В математике , пентация (или гипер-5 ) является следующим гипероператором после тетрации и перед hexation. Это определяется как повторяющееся (повторяющееся) тетрирование, так же как тетрация - это повторное возведение в степень . [1] Это бинарная операция, определяемая двумя числами a и b , где a тетрируется самому себе b-1 раз. Например, использование обозначений гиперопераций для пентации и тетрации означает преобразование 2 в себя 2 раза, или . Затем это можно свести к
![{\ displaystyle 2 [5] 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c3c4f3a4215af3d0aba5d1be34d345eb03d108)
![{\ Displaystyle 2 [4] (2 [4] 2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ca481db73e672c49db94005ca4638ee07e9a35)
![{\ displaystyle 2 [4] (2 ^ {2}) = 2 [4] 4 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ {2 ^ {4}} = 2 ^ {16} = 65536.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddaf74f44639cff497f1a63566693ca571a198e7)
Этимология
Слово «пентация» было придумано Рубеном Гудштейном в 1947 году от корня пента- (пять) и итерация . Это часть его общей схемы именования гиперопераций . [2]
Обозначение
По поводу обозначений для пентации нет единого мнения; Таким образом, существует много разных способов записать операцию. Однако некоторые из них используются чаще, чем другие, а некоторые имеют явные преимущества или недостатки по сравнению с другими.
- Пентацию можно записать как гипероперацию как . В этом формате, может интерпретироваться как результат многократного применения функции для повторов, начиная с числа 1. Аналогично , тетрация представляет собой значение, полученное многократным применением функции для повторов, начиная с числа 1, и Пентация представляет собой значение, полученное путем многократного применения функции для повторов, начиная с числа 1. [3] [4] Это будет обозначение, используемое в остальной части статьи.
![а [5] б](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d782af460e582816fb4e49d3907b621dd297d4d3)
![{\ displaystyle a [3] b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd946603b3dd3c072053d13fbe120d44f70ac8ab)
![{\ Displaystyle х \ mapsto а [2] х}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de6cda8581e622a5228d53c7ad2e3eb16ca119b)
![{\ displaystyle a [4] b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfddc8a9d38692fe9ac6ecee1527c90dd2ecccca)
![{\ Displaystyle х \ mapsto а [3] х}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ffd1906771db6725baa931ab37956655a65e38)
![{\ Displaystyle х \ mapsto а [4] х}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0a37e85c7d20e456e6ef5db50d1c3b6d2f1915)
- В нотации Кнута, направленной вверх , обозначается как или . В этом обозначении представляет собой функцию возведения в степень и представляет собой тетрацию. Операцию можно легко адаптировать для гексагона, добавив еще одну стрелку.
- В обозначения конвея , . [5]
![{\ displaystyle a [5] b = a \ rightarrow b \ rightarrow 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63a65e4bf6c07338977b0fedeca2a2b702f4306)
- Еще одна предлагаемая нотация , хотя она и не распространяется на гипероперации более высокого уровня. [6]
Примеры
Значения функции пентации также могут быть получены из значений в четвертой строке таблицы значений варианта функции Аккермана : если определяется повторением Аккермана с начальными условиями и , то . [7]
![{\ Displaystyle а [5] Ь = А (4, Ь)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de36fd296e5556dc05d3da63d988f0e3aba29d19)
Поскольку тетрация, его основная операция, не была расширена до нецелочисленных высот, пентация в настоящее время определена только для целых значений a и b, где a > 0 и b ≥ -1, и нескольких других целочисленных значений, которые могут быть определены однозначно. . Как и все гипероперации порядка 3 ( возведение в степень ) и выше, пентация имеет следующие тривиальные случаи (тождества), которые справедливы для всех значений a и b в пределах своей области:
