)-z={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\phi \left(G_{k-1,n}(z){\tfrac {k}{n}}\right)\doteq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\psi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\sim \int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt,}$

где интеграл определен корректно, если имеет решение z ( t ) в замкнутом виде . потом${\displaystyle {\tfrac {dz}{dt}}=\phi (z,t)}$

${\displaystyle \lambda _{n}(z_{0})\approx \int _{0}^{1}\phi (z(t),t)\,dt.}$

В противном случае подынтегральное выражение определяется плохо, хотя значение интеграла легко вычисляется. В этом случае интеграл можно было бы назвать «виртуальным» интегралом.

Пример. ${\displaystyle \phi (z,t)={\frac {2t-\cos y}{1-\sin x\cos y}}+i{\frac {1-2t\sin x}{1-\sin x\cos y}},\int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt}$

Пример. ^[13] Пусть:

${\displaystyle g_{n}(z)=z+{\frac {c_{n}}{n}}\phi (z),\quad {\text{with}}\quad f(z)=z+\phi (z).}$

Затем установите и T _n ( z ) = T _{n, n} ( z ). Позволять${\displaystyle T_{1,n}(z)=g_{n}(z),T_{k,n}(z)=g_{n}(T_{k-1,n}(z)),}$

${\displaystyle T(z)=\lim _{n\to \infty }T_{n}(z)}$

когда этот предел существует. Последовательность { T _n ( z )} определяет контуры γ = γ ( c _n , z ), которые следуют за потоком векторного поля f ( z ). Если существует притягивающая неподвижная точка α, то есть | f ( z ) - α | ≤ ρ | z - α | для 0 ≤ ρ <1, то T _n ( z ) → T ( z ) ≡ α вдоль γ = γ ( c _n , z ), если (например) . Если c _n ≡ c > 0, то T _n${\displaystyle c_{n}={\sqrt {n}}}$( z ) → T ( z ), точка контура γ = γ ( c , z ). Легко видеть, что

${\displaystyle \oint _{\gamma }\phi (\zeta )\,d\zeta =\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\phi ^{2}\left(T_{k-1,n}(z)\right)}$

а также

${\displaystyle L(\gamma (z))=\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|\phi \left(T_{k-1,n}(z)\right)\right|,}$

когда эти ограничения существуют.

Эти концепции незначительно связаны с теорией активного контура в обработке изображений и являются простыми обобщениями метода Эйлера.

Самовоспроизводящиеся расширения [ править ]

Серия [ править ]

Ряды, определенные рекурсивно как f _n ( z ) = z + g _n ( z ), обладают тем свойством, что n-й член основан на сумме первых n  - 1 членов. Чтобы воспользоваться теоремой (GF3), необходимо показать ограниченность в следующем смысле: если каждая f _n определена для | z | < M, тогда | G _n ( z ) | < M должно следовать до | f _n ( z ) -  z | = | g _n ( z ) | ≤ Cβ _n определяется для итерационных целей. Это потому, что происходит на протяжении всего расширения. Ограничение${\displaystyle g_{n}(G_{n-1}(z))}$

${\displaystyle |z|<R=M-C\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}>0}$

служит этой цели. Тогда G _n ( z ) → G ( z ) равномерно на ограниченной области.

Пример (S1). Набор

${\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {1}{\rho n^{2}}}{\sqrt {z}},\qquad \rho >{\sqrt {\frac {\pi }{6}}}}$

и M = ρ ² . Тогда R = ρ ² - (π / 6)> 0. Тогда, если , г в S означает | G _n ( z ) | < M и применима теорема (GF3), так что${\displaystyle S=\left\{z:|z|<R,\operatorname {Re} (z)>0\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}(z)&=z+g_{1}(z)+g_{2}(G_{1}(z))+g_{3}(G_{2}(z))+\cdots +g_{n}(G_{n-1}(z))\\&=z+{\frac {1}{\rho \cdot 1^{2}}}{\sqrt {z}}+{\frac {1}{\rho \cdot 2^{2}}}{\sqrt {G_{1}(z)}}+{\frac {1}{\rho \cdot 3^{2}}}{\sqrt {G_{2}(z)}}+\cdots +{\frac {1}{\rho \cdot n^{2}}}{\sqrt {G_{n-1}(z)}}\end{aligned}}}$

сходится абсолютно, следовательно, сходится.

