Тетрация

Домен окраска из голоморфной тетрации , с оттенком , представляющая функцией аргумента и яркость , представляющая величиной${\ displaystyle {} ^ {z} e}$

${\ Displaystyle {} ^ {п} х}$, для n = 2, 3, 4, ... , демонстрируя сходимость к бесконечно повторяющейся экспоненте между двумя точками

В математике , тетрация (или гипер-4 ) является операция на основе итерированного или повторяются, возведение в степень . Это следующая гипероперация после возведения в степень , но перед пентацией . Это слово было придумано Рубеном Луи Гудстайном от тетра- (четыре) и повторения .

Под определением повторного возведения в степень нотация Руди Ракера означает , что n копий a повторяются путем возведения в степень справа налево, т. Е. Применения времени возведения в степень . n называется «высотой» функции, а a называется «основанием», аналогично возведению в степень. Это будет читаться как « n- я тетрация а ».${\ Displaystyle {^ {п} а}}$${\ Displaystyle {а ^ {а ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {а}}}}}}$${\ displaystyle n-1}$

Тетрация также определяется рекурсивно как

${\ displaystyle {^ {n} a}: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} n = 0 \\ a ^ {\ left (^ {(n-1)} a \ right)} & {\ text {if}} n> 0 \ end {case}}}$,

разрешая попытки расширить тетрацию до не натуральных чисел, таких как действительные и комплексные числа.

Две инверсии тетрации называются суперкорнем и суперлогарифмом , аналогично корню n-й степени и логарифмическим функциям. Ни одна из трех функций не является элементарной .

Тетрация используется для записи очень больших чисел .

Введение [ править ]

Здесь показаны первые четыре гипероперации , при этом тетрация считается четвертой в серии. Унарная операция Последовательность , определяемая как , считается нулевой операцией.${\ Displaystyle а '= а + 1}$

1. Добавление

   ${\ Displaystyle а + п = а + \ underbrace {1 + 1 + \ cdots +1} _ {п}}$

   n копий 1 добавлено к файлу .

2. Умножение

   ${\ Displaystyle а \ раз п = \ underbrace {а + а + \ cdots + а} _ {п}}$

   п копиисочетании добавлением.

3. Возведение в степень

   ${\ Displaystyle а ^ {п} = \ underbrace {а \ раз а \ раз \ cdots \ раз а} _ {п}}$

   n экземпляров a объединены путем умножения.

4. Тетрация

   ${\ displaystyle {^ {n} a} = \ underbrace {a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}}} _ {n}}$

   п копиясочетании с экспоненциацией, вправо-налево. ^[1]

Последовательность ( a ′ = a + 1) - самая простая операция; в то время как сложение ( a + n ) является первичной операцией, для сложения натуральных чисел его можно рассматривать как последовательную последовательность n последователей a ; Умножение ( a  ×  n ) также является основной операцией, хотя для натуральных чисел его можно аналогичным образом рассматривать как связанное сложение, включающее n чисел от a . Возведение в степень можно представить как последовательное умножение, включающее n чисел a и тетрацию (${\ Displaystyle ^ {п} а \!}$) как сцепленную степень, состоящую из n чисел a . Каждая из вышеперечисленных операций определяется повторением предыдущей; ^[2] однако, в отличие от операций до него, тетрация не является элементарной функцией .

Параметр a называется базой , а параметр n - высотой . В исходном определении тетрации параметр высоты должен быть натуральным числом; например, было бы нелогично сказать, что «три подняли к себе отрицание пять раз» или «четыре подняли к себе половину времени». Однако так же, как сложение, умножение и возведение в степень могут быть определены способами, позволяющими расширять действительные и комплексные числа, было сделано несколько попыток обобщить тетрацию на отрицательные числа, действительные числа и комплексные числа. Один из таких способов - использовать рекурсивное определение тетрации; для любого положительного действительного и неотрицательного целого числа${\ displaystyle a> 0}$ ${\ Displaystyle п \ geq 0}$, мы можем определить рекурсивно как: ^[2]${\ Displaystyle \, \! {^ {п} а}}$

${\ displaystyle {^ {n} a}: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} n = 0 \\ a ^ {\ left (^ {(n-1)} a \ right)} & {\ text {if}} n> 0 \ end {case}}}$

Рекурсивное определение эквивалентно повторному возведению в степень для естественных высот; Однако, это определение допускает расширения для других высот , таких как , и так же - многие из этих расширений являются областями активных исследований.${\displaystyle ^{0}a}$${\displaystyle ^{-1}a}$${\displaystyle ^{i}a}$

Терминология [ править ]

Существует множество терминов для обозначения тетрации, каждый из которых имеет определенную логику, но некоторые из них не стали широко использоваться по той или иной причине. Вот сравнение каждого термина с его обоснованием и контробоснованием.

