Распределение квазивероятностей Вигнера

Функция Вигнера так называемого кошачьего состояния .

Распределение квазивероятностей Вигнера (также называемое функцией Вигнера или распределением Вигнера – Вилля в честь Юджина Вигнера и Жана-Андре Вилля ) является распределением квазивероятностей . Он был введен ^[1] Юджином Вигнером в 1932 году для изучения квантовых поправок к классической статистической механике . Цель состояла в том, чтобы связать волновую функцию, которая появляется в уравнении Шредингера, с распределением вероятностей в фазовом пространстве .

Это производящая функция для всех пространственных автокорреляционных функций данной квантово-механической волновой функции ψ ( x ) . Таким образом, он отображает ^[2] на квантовую матрицу плотности в отображении между действительными функциями фазового пространства и эрмитовыми операторами, введенными Германом Вейлем в 1927 г. ^[3] в контексте, связанном с теорией представлений в математике (ср. Квантование Вейля в физике ). По сути, это преобразование Вигнера – Вейля.матрицы плотности, поэтому реализация этого оператора в фазовом пространстве. Это было позже rederived Жан Ville в 1948 году в виде квадратичной (в сигнале) представлении энергии локального частотно-временного сигнала , ^[4] эффективно спектрограмме .

В 1949 году Хосе Энрике Мойал , который вывел его независимо, признал его как функционал, генерирующий квантовый момент, ^[5] и, таким образом, как основу элегантного кодирования всех значений квантового ожидания и, следовательно, квантовой механики, в фазовом пространстве ( ср. формулировку фазового пространства ). Он применяется в статистической механике , квантовой химии , квантовой оптике , классической оптике и анализе сигналов в различных областях, таких как электротехника , сейсмология , частотно-временной анализ музыкальных сигналов , спектрограммы вбиология и обработка речи, а также конструкция двигателя .

Отношение к классической механике [ править ]

Классическая частица имеет определенное положение и импульс, поэтому она представлена ​​точкой в ​​фазовом пространстве. Учитывая набор ( ансамбль ) частиц, вероятность нахождения частицы в определенной позиции в фазовом пространстве определяется распределением вероятностей, плотностью Лиувилля. Эта строгая интерпретация не подходит для квантовой частицы из-за принципа неопределенности . Вместо этого указанное выше распределение Вигнера квазивероятностей играет аналогичную роль, но не удовлетворяет всем свойствам обычного распределения вероятностей; и, наоборот, удовлетворяет свойствам ограниченности, недоступным для классических распределений.

Например, распределение Вигнера может принимать и обычно принимает отрицательные значения для состояний, не имеющих классической модели, и является удобным индикатором квантово-механической интерференции. (См ниже для характеристики чистых состояний , чьи функции Вигнера неотрицателен.) Сглаживание распределения Вигнера через фильтр с размера больше , чем ħ (например, свертка с фазовым пространством гауссовых, A преобразованием Вейерштрассы , с получением указанного в представлении Husimi ниже) приводит к положительно-полуопределенной функции, т. е. можно подумать, что она была огрублена до полуклассической. ^[а]

Регионы такого отрицательного значения доказуемы (сворачивая их с небольшой Gaussian) , чтобы быть «малыми»: они не могут распространяться на компактные областях больше , чем несколько ħ , и , следовательно , исчезают в классическом пределе . Они экранируется принципом неопределенности , которая не позволяет точное местоположение в фазовом пространстве областей меньше , чем ħ , и , таким образом , делает такие « отрицательные вероятности » менее парадоксальной.

Определение и значение [ править ]

Распределение Вигнера W ( x , p ) чистого состояния определяется как:

где ψ - волновая функция, а x и p - положение и импульс, но это может быть любая пара сопряженных переменных (например, действительная и мнимая части электрического поля или частота и время сигнала). Обратите внимание, что он может иметь поддержку в x даже в регионах, где ψ не имеет поддержки в x ("удары").

Он симметричен по x и p ,

${\ displaystyle W (x, p) = {\ frac {1} {\ pi \ hbar}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi ^ {*} (p + q) \ varphi ( pq) e ^ {- 2ixq / \ hbar} \, dq}$

где φ - нормированная волновая функция импульсного пространства, пропорциональная преобразованию Фурье функции ψ .