![{\ displaystyle 1 [5] b = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa921244f5a19ac238e1e5facbce803f7bd536a)
![{\ Displaystyle а [5] 1 = а}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b09635a9e2ad78029099d065c824340b94ee2c)
Кроме того, мы также можем определить:
![{\ displaystyle a [5] 0 = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad5cdf53a1e0c4bd1ee33b75c0375f3c2be4bbe)
![{\ displaystyle a [5] (- 1) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38979a979502245eb33bd881f3b464e45adfea0)
Помимо тривиальных случаев, показанных выше, пентация генерирует очень большие числа очень быстро, так что есть только несколько нетривиальных случаев, которые производят числа, которые могут быть записаны в обычных обозначениях, как показано ниже:
- (показано здесь в повторяющейся экспоненциальной записи, поскольку она слишком велика, чтобы ее можно было записать в обычной записи. Примечание )
- (число, состоящее более чем из 10 153 цифр)
- (число, состоящее более чем из 10 10 2184 цифр)
![{\ Displaystyle 2 [5] 2 = 2 [4] 2 = 2 ^ {2} = 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f544aee58a80be2fa1dcdae14cddab48f8b189d9)
![{\ Displaystyle 2 [5] 3 = 2 [4] (2 [4] 2) = 2 [4] 4 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ {2 ^ {4}} = 2 ^ {16} = 65 536}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da751a506265725b235de9808832aace07e154bc)
![{\ Displaystyle 2 [5] 4 = 2 [4] (2 [4] (2 [4] 2)) = 2 [4] (2 [4] 4) = 2 [4] 65536 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {2}}}}}} {\ mbox {(силовая башня высотой 65 536)}} \ приблизительно \ exp _ {10} ^ {65 533} ( 4.29508)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed3ef7ab241291154b648a4aa994cff4e16f759)
![{\ displaystyle 3 [5] 2 = 3 [4] 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7 625 597 484 987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a455992a369ea94a39c61963513f4d19b3c7800)
![{\ Displaystyle 3 [5] 3 = 3 [4] (3 [4] 3) = 3 [4] 7 625 597 484 987 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {3} }}}}} {\ mbox {(силовая башня высотой 7 625 597 484 987)}} \ приблизительно \ exp _ {10} ^ {7 625 597 484 986} (1.09902)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995ff342315792f9fcaaf1b64fcdef418a2fa11c)
![{\ displaystyle 4 [5] 2 = 4 [4] 4 = 4 ^ {4 ^ {4 ^ {4}}} = 4 ^ {4 ^ {256}} \ приблизительно \ exp _ {10} ^ {3} (2.19)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb9353578126aa7a2e5dbbb93f5587a9f80373a)
![{\ displaystyle 5 [5] 2 = 5 [4] 5 = 5 ^ {5 ^ {5 ^ {5 ^ {5}}}} = 5 ^ {5 ^ {5 ^ {3125}}} \ приблизительно \ exp _ {10} ^ {4} (3.33928)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428de46090279b2771bd9e491bfb0d4886183d53)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Perstein, Миллард Х. (июнь 1962), "Алгоритм 93: общего порядка Арифметика", коммуникации по АКМ , 5 (6): 344, DOI : 10,1145 / 367766,368160 , S2CID 581764.
- ^ Гудстейна, RL (1947), "трансфинитов в теории рекурсивных чисел", Журнал символической логики , 12 (4): 123-129, DOI : 10,2307 / 2266486 , JSTOR 2266486 , MR 0022537 .
- ^ Кнут, DE (1976), "Математика и информатика: Борьба с конечностью", Science , 194 (4271): 1235-1242, Bibcode : 1976Sci ... 194.1235K , DOI : 10.1126 / science.194.4271.1235 , PMID 17797067 , S2CID 1690489 .
- ^ Blakley, GR; Бороша, И. (1979), "итерированные полномочия Кнута", Успехи математических наук , 34 (2): 109-136, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (79) 90052-5 , MR 0549780 .
- ^ Конвей, Джон Хортон ; Гай, Ричард (1996), Книга чисел , Springer, стр. 61, ISBN 9780387979939.
- ^ http://www.tetration.org/Tetration/index.html
- ^ Намбияр, К. К. (1995), "функция Ackermann и трансфиниты", Прикладная Математика Письмо , 8 (6): 51-53, DOI : 10,1016 / 0893-9659 (95) 00084-4 , МР 1368037 .