• Термин тетрация , введенный Гудстейном в его статье 1947 года « Трансфинитные порядки в рекурсивной теории чисел» ^[3] (обобщение рекурсивного базового представления, используемого в теореме Гудстейна для использования более высоких операций), стал доминирующим. Это также было популяризировано в « Бесконечности и разуме» Руди Ракера .
• Термин сверхэкспоненциация был опубликован Бромером в его статье « Суперэкспоненцирование» в 1987 году. ^[4] Ранее он использовался Эдом Нельсоном в его книге «Предикативная арифметика», Princeton University Press, 1986.
• Термин гиперсила ^[5] - это естественная комбинация гипер и мощи , которая точно описывает тетрацию. Проблема заключается в значении гипер по отношению к последовательности гиперопераций . При рассмотрении гиперопераций термин гипер относится ко всем рангам, а термин супер относится к рангу 4 или тетрации. Таким образом, с учетом этих соображений гиперсила вводит в заблуждение, поскольку имеет в виду только тетрацию.
• Термин « силовая башня» ^[6] иногда используется в форме «силовая башня порядка n » для . Однако это неправильное название, потому что тетрация не может быть выражена с помощью повторяющихся степенных функций (см. Выше), поскольку это повторяющаяся экспоненциальная функция.${\displaystyle {\ \atop {\ }}{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop n}}$

Частично из-за некоторой общей терминологии и подобной символики обозначений , тетрацию часто путают с тесно связанными функциями и выражениями. Вот несколько связанных терминов:

Термины, относящиеся к тетрации

Терминология	Форма
Тетрация	${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}$
Итерированные экспоненты	${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$
Вложенные экспоненты (также башни)	${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}$
Бесконечные экспоненты (также башни)	${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

В первых двух выражениях a - это основание , а количество появлений a - это высота (добавьте единицу для x ). В третьем выражении n - высота , но каждое из оснований отличается.

Следует проявлять осторожность при обращении к повторяющимся экспонентам, так как выражения этой формы обычно называют повторным возведением в степень, что неоднозначно, поскольку это может означать либо повторные степени, либо повторные экспоненты .

Обозначение [ править ]

Есть много разных стилей обозначений, которые можно использовать для выражения тетрации. Некоторые обозначения также могут использоваться для описания других гиперопераций , в то время как некоторые ограничиваются тетрацией и не имеют немедленного расширения.

Стили обозначений для тетрации

Имя	Форма	Описание
Обозначения Руди Ракера	${\displaystyle \,{}^{n}a}$	Используется Маурером [1901] и Гудстейном [1947]; Книга Руди Ракера « Бесконечность и разум» популяризировала эти обозначения. [nb 1]
Обозначение Кнута со стрелкой вверх	${\displaystyle a{\uparrow \uparrow }n}$	Позволяет расширять, добавляя больше стрелок или, что еще более мощно, индексированную стрелку.
Обозначение стрелок Конвея	${\displaystyle a\rightarrow n\rightarrow 2}$	Позволяет расширять за счет увеличения числа 2 (эквивалент вышеуказанных расширений), но также, что еще более эффективно, за счет удлинения цепочки
Функция Аккермана	${\displaystyle {}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3}$	Позволяет записать особый случай в терминах функции Аккермана.${\displaystyle a=2}$
Итерированная экспоненциальная запись	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(1)}$	Позволяет простое расширение до повторяющихся экспонент от начальных значений, отличных от 1.
Обозначения Хушмана [7]	${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {uxp} _{a}n\\[2pt]&a^{\frac {n}{}}\end{aligned}}}$	Используется MH Hooshmand [2006].
Обозначения гиперопераций	${\displaystyle {\begin{aligned}&a[4]n\\[2pt]&H_{4}(a,n)\end{aligned}}}$	Позволяет расширить за счет увеличения числа 4; это дает семейство гиперопераций .
Обозначение двойной вставки	a^^n	Поскольку стрелка вверх используется так же, как и каретка ( ^), тетрация может быть записана как ( ^^); удобно для ASCII .