В 3D,

${\ displaystyle W ({\ vec {r}}, {\ vec {p}}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int \ psi ^ {*} ({ \ vec {r}} + \ hbar {\ vec {s}} / 2) \ psi ({\ vec {r}} - \ hbar {\ vec {s}} / 2) e ^ {i {\ vec { p}} \ cdot {\ vec {s}}} \, d ^ {3} s.}$

В общем случае, включающем смешанные состояния, это преобразование Вигнера матрицы плотности ,

${\ displaystyle W (x, p) = {\ frac {1} {\ pi \ hbar}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ langle x + y | {\ hat {\ rho}} | xy \ rangle e ^ {- 2ipy / \ hbar} \, dy,}$

где ⟨ х | г | ⟩ = г | (х) . Это преобразование (или отображение) Вигнера является обратным преобразованию Вейля , которое отображает функции фазового пространства в операторы гильбертова пространства при квантовании Вейля .

Таким образом, функция Вигнера является краеугольным камнем квантовой механики в фазовом пространстве .

В 1949 году Хосе Энрике Мойал выяснил, как функция Вигнера обеспечивает меру интегрирования (аналогичную функции плотности вероятности ) в фазовом пространстве, чтобы получить ожидаемые значения из функций c-числа фазового пространства g ( x , p ), однозначно связанных с соответствующим образом упорядоченным операторов Ĝ через преобразование Вейля (см. преобразование Вигнера – Вейля и свойство 7 ниже), что напоминает классическую теорию вероятностей .

В частности, оператор словар ожидаемое значением является «фазовым пространством среднего» из Вигнера преобразования этого оператора,

${\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int \!dx\,dp~W(x,p)~g(x,p)~.}$

Математические свойства [ править ]

1. W ( x ,  p ) - вещественная функция.

2. Распределения вероятностей x и p задаются маргинальными номерами :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .}$ Если систему можно описать чистым состоянием , то получится .${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=|\psi (x)|^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle .}$Если систему можно описать чистым состоянием , то так и есть .${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=|\varphi (p)|^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=Tr({\hat {\rho }}).}$

Обычно след матрицы плотности ρ̂ равен 1.

3. W ( x , p ) имеет следующие симметрии отражения:

• Симметрия времени: ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x)^{*}\Rightarrow W(x,p)\rightarrow W(x,-p).}$
• Симметрия пространства: ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (-x)\Rightarrow W(x,p)\rightarrow W(-x,-p).}$

4. W ( x , p ) ковариантно по Галилею:

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x+y)\Rightarrow W(x,p)\rightarrow W(x+y,p).}$

Это не ковариантность Лоренца .

5. Уравнение движения для каждой точки фазового пространства является классическим при отсутствии сил:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial W(x,p)}{\partial x}}.}$

Фактически, это классический стиль даже при наличии гармонических сил.

6. Перекрытие состояний рассчитывается как:

${\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W_{\psi }(x,p)W_{\theta }(x,p).}$

7. Ожидаемые значения оператора (средние) вычисляются как средние по фазовому пространству соответствующих преобразований Вигнера:

${\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\left\langle x-{\frac {y}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {y}{2}}\right\rangle e^{ipy/\hbar },}$

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =Tr({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)g(x,p).}$

8. Чтобы W ( x , p ) представляли физические (положительные) матрицы плотности:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)W_{\theta }(x,p)\geq 0~,}$

для всех чистых состояний | θ〉.

9. В силу неравенства Коши – Шварца для чистого состояния оно ограничено:

${\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq W(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.}$

Эта оценка исчезает в классическом пределе, H → 0. В этом пределе, W ( х , р ) сводится к плотности вероятности в координатном пространстве х , обычно сильно локализованной, умноженной на б-функций в импульсном: классический предел «остроконечный ". Таким образом, эта квантово-механическая граница исключает функцию Вигнера, которая является идеально локализованной дельта-функцией в фазовом пространстве, как отражение принципа неопределенности. ^[6]

Преобразование 10. Вигнера это просто преобразование Фурье из antidiagonals матрицы плотности, когда эта матрица выражается в положении основе. ^[7]

