Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . ( Март 2016 г. ) |
В математике , в частности , в исчислении , А стационарная точка из дифференцируемой функции одной переменной является точка на графике функции , где функция по производной равна нулю. [1] [2] [3] Неформально, это точка, в которой функция «перестает» увеличиваться или уменьшаться (отсюда и название).
Для дифференцируемой функции нескольких действительных переменных точка покоя - это точка на поверхности графика, где все ее частные производные равны нулю (эквивалентно, градиент равен нулю).
Стационарные точки легко визуализировать на графике функции одной переменной: они соответствуют точкам на графике , где касательная горизонтальна (т.е. параллельно к х Оу ). Для функции двух переменных они соответствуют точкам на графике, где касательная плоскость параллельна плоскости xy .
Точка поворота - это точка, в которой производная меняет знак. [2] Точка поворота может быть либо относительным максимумом, либо относительным минимумом (также известным как локальный минимум и максимум). Если функция дифференцируема, то точка поворота - это стационарная точка; однако не все стационарные точки являются поворотными. Если функция дважды дифференцируема, стационарные точки, не являющиеся точками поворота, являются точками горизонтального перегиба . Например, функция имеет точку покоя при x = 0 , которая также является точкой перегиба, но не точкой поворота. [3]
Изолированные стационарные точки вещественнозначной функции классифицируются по первому критерию производной на четыре типа :
Первые два варианта известны как « локальные экстремумы ». Точно так же точка, которая является либо глобальным (или абсолютным) максимумом, либо глобальным (или абсолютным) минимумом, называется глобальным (или абсолютным) экстремумом. Последние два варианта - стационарные точки, не являющиеся локальным экстремумом - известны как седловые точки .
По теореме Ферма глобальные экстремумы должны возникать (для функции) на границе или в стационарных точках.
Определение положения и характера стационарных точек помогает при построении кривых дифференцируемых функций. Решение уравнения f ' ( x ) = 0 возвращает координаты x всех стационарных точек; то у -координаты тривиальна значение функции у тех х -координат. В некоторых случаях специфику стационарной точки в x можно определить, исследуя вторую производную f '' ( x ):
Более простой способ определить характер стационарной точки - изучить значения функции между стационарными точками (если функция определена и непрерывна между ними).
Простым примером точки перегиба является функция f ( x ) = x 3 . Наблюдается явное изменение вогнутости около точки x = 0, и мы можем доказать это с помощью математического анализа . Вторая производная от f - это всюду непрерывную 6 x , а при x = 0 f ′ ′ = 0, и знак вокруг этой точки меняется. Итак, x = 0 - точка перегиба.
В более общем смысле, стационарные точки вещественнозначной функции - это те точки x 0, где производная в каждом направлении равна нулю, или, что эквивалентно, градиент равен нулю.
Для функции f ( x ) = x 4 имеем f ' (0) = 0 и f' ' (0) = 0. Даже если f' ' (0) = 0, эта точка не является точкой перегиба. Причина в том, что знак f ' ( x ) меняется с отрицательного на положительный.
Для функции f ( x ) = sin ( x ) имеем f ' (0) ≠ 0 и f' ' (0) = 0. Но это не стационарная точка, а точка перегиба. Это потому, что вогнутость меняется с вогнутой вниз на вогнутую вверх, а знак f ' ( x ) не меняется; он остается положительным.
Для функции f ( x ) = x 3 имеем f ' (0) = 0 и f' ' (0) = 0. Это как стационарная точка, так и точка перегиба. Это потому, что вогнутость меняется с вогнутой вниз на вогнутую вверх, а знак f ' ( x ) не меняется; он остается положительным.