В одной из приведенных выше обозначений используется итеративная экспоненциальная запись; в целом это определяется следующим образом:

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$с н а с.

Для повторяющихся экспонент не так много обозначений, но вот несколько:

Стили обозначений для повторяющихся экспонент

Имя	Форма	Описание
Стандартные обозначения	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$	Эйлер ввел эту нотацию , и нотация итераций существует примерно столько же.${\displaystyle \exp _{a}(x)=a^{x}}$${\displaystyle f^{n}(x)}$
Обозначение Кнута со стрелкой вверх	${\displaystyle (a{\uparrow })^{n}(x)}$	Позволяет использовать сверхмощные и суперэкспоненциальные функции за счет увеличения количества стрелок; используется в статье о больших числах .
Текстовое обозначение	exp_a^n(x)	Основано на стандартных обозначениях; удобно для ASCII .
Обозначение J	x^^:(n-1)x	Повторяет возведение в степень. См. J (язык программирования) [8]

Примеры [ править ]

Из-за чрезвычайно быстрого роста тетрации большинство значений в следующей таблице слишком велики для записи в научных обозначениях. В этих случаях используется итеративная экспоненциальная запись, чтобы выразить их в базе 10. Значения, содержащие десятичную точку, являются приблизительными.

Примеры тетрации

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {}^{2}x}$	${\displaystyle {}^{3}x}$	${\displaystyle {}^{4}x}$	${\displaystyle {}^{5}x}$
1	1	1	1	1
2	4	16	65 536	2 65 536 или (2,0035 × 10 19 728 )
3	27	7 625 597 484 987	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1.09902)}$(3,6 × 10 12 цифр)	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1.09902)}$
4	256	1,34078 × 10 154	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.18726)}$(8,1 × 10 153 цифр)	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(2.18726)}$
5	3,125	1,91 · 101 × 10 2184	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(3.33928)}$(1,3 × 10 2184 цифр)	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(3.33928)}$
6	46 656	2,65912 × 10 36,305	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.55997)}$(2,1 × 10 36 305 цифр)	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(4.55997)}$
7	823 543	3,75982 × 10 695 974	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(5.84259)}$(3,2 × 10 695 974 цифр)	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(5.84259)}$
8	16 777 216	6,01452 × 10 15,151,335	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(7.18045)}$(5,4 × 10 15,151,335 цифр)	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(7.18045)}$
9	387 420 489	4,28125 × 10 369 693 099	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(8.56784)}$(4,1 × 10 369 693 099 цифр)	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(8.56784)}$
10	10 000 000 000	10 10 000 000 000	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(10)}$(10 10 000 000 000 + 1 цифра)	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(10)}$

Свойства [ править ]

У тетрации есть несколько свойств, которые похожи на возведение в степень, а также свойства, которые являются специфическими для операции и теряются или приобретаются в результате возведения в степень. Поскольку возведение в степень не коммутируется , правила произведения и степени не имеют аналога с тетрацией; утверждения и не обязательно верны для всех случаев. ^[9]${\textstyle {}^{a}\left({}^{b}x\right)=\left({}^{ab}x\right)}$${\textstyle {}^{a}\left(xy\right)={}^{a}x{}^{a}y}$

Однако тетрация имеет другое свойство, в котором . Этот факт наиболее наглядно демонстрируется с помощью рекурсивного определения. Из этого свойства следует доказательство , которое позволяет переключать b и c в некоторых уравнениях. Доказательство выглядит следующим образом:${\textstyle {}^{a}x=x^{\left({}^{a-1}x\right)}}$${\displaystyle \left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}=\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\={}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}}$

Когда числа x и 10 взаимно просты , можно вычислить последние m десятичных цифр, используя теорему Эйлера , для любого целого числа m .${\displaystyle \,\!\ ^{a}x}$