Примеры [ править ]

Пусть будет -й Фок состояние из гармонического осциллятора квантового . Groenewold (1946) обнаружил, что ассоциированная с ней функция Вигнера в безразмерных переменных есть${\displaystyle |m\rangle \equiv {\frac {a^{\dagger m}}{\sqrt {m!}}}|0\rangle }$${\displaystyle m}$

$${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi }}e^{-(x^{2}+p^{2})}L_{m}(2(p^{2}+x^{2})),}$$

${\displaystyle L_{m}(x)}$

${\displaystyle m}$

Это может следовать из выражения для статических волновых функций собственного состояния , где - -й полином Эрмита . Из приведенного выше определения функции Вигнера после замены переменных интегрирования ${\displaystyle u_{m}(x)=\pi ^{-1/4}H_{m}(x)e^{-x^{2}/2}}$${\displaystyle H_{m}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi ^{3/2}2^{m}m!}}e^{-x^{2}-p^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }d\zeta e^{-\zeta ^{2}}H_{m}(\zeta -ip+x)H_{m}(\zeta -ip-x).}$

Тогда выражение следует из интегральной связи между полиномами Эрмита и Лагерра. ^[8]

Уравнение эволюции для функции Вигнера [ править ]

Преобразование Вигнера является общим обратимое преобразование из оператора G на гильбертовом пространстве к функции г (х, р) на фазовом пространстве , и задается

${\displaystyle g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds~e^{ips/\hbar }\left.\left\langle x-{\frac {s}{2}}\right.\right|\ {\hat {G}}\ \left.\left|x+{\frac {s}{2}}\right.\right\rangle .}$

Эрмитовы операторы отображаются в вещественные функции. Обратное к этому преобразованию, то есть из фазового пространства в гильбертово пространство, называется преобразованием Вейля ,

${\displaystyle \langle x|\ {\hat {G}}\ |y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{dp \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({x+y \over 2},p\right),}$

(не путать с отдельным преобразованием Вейля в дифференциальной геометрии ).

Функция Вигнера W ( х, р ) , обсуждаемый здесь, таким образом , видно, что преобразование Вигнера матрицы плотности оператора р . Таким образом, след оператора с матрицей плотности Вигнера превращается в эквивалентное перекрытие интеграла фазового пространства g ( x ,  p ) с функцией Вигнера.

Преобразование Вигнера эволюционного уравнения фон Неймана для матрицы плотности в картине Шредингера имеет вид

Уравнение эволюции Мойала для функции Вигнера,

${\displaystyle {\partial W(x,p,t) \over \partial t}=-\{\{W(x,p,t)~,~H(x,p)\}\}~,}$

где H (x, p) гамильтонова, а {{•, •}} скобка Мойала . В классическом пределе ħ → 0 скобка Мойала сводится к скобке Пуассона, а это эволюционное уравнение сводится к уравнению Лиувилля классической статистической механики.

Строго формально, с точки зрения квантовых характеристик , решение этого эволюционного уравнения имеет вид,, где и являются решениями так называемых квантовых уравнений Гамильтона , с учетом начальных условий и , и где - состав продукта понимается для всех функций аргумента.${\displaystyle W(x,p,t)=W(\star (x_{-t}(x,p),p_{-t}(x,p)),0)}$${\displaystyle x_{t}(x,p)}$${\displaystyle p_{t}(x,p)}$${\displaystyle x_{t=0}(x,p)=x}$${\displaystyle p_{t=0}(x,p)=p}$ ⋆ {\displaystyle \star }

Однако, поскольку -композиция полностью нелокальна («квантовая вероятностная жидкость» диффундирует, как наблюдал Мойал), остатки локальных траекторий обычно едва различимы в эволюции функции распределения Вигнера. ^[b] В интегральном представлении ★ -продуктов их последовательные операции были адаптированы к интегралу по путям в фазовом пространстве, чтобы решить это уравнение эволюции для функции Вигнера ^[9] (см. также ^{[10] [11] [ 12]} ). Эта нетраекторная особенность временной эволюции Мойала ^[13] проиллюстрирована в галерее ниже для гамильтонианов, более сложных, чем гармонический осциллятор.${\displaystyle \star }$

Временная эволюция гармонического осциллятора [ править ]

В частном случае квантового гармонического осциллятора , однако, эволюция проста и кажется идентичной классическому движению: жесткое вращение в фазовом пространстве с частотой, задаваемой частотой осциллятора. Это показано в галерее ниже. В то же время эволюция происходит с квантовыми состояниями световых мод , которые являются гармоническими осцилляторами.

