Суперлогарифм

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Суперлогарифм»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2007 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то суперлогарифм является один из двух обратных функций тетрации . Подобно тому, как возведение в степень имеет две обратные функции, корни и логарифмы , тетрация имеет две обратные функции: суперкорни и суперлогарифмы. Есть несколько способов интерпретации суперлогарифмов:

• В качестве функции Абеля из показательных функций ,
• Как функция, обратная тетрации по высоте,
• Как обобщение системы классов больших чисел Роберта Мунафо ,

Для положительных целочисленных значений суперлогарифм с основанием e эквивалентен количеству повторений логарифма , чтобы получить 1 ( повторный логарифм ). Однако это неверно для отрицательных значений и поэтому не может считаться полным определением. Точное определение суперлогарифма зависит от точного определения нецелой тетрации (то есть, для у не является целым числом). Нет четкого консенсуса по определению нецелочисленной тетрации, и поэтому нет четкого консенсуса по суперлогарифму для нецелочисленных входных данных.${\ displaystyle {^ {y} x}}$

Определения [ править ]

Записанный суперлогарифм неявно определяется как${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z),}$

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(b^{z})=\operatorname {slog} _{b}(z)+1}$ и

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(1)=0.}$

Это определение подразумевает, что суперлогарифм может иметь только целочисленные выходы, и что он определен только для входов формы и так далее. Чтобы расширить область суперлогарифма от этого разреженного набора до действительных чисел, было реализовано несколько подходов. Они обычно включают третье требование в дополнение к перечисленным выше, которые варьируются от автора к автору. Эти подходы заключаются в следующем:${\displaystyle b,b^{b},b^{b^{b}},}$

• Линейный приближенный подход Рубстова и Ромерио,
• Квадратичный приближенный подход Эндрю Роббинса,
• Подход с использованием регулярных функций Абеля Джорджа Секереса,
• Итеративный функциональный подход Питера Уокера и
• Подход с использованием натуральных матриц Питера Уокера, а затем обобщенный Эндрю Роббинсом.

Приближения [ править ]

Обычно специальные функции определяются не только для реальных значений аргумента (ов), но и для комплексной плоскости, а также для дифференциального и / или интегрального представления, а также для разложений в сходящиеся и асимптотические ряды. Тем не менее, для функции slog нет таких представлений . Тем не менее, ниже предлагаются простые приближения.

Линейное приближение [ править ]

Линейное приближение суперлогарифма:

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1&{\text{if }}z\leq 0\\-1+z&{\text{if }}0<z\leq 1\\\operatorname {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&{\text{if }}1<z\\\end{cases}}}$

которая представляет собой кусочно-определенную функцию с линейным «критическим участком». Эта функция обладает тем свойством, что она непрерывна для всех действительных z ( непрерывна). Первыми авторами, распознавшими это приближение, были Рубстов и Ромерио, хотя его нет в их статье , но его можно найти в их алгоритме, который используется в их программном прототипе. С другой стороны, линейное приближение к тетрации было известно ранее, например, Иоаннису Галидакису . Это естественный вариант, обратный линейному приближению к тетрации .${\displaystyle C^{0}}$

Такие авторы, как Холмс, признают, что суперлогарифм будет очень полезен для следующей эволюции компьютерной арифметики с плавающей запятой, но для этой цели функция не должна быть бесконечно дифференцируемой. Таким образом, для представления больших чисел подход линейной аппроксимации обеспечивает достаточную непрерывность ( непрерывность), чтобы гарантировать, что все действительные числа могут быть представлены в суперлогарифмическом масштабе.${\displaystyle C^{0}}$

Квадратичное приближение [ править ]

Квадратичное приближение к супер-логарифм:

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1&{\text{if }}z\leq 0\\-1+{\frac {2\log(b)}{1+\log(b)}}z+{\frac {1-\log(b)}{1+\log(b)}}z^{2}&{\text{if }}0<z\leq 1\\\operatorname {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&{\text{if }}1<z\end{cases}}}$

которая является кусочно определенной функцией с квадратичным «критическим участком». Эта функция обладает тем свойством, что она непрерывна и дифференцируема для всех действительных z ( непрерывных). Первым автором, опубликовавшим это приближение, был Эндрю Роббинс в этой статье .${\displaystyle C^{1}}$

Эта версия суперлогарифма позволяет выполнять основные операции исчисления над суперлогарифмом, не требуя заранее большого количества вычислений. Используя этот метод, основное исследование свойств суперлогарифма и тетрации может быть выполнено с небольшими вычислительными затратами.