Направление оценки [ править ]

При оценке тетрации, выраженной как «башня возведения в степень», последовательное возведение в степень сначала выполняется на самом глубоком уровне (в обозначениях - на вершине). ^[1] Например:

${\displaystyle \,\!\ ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65,\!536}$

Этот порядок важен, потому что возведение в степень не ассоциативно , и оценка выражения в обратном порядке приведет к другому ответу:

${\displaystyle \,\!2^{2^{2^{2}}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=4^{2\cdot 2}=256}$

Оценка выражения слева направо считается менее интересной; оценивая слева направо, любое выражение можно упростить . ^[10] Из-за этого башни необходимо оценивать справа налево (или сверху вниз). Программисты называют этот выбор правоассоциативным .${\displaystyle ^{n}a\!}$${\displaystyle a^{\left(a^{n-1}\right)}\!\!}$

Расширения [ править ]

Тетрацию можно продлить двумя разными способами; в уравнении и основание a, и высота n могут быть обобщены с использованием определения и свойств тетрации. Хотя основание и высота могут быть расширены за пределы неотрицательных целых чисел в различные области , включая сложные функции, такие как и высоты бесконечного n , более ограниченные свойства тетрации снижают возможность расширения тетрации.${\displaystyle ^{n}a\!}$${\displaystyle {^{n}0}}$${\displaystyle {}^{n}i}$

Продление домена для баз [ править ]

Базовый ноль [ править ]

Экспонента не определена последовательно. Таким образом, тетрации четко не определены формулой, приведенной ранее. Однако хорошо определено и существует: ^[11]${\displaystyle 0^{0}}$${\displaystyle \,{^{n}0}}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

Таким образом мы могли последовательно определять . Это аналогично определению .${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$${\displaystyle 0^{0}=1}$

При этом расширении, так что правило из исходного определения все еще сохраняется.${\displaystyle {}^{0}0=1}$${\displaystyle {^{0}a}=1}$

Сложные базы [ править ]

Поскольку комплексные числа могут быть возведены в степень , тетрация может применяться к основам вида z = a + bi (где a и b действительные). Например, в ⁿ z с z = i тетрация достигается за счет использования главной ветви натурального логарифма; используя формулу Эйлера, получаем соотношение:

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

Это предлагает рекурсивное определение для ^{n +1} i = a ′ + b′i для любого ⁿ i = a + bi :

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

Можно получить следующие приблизительные значения:

Значения тетрации сложных оснований

${\textstyle {}^{n}i}$	Приблизительное значение
${\textstyle {}^{1}i=i}$	я
${\textstyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}$	0,2079
${\textstyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}$	0,9472 + 0,3208 я
${\textstyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}$	0,0501 + 0,6021 я
${\textstyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}$	0,3872 + 0,0305 я
${\textstyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}$	0,7823 + 0,5446 я
${\textstyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}$	0,1426 + 0,4005 я
${\textstyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}$	0,5198 + 0,1184 я
${\textstyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}$	0,5686 + 0,6051 я

Решение обратной зависимости, как и в предыдущем разделе, дает ожидаемые ⁰ i = 1 и ⁻¹ i = 0 , с отрицательными значениями n, дающими бесконечные результаты на мнимой оси. Построенная на комплексной плоскости , вся последовательность закручивается по спирали до предела 0,4383 + 0,3606 i , что можно интерпретировать как значение, где n бесконечно.

Такие последовательности тетраций изучаются со времен Эйлера, но плохо изучены из-за их хаотического поведения. Большинство опубликованных исследований исторически было сосредоточено на сходимости бесконечно повторяющейся экспоненциальной функции. Нынешним исследованиям в значительной степени способствовало появление мощных компьютеров с программным обеспечением для фрактальной и символьной математики. Многое из того, что известно о тетрации, получено из общих знаний о сложной динамике и конкретных исследований экспоненциальной карты. ^{[ необходима цитата ]}

Расширения домена на разную высоту [ править ]

Бесконечные высоты [ править ]

${\displaystyle \textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}$ бесконечно итерированной экспоненты сходится для базисов ${\displaystyle \textstyle \left(e^{-1}\right)^{e}\leq x\leq e^{\left(e^{-1}\right)}}$