Пример (S2) : ${\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \varphi (z),\varphi (z)=2\cos(x/y)+i2\sin(x/y),>G_{n}(z)=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}(z),\qquad [-10,10],n=50}$

Продукты [ править ]

Продукт, рекурсивно определяемый как

${\displaystyle f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z)),\qquad |z|\leqslant M,}$

имеет вид

${\displaystyle G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n}\left(1+g_{k}\left(G_{k-1}(z)\right)\right).}$

Для применения теоремы GF3 требуется, чтобы:

${\displaystyle \left|zg_{n}(z)\right|\leq C\beta _{n},\qquad \sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}<\infty .}$

Еще раз, условие ограниченности должно поддерживать

${\displaystyle \left|G_{n-1}(z)g_{n}(G_{n-1}(z))\right|\leq C\beta _{n}.}$

Если заранее знать Cβ _n , достаточно будет следующего:

${\displaystyle |z|\leqslant R={\frac {M}{P}}\qquad {\text{where}}\quad P=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+C\beta _{n}\right).}$

Тогда G _n ( z ) → G ( z ) равномерно на ограниченной области.

Пример (P1). Предположим , с соблюдением после нескольких предварительных вычислений, что | z | ≤ 1/4 означает | G _n ( z ) | <0,27. потом${\displaystyle f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z))}$${\displaystyle g_{n}(z)={\tfrac {z^{2}}{n^{3}}},}$

${\displaystyle \left|G_{n}(z){\frac {G_{n}(z)^{2}}{n^{3}}}\right|<(0.02){\frac {1}{n^{3}}}=C\beta _{n}}$

а также

${\displaystyle G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n-1}\left(1+{\frac {G_{k}(z)^{2}}{n^{3}}}\right)}$

сходится равномерно.

Пример (P2).

${\displaystyle g_{k,n}(z)=z\left(1+{\frac {1}{n}}\varphi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\right),}$

${\displaystyle G_{n,n}(z)=\left(g_{n,n}\circ g_{n-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)=z\prod _{k=1}^{n}(1+P_{k,n}(z)),}$

${\displaystyle P_{k,n}(z)={\frac {1}{n}}\varphi \left(G_{k-1,n}(z),{\tfrac {k}{n}}\right),}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\left(1+P_{k,n}(z)\right)=1+P_{1,n}(z)+P_{2,n}(z)+\cdots +P_{k-1,n}(z)+R_{n}(z)\sim \int _{0}^{1}\pi (z,t)\,dt+1+R_{n}(z),}$

${\displaystyle \varphi (z)=x\cos(y)+iy\sin(x),\int _{0}^{1}(z\pi (z,t)-1)\,dt,\qquad [-15,15]:}$

Непрерывные дроби [ править ]

Пример (CF1) : самогенерирующаяся цепная дробь. ^[5] [3]

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(z)&={\frac {\rho (z)}{\delta _{1}+}}{\frac {\rho (F_{1}(z))}{\delta _{2}+}}{\frac {\rho (F_{2}(z))}{\delta _{3}+}}\cdots {\frac {\rho (F_{n-1}(z))}{\delta _{n}}},\\\rho (z)&={\frac {\cos(y)}{\cos(y)+\sin(x)}}+i{\frac {\sin(x)}{\cos(y)+\sin(x)}},\qquad [0<x<20],[0<y<20],\qquad \delta _{k}\equiv 1\end{aligned}}}$

Пример (CF2) : лучше всего описать как самогенерирующуюся обратную цепную дробь Эйлера . ^[5]

${\displaystyle G_{n}(z)={\frac {\rho (G_{n-1}(z))}{1+\rho (G_{n-1}(z))-}}\ {\frac {\rho (G_{n-2}(z))}{1+\rho (G_{n-2}(z))-}}\cdots {\frac {\rho (G_{1}(z))}{1+\rho (G_{1}(z))-}}\ {\frac {\rho (z)}{1+\rho (z)-z}},}$

${\displaystyle \rho (z)=\rho (x+iy)=x\cos(y)+iy\sin(x),\qquad [-15,15],n=30}$

Ссылки [ править ]