Подходы к функции Абеля [ править ]

Функция Абеля - это любая функция, удовлетворяющая функциональному уравнению Абеля:

${\displaystyle A_{f}(f(x))=A_{f}(x)+1}$

Для функции Абеля можно получить другое решение, добавив любую константу . Таким образом, учитывая, что суперлогарифм определяется третьим специальным свойством, которое различается между подходами, функция Абеля экспоненциальной функции может быть определена однозначно.${\displaystyle A_{f}(x)}$${\displaystyle A'_{f}(x)=A_{f}(x)+c}$${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(1)=0}$

Свойства [ править ]

Другие уравнения, которым удовлетворяет суперлогарифм:

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)=\operatorname {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1}$

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)>-2}$для всех настоящих z

Вероятно, первый пример математической задачи, решение которой выражается в терминах суперлогарифмов, следующий:

Рассмотрим ориентированные графы с N узлами и такие, что ориентированный путь от узла i к узлу j существует тогда и только тогда, когда длина всех таких путей не превышает k ребер, то минимально возможное общее количество ребер равно:${\displaystyle i>j.}$

${\displaystyle \Theta (N^{2})}$ за ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \Theta (N\log N)}$ за ${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle \Theta (N\log \log N)}$ за ${\displaystyle k=3}$

${\displaystyle \Theta (N\operatorname {slog} N)}$для и${\displaystyle k=4}$${\displaystyle k=5}$

(Гринчук М.И., 1986; ^[1] случаи требуют супер-суперлогарифмов, супер-супер-супер-логарифмов и т. Д.)${\displaystyle k>5}$

Суперлогарифм как инверсия тетрации [ править ]

${\displaystyle f={\rm {slog}}_{\rm {e}}(z)}$ в комплексной z-плоскости.

Поскольку тетрация (или суперэкспонента) считается аналитической функцией ^[2], по крайней мере, для некоторых значений , обратная функция также может быть аналитической. Поведение определенной таким образом комплексной плоскости схематически показано на рисунке 1 для данного случая . Уровни целочисленных значений действительных и целых значений мнимых частей функции slog показаны жирными линиями. Если существование и единственность аналитического продолжения в тетрации обеспечиваются условием его асимптотического подхода к неподвижным точкам и из ^[3]${\displaystyle {\rm {sexp}}_{b}(z):={{^{z}}b}}$${\displaystyle ~b~}$${\displaystyle {\rm {slog}}_{b}={\rm {sexp}}_{b}^{-1}}$${\displaystyle ~{\rm {slog}}_{b}(z)~}$${\displaystyle ~z~}$${\displaystyle ~b=e~}$${\displaystyle L\approx 0.318+1.337{\!~{\rm {i}}}}$${\displaystyle L^{*}\approx 0.318-1.337{\!~{\rm {i}}}}$${\displaystyle L=\ln(L)}$в верхней и нижней частях комплексной плоскости обратная функция также должна быть единственной. Такая функция действительна на действительной оси. Он имеет две точки ветвления в и . Он приближается к своему предельному значению вблизи отрицательной части действительной оси (вся полоса между разрезами, показанных на рисунке розовыми линиями), и медленно растет вдоль положительного направления действительной оси. Поскольку производная на действительной оси положительна, мнимая часть slog остается положительной сразу над действительной осью и отрицательной сразу под действительной осью. Обсуждаются существование, единственность и обобщения. ^[4]${\displaystyle ~z=L~}$${\displaystyle ~z=L^{*}}$${\displaystyle -2}$

См. Также [ править ]

• Итерированный логарифм
• Тетрация

Ссылки [ править ]

• Иоаннис Галидакис, « Математика» , опубликовано в Интернете (по состоянию на ноябрь 2007 г.).
• В. Невилл Холмс, Составная арифметика: предложение по новому стандарту , IEEE Computer Society Press, vol. 30, нет. 3. С. 65–73, 1997.
• Роберт Мунафо, « Большие числа в MROB» , опубликовано в Интернете (по состоянию на ноябрь 2007 г.).
• CA Rubtsov and GF Romerio, Ackermann's Function and New Arithmetical Operation , опубликовано в Интернете (по состоянию на ноябрь 2007 г.).
• Эндрю Роббинс, Решение для аналитического кусочного расширения тетрации и суперлогарифма , опубликовано в Интернете (по состоянию на ноябрь 2007 г.).
• Джордж Секерес, уравнение Абеля и регулярный рост : вариации на тему Абеля, эксперимент. Математика. Том 7, Выпуск 2 (1998), 85-100.
• Питер Уокер, Бесконечно дифференцируемые обобщенные логарифмические и экспоненциальные функции , Математика вычислений, Vol. 57, № 196 (октябрь 1991 г.), стр. 723–733.

Внешние ссылки [ править ]

• Рубстов и Ромерио, Гипероперации, поток 1
• Рубстов и Ромерио, Гипероперации, поток 2