Классический предел [ править ]

Функция Вигнера позволяет исследовать классический предел , предлагая сравнение классической и квантовой динамики в фазовом пространстве. ^{[15] [16]}

Было высказано предположение, что подход функции Вигнера можно рассматривать как квантовую аналогию операторной формулировки классической механики, введенной в 1932 году Бернардом Купманом и Джоном фон Нейманом : временная эволюция функции Вигнера приближается в пределе ħ → 0, временная эволюция волновой функции Купмана – фон Неймана классической частицы. ^[17]

Положительность функции Вигнера [ править ]

Как уже отмечалось, функция квантового состояния Вигнера обычно принимает некоторые отрицательные значения. Действительно, для чистого состояния с одной переменной, если для всех и , то волновая функция должна иметь вид${\displaystyle W(x,p)\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \psi (x)=e^{-ax^{2}+bx+c}}$

для некоторых комплексных чисел с (теорема Хадсона ^[18] ). Обратите внимание, что разрешено быть сложным, так что это не обязательно гауссовский волновой пакет в обычном смысле. Таким образом, чистые состояния с неотрицательными функциями Вигнера не обязательно являются состояниями минимальной неопределенности в смысле формулы неопределенности Гейзенберга ; скорее, они дают равенство в формуле неопределенности Шредингера , которая включает член антикоммутатора в дополнение к члену коммутатора. (При тщательном определении соответствующих дисперсий все функции Вигнера в чистом состоянии все равно приводят к неравенству Гейзенберга.)${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \mathrm {Re} (a)>0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \psi }$

В более высоких измерениях характеристика чистых состояний с неотрицательными функциями Вигнера аналогична; волновая функция должна иметь вид

${\displaystyle \psi (x)=e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c}}$

где - симметричная комплексная матрица, действительная часть которой положительно определена, - комплексный вектор, а c - комплексное число. ^[19] Функция Вигнера любого такого состояния является гауссовым распределением на фазовом пространстве.${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$

В цитируемой статье Сото и Клавери дается элегантное доказательство этой характеризации с использованием преобразования Сигала – Баргмана . Аргументация следующая. Функция Husimi Вопрос о может быть вычислена как квадрат величины Segal-Баргмана преобразование , умножается на гауссовой. Между тем, функция Хусими Q представляет собой свертку функции Вигнера с гауссовой. Если функция Вигнера неотрицательна всюду на фазовом пространстве, то функция Хусими Q будет строго положительной всюду на фазовом пространстве. Таким образом, Сегал-Bargmann преобразование из не будет нигде нулю. Таким образом, по стандартному результату комплексного анализа имеем${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle F(x+ip)}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle F(x+ip)=e^{g(x+ip)}}$

для некоторой голоморфной функции . Но для того, чтобы принадлежать пространству Сигала – Баргмана, то есть быть интегрируемым с квадратом по гауссовской мере, он должен иметь не более чем квадратичный рост на бесконечности. Исходя из этого, можно использовать элементарный комплексный анализ, чтобы показать, что на самом деле многочлен должен быть квадратичным. Таким образом, мы получаем явный вид преобразования Сигала – Баргмана для любого чистого состояния, функция Вигнера которого неотрицательна. Затем мы можем инвертировать преобразование Сегала – Баргмана, чтобы получить заявленную форму волновой функции положения.${\displaystyle g}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

По-видимому, не существует простой характеристики смешанных состояний с помощью неотрицательных функций Вигнера.

