В теоретической физике Юджин Вигнер и Эрдал Иненю обсуждали [1] возможность получить из данной группы Ли другую (неизоморфную) группу Ли путем группового сжатия по отношению к ее непрерывной подгруппе. Это равносильно ограничивающей операции над параметром алгебры Ли , изменяющей структурные константы этой алгебры Ли нетривиальным сингулярным образом при подходящих обстоятельствах. [2] [3]
Например, алгебра Ли из группы вращений 3D SO (3) , [ Х 1 , Х 2 ] = Х 3 и т.д., можно переписать с помощью замены переменных Y 1 = ех 1 , Y 2 = ех 2 , Y 3 = X 3 , поскольку
- [ Y 1 , Y 2 ] = ε 2 Y 3 , [ Y 2 , Y 3 ] = Y 1 , [ Y 3 , Y 1 ] = Y 2 .
Предел сжатия & epsi ; → 0 тривиализирует первый коммутатор и тем самым дает неизоморфна алгебре плоской евклидовой группы , E 2 \ ISO (2) . (Это изоморфно цилиндрической группе, описывающей движения точки на поверхности цилиндра. Это небольшая группа или стабилизирующая подгруппа нулевых четырехвекторов в пространстве Минковского .) В частности, генераторы трансляций Y 1 , Y 2 , теперь порождают абелеву нормальную подгруппу в E 2 (см. Расширение группы ), параболические преобразования Лоренца .
Подобные ограничения, широко применяемые в физике (см. Принципы соответствия ), договор
- группа де Ситтера SO (4, 1) ~ Sp (2, 2) в группу Пуанкаре ISO (3, 1) , когда радиус де Ситтера расходится: R → ∞ ; или же
- группа Пуанкаре к группе Галилей , как скорость света расходится: гр → ∞ ; [4] или
- Moyal скобка алгебра Ли (эквивалент квантовых коммутаторами) в скобку Пуассона алгебры Ли, в классическом пределе , как постоянная Планка равна нулю: ħ → 0 .
Заметки
- ^ Инёню и Вигнер 1953
- Перейти ↑ Segal 1951 , p. 221
- ^ Saletan 1961 , стр. 1
- ^ Гилмор 2006
Рекомендации
- Дули, AH; Райс, JW (1985). «О сжатиях полупростых групп Ли» (PDF) . Труды Американского математического общества . 289 (1): 185–202. DOI : 10.2307 / 1999695 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1999 695 . Руководство по ремонту 0779059 .
- Гилмор, Роберт (2006). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Дуврские книги по математике. Dover Publications . ISBN 0486445291. Руководство по ремонту 1275599 .
- Inönü, E .; Вигнер, EP (1953). «О сжатии групп и их представлений» . Proc. Natl. Акад. Sci . 39 (6): 510–24. Полномочный код : 1953PNAS ... 39..510I . DOI : 10.1073 / pnas.39.6.510 . PMC 1063815 . PMID 16589298 .
- Салетан, EJ (1961). «Сжатие групп Ли». Журнал математической физики . 2 (1): 1-21. Bibcode : 1961JMP ..... 2 .... 1S . DOI : 10.1063 / 1.1724208 .
- Сигал, IE (1951). «Класс операторных алгебр, определяемых группами». Математический журнал герцога . 18 : 221. DOI : 10.1215 / S0012-7094-51-01817-0 .