Функция на комплексной плоскости, показывающая вещественную бесконечно повторяемую экспоненциальную функцию (черная кривая)${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}\right|}$

Тетрация может быть увеличена до бесконечных высот; т.е. для определенных значений a и n в существует хорошо определенный результат для бесконечного n . Это связано с тем, что для оснований в определенном интервале тетрация сходится к конечному значению, поскольку высота стремится к бесконечности . Например, сходится к 2, и поэтому можно сказать, что он равен 2. Тенденцию к 2 можно увидеть, оценив небольшую конечную башню:${\displaystyle {}^{n}a}$${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

В общем, бесконечно повторяемая экспонента , определяемая как предел, когда n стремится к бесконечности, сходится при e ^{- e} ≤ x ≤ e ^{1 / e} , примерно в интервале от 0,066 до 1,44, результат, показанный Леонардом Эйлером . ^[12] Предел, если он существует, является положительным вещественным решением уравнения y = x ^y . Таким образом, x = y ^{1 / y} . Предел, определяющий бесконечную тетрацию x, не сходится при x > e ^{1 /}${\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!}$${\displaystyle {}^{n}x}$^e, потому что максимум y ^{1 / y} равен e ^{1 / e} .

Это может быть расширено до комплексных чисел z с определением:

${\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

где W представляет W-функцию Ламберта .

Поскольку предел y = ^∞ x (если он существует, т. Е. Для e ^{- e} < x < e ^{1 / e} ) должен удовлетворять x ^y = y, мы видим, что x ↦ y = ^∞ x является (нижняя ветвь) обратной функцией у ↦ х = у ^{1 / у} .

Отрицательные высоты [ править ]

Мы можем использовать рекурсивное правило для тетрации,

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

доказать :${\displaystyle {}^{-1}a}$

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);}$

Подставляя −1 вместо k, получаем

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$. ^[10]

Таким образом нельзя точно определить меньшие отрицательные значения. Подставляя −2 вместо k в том же уравнении, получаем

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0}$

который не совсем точно определен. Однако иногда их можно рассматривать как наборы. ^[10]

В самом деле , любое определение согласуется с правилом, потому что${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \,\!{^{-1}1}}$

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}$для любого .${\displaystyle \,\!n={^{-1}1}}$

Реальные высоты [ править ]

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В настоящее время не существует общепринятого решения общей проблемы расширения тетрации до действительных или комплексных значений n . Однако к этому вопросу применялось несколько подходов, и различные подходы изложены ниже.

В общем, проблема заключается в нахождении - для любого действительного a > 0 - суперэкспоненциальной функции над действительным x > −2, которая удовлетворяет${\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}$

• ${\displaystyle \,{}^{-1}a=0}$
• ${\displaystyle \,{}^{0}a=1}$
• ${\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{x-1}a\right)}}$для всего реального ^[13]${\displaystyle x>-1.}$

Чтобы найти более естественное расширение, обычно требуется одно или несколько дополнительных требований. Обычно это некоторая совокупность следующего:

• Непрерывности требование ( как правило , только , что является непрерывным в обоих переменных ).${\displaystyle {}^{x}a}$${\displaystyle x>0}$
• Дифференцируемоести требование (может быть один, два, K раз, или бесконечно дифференцируемых в х ).
• Регулярность требование (подразумевая дважды дифференцируемых в х ) , что:

${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}$ для всех ${\displaystyle x>0}$

Четвертое требование различается от автора к автору и от подходов. Есть два основных подхода к расширению тетрации до реальных высот; один основан на требовании регулярности , а другой основан на требовании дифференцируемости . Эти два подхода кажутся настолько разными, что их нельзя согласовать, поскольку они дают результаты, несовместимые друг с другом.

