В математике суперфункция - это нестандартное название повторяющейся функции для комплексного индекса непрерывной итерации. Грубо говоря, для некоторой функции f и некоторой переменной x суперфункция может быть определена выражением
Тогда S (z; x) можно интерпретировать как суперфункцию функции f (x) . Такое определение действительно только для целого положительного индекса z . Переменная x часто опускается. Во многих исследованиях и во многих приложениях суперфункции используются различные расширения этих суперфункций до сложных и непрерывных индексов ; и анализ существования, уникальности и их оценка. Функции Аккермана и тетрация можно интерпретировать в терминах суперфункций.
История
Анализ суперфункций возник из приложений вычисления дробных итераций функций. Суперфункции и их инверсии позволяют оценивать не только первую отрицательную степень функции (обратной функции), но также любую действительную и даже сложную итерацию этой функции. Исторически ранняя рассматриваемая функция такого рода была; функциязатем использовался в качестве логотипа физического факультета МГУ . [1]
В то время у этих исследователей не было вычислительного доступа для вычисления таких функций, но функция был удачливее, чем : по крайней мере, существование голоморфной функции такой, что был продемонстрирован в 1950 году Хельмутом Кнезером . [2]
Опираясь на элегантной функциональной теории сопряженности уравнения Шредера , [3] для его доказательства, Кнезер был построен «суперфункцией» экспоненциального отображения с помощью соответствующей функции Abel , удовлетворяющая соответствующему уравнению Абеля
чтобы . Найденная Кнезером обратная функция
представляет собой целую суперэкспоненту, хотя на действительной оси она нереальна; его нельзя интерпретировать как тетрациональный , поскольку условиене может быть реализовано для всей суперэкспоненты. реального можно построить с помощью тетрационала (который также является суперэкспоненциалом); в то время как настоящийможно построить с помощью суперфакториала .
Расширения
Формула повторения предыдущей преамбулы может быть записана как
Вместо последнего уравнения можно было бы написать тождественную функцию,
и расширить диапазон определения суперфункции S до целых неотрицательных чисел. Тогда можно постулировать
и расширить диапазон допустимости до целочисленных значений больше -2.
Следующее расширение, например,
нетривиально, потому что обратная функция может быть не определена для некоторых значений . В частности, тетрацию можно интерпретировать как сверхфункцию экспоненты для некоторой реальной базы; в таком случае,
Тогда при x = 1
но
не определен.
Для расширения до нецелочисленных значений аргумента суперфункция должна быть определена другим способом.
Для комплексных чисел а также , так что принадлежит некоторому подключенному домену , суперфункция (из к ) голоморфной функции f в области это функция , голоморфный в области, так что
Уникальность
В общем, суперфункция не уникальна. Для данной базовой функции, из заданного суперфункция , Другой суперфункция может быть построен как
где - любая 1-периодическая функция, голоморфная хотя бы в некоторой окрестности действительной оси, такая, что .
Модифицированная суперфункция может иметь более узкий диапазон голоморфности. Разнообразие возможных сверхфункций особенно велико в предельном случае, когда ширина области голоморфности обращается в ноль; в данном случае речь идет о вещественно-аналитических суперфункциях. [4]
Если требуемый диапазон голоморфности достаточно велик, то ожидается, что суперфункция будет уникальной, по крайней мере, в некоторых конкретных базовых функциях. . В частности, сверхфункция , для , называется тетрацией и считается уникальной, по крайней мере, для; для случая, [5], но до 2009 г. единственность была скорее гипотезой, чем теоремой с формальным математическим доказательством.
Примеры
Этот короткий набор элементарных суперфункций проиллюстрирован в [6]. Некоторые суперфункции могут быть выражены через элементарные функции; они используются без упоминания о том, что они являются суперфункциями. Например, для передаточной функции «++», что означает приращение на единицу, суперфункция представляет собой просто добавление константы.
Добавление
Выберите комплексное число и определим функцию в виде . Далее определим функцию в виде .
Тогда функция является суперфункцией (от 0 до c ) функциина C .
Умножение
Возведение в степень - суперфункция (от 1 до ) функции .
Квадратичные многочлены
Примеры, за исключением последнего, ниже, по существу, взяты из новаторской статьи Шредера 1870 года. [3]
Позволять . Потом,
это суперфункция (итерационная орбита) функции f .
Действительно,
а также
В этом случае суперфункция периодический, с периодом ; а сверхфункция приближается к единице в отрицательном направлении действительной оси,
Алгебраическая функция
По аналогии,
имеет итерационную орбиту
Рациональная функция
В общем, передаточная (ступенчатая) функция f (x) не обязательно должна быть целой функцией . Пример с мероморфной функцией f читает,
- ;
Его итерационная орбита (суперфункция) равна
на C , множество комплексных чисел для особенностей функции , кроме S . Чтобы убедиться в этом, вспомните тригонометрическую формулу двойного угла
Возведение в степень
Позволять , , . тетрация тогда сверхфункция .
Функция Абеля
Обратное к суперфункции при подходящем аргументе x можно интерпретировать как функцию Абеля , решение уравнения Абеля ,
и поэтому
Обратная функция, когда она определена, равна
для подходящих доменов и диапазонов, если они существуют. Рекурсивное свойство S тогда самоочевидно.