Функция Вигнера по отношению к другим интерпретациям квантовой механики [ править ]

Было показано , что функция распределения Вигнера квазивероятность можно рассматривать как ħ - деформацию другой функции распределения фазового пространства , которое описывает ансамбль де Бройля-Бома причинных траекторий. ^[20] Бэзил Хили показал, что квазивероятностное распределение можно понимать как матрицу плотности, повторно выраженную через среднее положение и импульс «ячейки» в фазовом пространстве, а интерпретация де Бройля-Бома позволяет описать динамику центров таких «ячеек». ^{[21] [22]}

Существует тесная связь между описанием квантовых состояний в терминах функции Вигнера и методом реконструкции квантовых состояний в терминах взаимно несмещенных базисов . ^[23]

Использование функции Вигнера вне квантовой механики [ править ]

• При моделировании оптических систем, таких как телескопы или оптоволоконные телекоммуникационные устройства, функция Вигнера используется для преодоления разрыва между простой трассировкой лучей и полным волновым анализом системы. Здесь p / ħ заменяется на k = | k | sin  θ ≈ | k | θ в малоугловом (параксиальном) приближении. В этом контексте функция Вигнера является наиболее близкой к описанию системы в терминах лучей в позиции x и под углом θ, но при этом учитывает эффекты интерференции. ^[24] Если в какой-то момент он станет отрицательным, то простой трассировки лучей будет недостаточно для моделирования системы. То есть, отрицательные значения этой функции являются симптомом предела Габора классического светового сигнала и не квантовых особенности света , связанным с ħ .
• При анализе сигналов изменяющийся во времени электрический сигнал, механическая вибрация или звуковая волна представлены функцией Вигнера . Здесь x заменяется временем, а p / ħ заменяется угловой частотой ω = 2π f , где f - регулярная частота.
• В сверхбыстрой оптике короткие лазерные импульсы характеризуются функцией Вигнера с использованием тех же замен f и t, что и выше. Дефекты импульса, такие как щебетание (изменение частоты со временем), могут быть визуализированы с помощью функции Вигнера. См. Рисунок рядом.
• В квантовой оптике x и p / заменяются квадратурами X и P , действительной и мнимой составляющими электрического поля (см. Когерентное состояние ).

Измерения функции Вигнера [ править ]

• Квантовая томография
• Оптическое стробирование с частотным разрешением

Другие связанные распределения квазивероятностей [ править ]

Распределение Вигнера было первым квазивероятным распределением, которое было сформулировано, но за ним последовали многие другие, формально эквивалентные и преобразовываемые в него и из него (а именно, преобразование между распределениями в частотно-временном анализе ). Как и в случае систем координат, из-за различных свойств некоторые из них имеют различные преимущества для конкретных приложений:

• Представление Глаубера П.
• Представление Хусими Q

Тем не менее, в некотором смысле распределение Вигнера занимает привилегированное положение среди всех этих распределений, поскольку это единственное, у которого необходимый звездный продукт выпадает (интегрируется по частям до эффективной единицы) при оценке значений математического ожидания, как показано выше, и поэтому может быть визуализирована как мера квазивероятностей, аналогичная классическим.

Историческая справка [ править ]

Как указано, формула функции Вигнера независимо выводилась несколько раз в разных контекстах. На самом деле, по- видимому, Вигнер не знал , что даже в контексте квантовой теории, она была введена ранее Гейзенберг и Дирак , ^[25] , хотя чисто формально: эти два пропустили свое значение, и что его отрицательные значения, так как они просто рассматривал его как приближение к полному квантовому описанию такой системы, как атом. (Между прочим, Дирак позже стал зятем Вигнера, женившись на его сестре Манси .) Симметрично, в большей части его легендарной 18-месячной переписки с Мойаломв середине 1940-х годов Дирак не знал, что производящая функция Мойала по сути является функцией Вигнера, и именно Мойал наконец обратил на это его внимание. ^[26]

См. Также [ править ]

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• М. Леванда и В. Флёров, "Функция квазираспределения Вигнера для заряженных частиц в классических электромагнитных полях", Annals of Physics , 292 , 199–231 (2001). arXiv : cond-mat / 0105137

Внешние ссылки [ править ]

• wigner Реализация функции Вигнера в QuTiP.
• Галерея квантовой оптики
• Sonogram Visible Speech GPL Бесплатная лицензионная программа для распределения квазивероятностей Вигнера сигнальных файлов.