Когда определено для интервала длины один, вся функция легко следует для всех x > −2 .${\displaystyle \,{}^{x}a}$

Линейное приближение для реальных высот [ править ]

${\displaystyle \,{}^{x}e}$ с использованием линейного приближения

Линейное приближение (решение к требованию непрерывности, приближение к требованию дифференцируемости) определяется по формуле:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

следовательно:

Значения линейной аппроксимации

Приближение	Домен
${\textstyle {}^{x}a\approx x+1}$	для −1 < x <0
${\textstyle {}^{x}a\approx a^{x}}$	для 0 < x <1
${\textstyle {}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}}$	для 1 < x <2

и так далее. Однако он дифференцируем только кусочно; при целых значениях x производная умножается на . Он непрерывно дифференцируем тогда и только тогда, когда . Например, используя эти методы и${\displaystyle \ln {a}}$${\displaystyle x>-2}$${\displaystyle a=e}$${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

Основная теорема в статье Хушманда ^[7] гласит: Пусть . Если является непрерывным и удовлетворяет условиям:${\displaystyle 0<a\neq 1}$${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$дифференцируема на (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }}$- неубывающая или невозрастающая функция на (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right).}$

то однозначно определяется уравнением${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))\quad {\text{for all}}\;\;x>-2,}$

где обозначает дробную часть х , а это - итерированная функция функции .${\displaystyle (x)=x-[x]}$${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \exp _{a}}$

Доказательство состоит в том, что из условий со второго по четвертое тривиально следует, что f - линейная функция на [−1, 0] .

Линейная аппроксимация естественной функции тетрации непрерывно дифференцируема, но ее вторая производная не существует при целых значениях ее аргумента. Хушманд вывел для него другую теорему единственности, которая гласит:${\displaystyle {}^{x}e}$

Если - непрерывная функция, удовлетворяющая:${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$выпукла на (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right).}$

тогда . [Вот имя Хушманда для линейного приближения к естественной функции тетрации.]${\displaystyle f={\text{uxp}}}$${\displaystyle f={\text{uxp}}}$

Доказательство почти такое же, как и раньше; рекурсивное уравнение гарантирует, что, а затем из условия выпуклости следует, что это линейно на (−1, 0) .${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$${\displaystyle f}$

Таким образом, линейное приближение к естественной тетрации является единственным решением уравнения и который является выпуклым на (-1, + ∞) . Все остальные достаточно дифференцируемые решения должны иметь точку перегиба на интервале (−1, 0) .${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$${\displaystyle f(0)=1}$

Аппроксимации высших порядков для реальных высот [ править ]

Сравнение линейного и квадратичного приближения (красного и синего цветов соответственно) функции от x = −2 до x = 2.${\displaystyle ^{x}0.5}$

Помимо линейных приближений, квадратичное приближение (к требованию дифференцируемости) определяется следующим образом:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x-{\frac {1\;-\;\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

которая дифференцируема для всех , но не дифференцируема дважды. Например, если это то же самое, что и линейное приближение. ^[2]${\displaystyle x>0}$${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$${\displaystyle a=e}$

Из-за способа вычисления эта функция не «сокращается», в отличие от экспонент, где . А именно,${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$.

Так же, как существует квадратичное приближение, существуют также кубические приближения и методы обобщения на приближения степени n , хотя они гораздо более громоздкие. ^{[2] [14]}

Сложные высоты [ править ]

Рисование аналитического продолжения тетрации на комплексную плоскость. Уровни и уровни показаны толстыми кривыми.${\displaystyle f=F(x+{\rm {i}}y)}$${\displaystyle |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots }$${\displaystyle \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

Теперь доказано ^[15], что существует единственная функция F, которая является решением уравнения F ( z + 1) = exp ( F ( z )) и удовлетворяет дополнительным условиям, что F (0) = 1 и F ( г ) приближается к неподвижным точкам логарифма (примерно 0,318 ± 1,337 я ) в г приближается ± я ∞ и F является голоморфным во всем комплексном г-плоскость, за исключением части действительной оси при z ≤ −2 . Это доказательство подтверждает предыдущую гипотезу . ^[16] Построение такой функции было первоначально продемонстрировано Кнезером в 1950 году. ^[17] Комплексное отображение этой функции показано на рисунке справа. Доказательство также работает для других оснований, кроме e , если основание больше, чем . Последующие работы распространили строительство на все сложные базы. Комплексное приближение этой функции с двойной точностью доступно в Интернете. ^[18]${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\approx 1.445}$

Требование голоморфности тетрации важно для ее уникальности. Многие функции S могут быть построены как

${\displaystyle S(z)=F\!\left(~z~+\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)~\alpha _{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}1-\cos(2\pi nz){\Big )}~\beta _{n}\right)}$

где α и β - действительные последовательности, которые убывают достаточно быстро, чтобы обеспечить сходимость ряда , по крайней мере, при умеренных значениях Im  z .