На рисунке слева показан пример перехода от к . Повторяемая функция против реального аргумента строится для . Tetrational и ArcTetrational были использованы в качестве суперфункции и функция Абеля экспоненты. На рисунке справа эти функции показаны в комплексной плоскости. При неотрицательном целом числе итераций повторяющаяся экспонента представляет собой целую функцию ; при нецелочисленных значениях имеет две точки ветвления , которые соответствуют фиксированной точке а также натурального логарифма. В, функция остается голоморфным хотя бы в полосе вдоль действительной оси.
Приложения суперфункций и функций Абеля
Суперфункции, обычно суперэкспоненты , предлагаются как быстрорастущие функции для обновления представления чисел с плавающей запятой в компьютерах. Такой апгрейд значительно расширил бы диапазон огромных чисел, которые все еще отличимы от бесконечности.
Другие приложения включают вычисление дробных итераций (или дробных степеней) функции. Любая голоморфная функция может быть отождествлена с передаточной функцией , а затем могут быть рассмотрены ее суперфункции и соответствующие функции Абеля.
- Нелинейная оптика
При исследовании нелинейного отклика оптических материалов образец должен быть оптически тонким, таким образом, чтобы интенсивность света не сильно менялась при прохождении через него. Тогда можно, например, рассмотреть поглощение как функцию интенсивности. Однако при небольшом изменении интенсивности в образце точность измерения поглощения как функции интенсивности невысока. Восстановление суперфункции по передаточной функции позволяет работать с относительно толстыми образцами, повышая точность измерений. В частности, передаточная функция аналогичного образца, который наполовину тоньше, может быть интерпретирована как квадратный корень (т. Е. Полу-итерация) передаточной функции исходного образца.
Аналогичный пример предлагается для нелинейного оптического волокна. [5]
- Нелинейная акустика
Возможно, имеет смысл охарактеризовать нелинейности затухания ударных волн в однородной трубе. Это может найти применение в каком-нибудь усовершенствованном глушителе, использующем нелинейные акустические эффекты для отвода энергии звуковых волн без нарушения потока газа. Опять же, анализ нелинейного отклика, то есть передаточной функции, может быть усилен суперфункцией.
- Испарение и конденсация
При анализе конденсации можно рассматривать рост (или испарение) небольшой капли жидкости, поскольку она диффундирует вниз по трубке с некоторой однородной концентрацией пара. В первом приближении при фиксированной концентрации пара массу капли на выходном конце можно интерпретировать как передаточную функцию входящей массы. Корень квадратный из этой передаточной функции будет характеризовать трубку половинной длины.
- Снежная лавина
Массу снежного кома, катящегося с холма, можно рассматривать как функцию от пройденного им пути. При фиксированной длине этого пути (которая может определяться высотой холма) эту массу также можно рассматривать как передаточную функцию входной массы. Массу снежного кома можно было измерить на вершине холма и внизу, давая передаточную функцию; тогда масса снежного кома в зависимости от пройденной им длины является суперфункцией.
- Оперативный элемент
Если нужно создать рабочий элемент с некоторой заданной передаточной функцией , и хочет реализовать это как последовательное соединение пары идентичных рабочих элементов, то каждый из этих двух элементов должен иметь передаточную функцию . Такую функцию можно оценить через суперфункцию и функцию Абеля передаточной функции.
Рабочий элемент может иметь любое происхождение: он может быть реализован в виде электронного микрочипа, или механической пары криволинейных зерен, или некоторой асимметричной U-образной трубки, заполненной разными жидкостями, и так далее.
Рекомендации
Эта статья включает материалы из статьи Citizendium " Superfunction ", которая находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, но не GFDL .
- ^ Логотип физического факультета МГУ. (На русском); [1] . В.П.Кандидов. О времени и о себе. (В России) [2] . 250-летие МГУ. ПЕРВОМУ УНИВЕРСИТЕТУ СТРАНЫ - 250! [3]
- ^ H.Kneser (1950). "Reelle analytische L¨osungen der Gleichung" und verwandter Funktionalgleichungen ". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 187 : 56–67.
- ^ а б Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Mathematische Annalen . 3 (2): 296–322. DOI : 10.1007 / BF01443992 . S2CID 116998358 .
- ^ П. Уокер (1991). «Бесконечно дифференцируемые обобщенные логарифмические и экспоненциальные функции» . Математика вычислений . 57 (196): 723–733. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1991-1094963-4 . JSTOR 2938713 .
- ^ а б Д.Кузнецов. (2009). "Решения F ( z + 1 ) знак равно exp ( F ( z ) ) {\ Displaystyle F (z + 1) = \ ехр (F (z))} в комплексе z {\ displaystyle z} самолет " . Математика вычислений . 78 : 1647–1670. DOI : 10.1090 / S0025-5718-09-02188-7 .препринт: PDF
- ^ Д.Кузнецов, Х.Траппманн. Суперфункции и квадратный корень из факториала. Вестник МГУ , 2010, т.65, №1, с.6-12. (Препринт ИЛС ОДК, 2009: [4] ).
Внешние ссылки
- Суперфункция - ТОРИ - Мизугадро, исследовательский сайт Дмитрия Кузнецова