Функция S удовлетворяет уравнениям тетрации S ( z + 1) = exp ( S ( z )) , S (0) = 1 , и если α _n и β _{n стремятся} к 0 достаточно быстро, она будет аналитической в ​​окрестности положительного реальная ось. Однако, если некоторые элементы { α } или { β } не равны нулю, то функция S имеет множество дополнительных сингулярностей и разрезов в комплексной плоскости из-за экспоненциального роста sin и cos вдоль мнимой оси; чем меньше коэффициенты {α } и { β } , чем дальше эти особенности от действительной оси.

Распространение тетрации на комплексную плоскость, таким образом, существенно для уникальности; вещественно-аналитическая тетрация не является уникальной.

Неэлементарная рекурсивность [ править ]

Тетрация (ограниченная ) не является элементарной рекурсивной функцией . По индукции можно доказать, что для каждой элементарной рекурсивной функции f существует константа c такая, что${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$

${\displaystyle f(x)\leq \underbrace {2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{c}.}$

Обозначим правую часть через . Предположим противное, что тетрация элементарно рекурсивна. также элементарно рекурсивно. По полученному неравенству существует постоянная c такая, что . Допуская , мы получаем противоречие.${\displaystyle g(c,x)}$${\displaystyle g(x,x)+1}$${\displaystyle g(x,x)+1\leq g(c,x)}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle g(c,c)+1\leq g(c,c)}$

Обратные операции [ править ]

Возведение в степень имеет две обратные операции; корни и логарифмы . Аналогичным образом, обратная сторона тетрации часто называется суперкорнем и суперлогарифмом (на самом деле, все гипероперации, большие или равные 3, имеют аналогичные обратные); например, в функции две инверсии - это кубический суперкорень y и основание суперлогарифма  y числа x .${\displaystyle {^{3}}y=x}$

Супер-корень [ править ]

Суперкорень - это операция, обратная тетратированию по отношению к основанию: если , то y является n- м суперкорнем x ( или ).${\displaystyle ^{n}y=x}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{4}}$

Например,

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65{,}536}$

так что 2 - это 4-й суперкорень из 65 536.

Квадратный суперкорень [ править ]

График ${\displaystyle y={\sqrt {x}}_{s}}$

Второй порядок супер-корень , квадрат супер-корень , или супер квадратный корень имеет два эквивалентных обозначение, и . Она является обратной и может быть представлена функцией Ламберта W : ^[19]${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=e^{W(\ln x)}={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$

Функция также иллюстрирует отражающую природу функций корня и логарифма, поскольку приведенное ниже уравнение справедливо только в том случае, если :${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

Как и квадратные корни , квадратный суперкорень из x может не иметь единственного решения. В отличие от квадратных корней, определение количества квадратных суперкорней x может быть трудным. В общем, если , то x имеет два положительных квадратных суперкорня между 0 и 1; и если , то x имеет один положительный квадратный суперкорень больше 1. Если x положителен и меньше, он не имеет никаких вещественных квадратных суперкорней, но приведенная выше формула дает счетное бесконечное количество комплексных корней для любого конечного x не равно 1. ^[19]${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$${\displaystyle x>1}$${\displaystyle e^{-1/e}}$Функция использовалась для определения размера кластеров данных . ^[20]

В :${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle \mathrm {ssqrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+\mathrm {O} \left((x-1)^{8}\right)}$

Другие суперкорни [ править ]

График ${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$

Для каждого целого числа п > 2 , функция ^п х определена и возрастает при х ≥ 1 , а ^п 1 = 1 , так что п - й супер-корень х , , существует при х ≥ 1 .${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

Одной из более простых и быстрых формул суперкорня третьей степени является рекурсивная формула, если: «x ^ x ^ x = a», а затем x (n + 1) = exp (W (W (x (n ) * ln (a)))), например x (0) = 1.

Однако, если используется приведенное выше линейное приближение , то если −1 < y ≤ 0 , значит, существовать не может.${\displaystyle ^{y}x=y+1}$${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$

Точно так же, как квадратный суперкорень, терминология для других суперкорней может быть основана на нормальных корнях : «кубические суперкорни» могут быть выражены как ; «4-й суперкорень» можно выразить как ; а " n- й супер-корень" есть . Обратите внимание, что это может быть не однозначно определено, потому что может быть более одного корня n- ^{й степени} . Так , например, х имеют единственный (реальный) супер-корень , если п является нечетным , и до двух , если п является даже . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

Так же, как с расширением тетрации до бесконечных высот, суперкорень может быть расширен до n = ∞ , будучи корректно определенным, если 1 / e ≤ x ≤ e . Обратите внимание на это и, следовательно, на то . Следовательно, когда она четко определена и, в отличие от обычной тетрации, является элементарной функцией . Например, .${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$${\displaystyle y=x^{1/x}}$${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$

Из теоремы Гельфонда – Шнайдера следует, что суперкорень для любого натурального числа n является либо целым, либо трансцендентным , и может быть целым или иррациональным. ^[21] Остается открытым вопрос, являются ли иррациональные суперкорни трансцендентными в последнем случае.${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$

Суперлогарифм [ править ]

После выбора непрерывно возрастающего (по x ) определения тетрации ^x a соответствующий суперлогарифм or определяется для всех действительных чисел x и a > 1 .${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}x}$${\displaystyle \log _{a}^{4}x}$

Функция slog _a  x удовлетворяет:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=&x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=&1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=&1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&>&-2\end{array}}}$

Открытые вопросы [ править ]

Помимо проблем с расширениями тетрации, есть несколько открытых вопросов, касающихся тетрации, особенно когда это касается отношений между системами счисления, такими как целые числа и иррациональные числа :

• Неизвестно, существует ли натуральное число n, для которого ⁿ π или ⁿ e является целым числом. В частности, неизвестно, является ли ⁴ π или ⁵ e целым числом. ^{[ необходима цитата ]}
• Неизвестно, является ли ⁿ q целым числом для любого положительного целого числа n и положительного нецелого рационального q . ^[21] Например, неизвестно, является ли положительный корень уравнения ⁴ x = 2 рациональным числом. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме тетрации .

• Функция Аккермана
• Обозначение Big O
• Двойная экспоненциальная функция
• Гипероперация
• Итерированный логарифм
• Симметричная арифметика индекса уровня

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Даниэль Гейслер, Tetration
• Иоаннис Галидакис, О расширении hyper4 на нецелые числа (без даты, 2006 г. или ранее) (более простой и удобный для чтения обзор следующей ссылки)
• Иоаннис Галидакис, О расширении Hyper4 и нотации стрелки вверх Кнута на вещественные числа (без даты, 2006 г. или ранее).
• Роберт Мунафо, Расширение функции hyper4 на вещественные числа (неформальное обсуждение расширения тетрации на действительные числа.)
• Лоде Вандевенне, Тетрация квадратного корня из двух . (2004). (Попытка расширить тетрацию до действительных чисел.)
• Иоаннис Галидакис, математика , (Окончательный список ссылок на исследования тетрации. Много информации о W-функции Ламберта, римановых поверхностях и аналитическом продолжении.)
• Джозеф МакДонелл, Некоторые критические точки функции гипермощности .
• Дэйв Л. Ренфро, веб-страницы для бесконечно повторяющихся экспонент
• Кнобель, Р. (1981). «Экспоненты повторяются». Американский математический ежемесячник . 88 (4): 235–252. DOI : 10.1080 / 00029890.1981.11995239 .
• Ханс Маурер, "Убер Die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)". Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft в Гамбурге 4 , (1901), стр. 33–50. (Ссылка на использование из статьи Кнобеля.)${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$ ${\displaystyle \ {^{n}a}}$
• Четвертая операция
• Лука Морони, Странные свойства башни бесконечной силы ( https://arxiv.org/abs/1908.05559 )

Дальнейшее чтение [ править ]

• Галидакис, Иоаннис; Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Энергетическая башня» . MathWorld . Проверено 5 июля 2019 .