В физике , то полюс Ландау (или Московский ноль , или призрак Ландау ) [1] является импульс (или энергия) масштаб , при котором константа связи (прочность взаимодействия) из квантовой теории поля становится бесконечной. На такую возможность указали физик Лев Ландау и его коллеги. [2] Тот факт, что связи зависят от масштаба импульса (или длины), является центральной идеей ренормализационной группы .
Полюса Ландау появляются в теориях, которые не являются асимптотически свободными , такими как квантовая электродинамика (КЭД) или теория φ 4 - скалярного поля с взаимодействием четвертой степени - таких, которые могут описывать бозон Хиггса . В этих теориях ренормированная константа связи растет с энергией. Полюс Ландау появляется, когда связь становится бесконечной при конечном масштабе энергии. В теории, претендующей на полноту, это можно рассматривать как математическое несоответствие. Возможное решение состоит в том, что перенормированный заряд может упасть до нуля при удалении отсечки, что означает, что заряд полностью экранирован квантовыми флуктуациями ( поляризация вакуума ). Это случай квантовой тривиальности , [3] , который означает , что квантовые поправки полностью подавить взаимодействия в отсутствии отсечки.
Поскольку полюс Ландау обычно идентифицируется посредством пертурбативных однопетлевых или двухпетлевых вычислений, возможно, что этот полюс является просто признаком того, что пертурбативное приближение не работает при сильной связи. Теория возмущений также может быть неверной, если существуют неадиабатические состояния . Решеточная калибровочная теория предоставляет средства для решения вопросов квантовой теории поля, выходящих за рамки теории возмущений, и поэтому была использована для попытки решить этот вопрос.
Численные расчеты, выполненные в этой структуре, по-видимому, подтверждают вывод Ландау о том, что заряд КЭД полностью экранирован для бесконечного обрезания. [4] [5] [6] [7]
Краткая история
По словам Ландау, Абрикосова и Халатниковым , [8] отношение наблюдаемого заряда г набл к «голому» заряду г 0 для нормируемых теорий поля при Л » т задаются
где m - масса частицы, а Λ - ограничение по импульсу. Если g 0 <∞ и Λ → ∞, то g obs → 0 и теория выглядит тривиальной. Фактически, инвертирование уравнения 1 так, чтобы g 0 (связанное с масштабом длины Λ −1 ) показало точное значение g obs ,
По мере роста Λ затравочный заряд g 0 = g (Λ) увеличивается, окончательно расходясь в точке перенормировки
Эта особенность является полюс Ландау с отрицательным остатком , г (Λ) ≈ -Λ Ландау / ( β 2 (Λ - Λ Ландау )) .
На самом деле, однако, рост g 0 делает недействительными уравнения 1,2 в области g 0 ≈ 1 , поскольку они были получены для g 0 ≪ 1 , так что непертурбативное существование полюса Ландау становится сомнительным.
Фактическое поведение заряда g ( μ ) в зависимости от масштаба импульса μ определяется уравнением Гелл-Манна - Лоу [9]
что дает уравнения 1,2, если его проинтегрировать при условиях g ( μ ) = g obs для μ = m и g ( μ ) = g 0 для μ = Λ , когда в правой части сохраняется только член с β 2 боковая сторона. Общее поведение g ( μ ) зависит от появления функции β ( g ) .
По классификации Боголюбова и Ширкова [10] можно выделить три качественно разных случая:
- (а) если β ( g ) имеет нуль при конечном значении g ∗ , то рост g насыщен, т. е. g ( μ ) → g ∗ при μ → ∞ ;
- (b) если β ( g ) не чередуется и ведет себя как β ( g ) ∝ g α с α ≤ 1 для больших g , то рост g ( μ ) продолжается до бесконечности;
- (c) если β ( g ) ∝ g α с α > 1 для больших g , то g ( μ ) расходится при конечном значении μ 0 и возникает действительный полюс Ландау: теория внутренне несовместима из-за неопределенности g ( μ ) при μ > μ 0 .
Ландау и Померанчук [11] пытались обосновать возможность (c) в случае КЭД и теории φ 4 . Они отметили, что рост g 0 в уравнении 1 приводит наблюдаемый заряд g obs к постоянному пределу, который не зависит от g 0 . Такое же поведение может быть получено из функциональных интегралов, опуская квадратичные члены в действии. Если пренебрежение квадратичными членами справедливо уже для g 0 ≪ 1 , это тем более справедливо для g 0 порядка или больше единицы: это дает основание считать уравнение 1 справедливым для произвольного g 0 . Справедливость этих соображений на количественном уровне исключается из-за неквадратичной формы β- функции. [ необходима цитата ]
Тем не менее качественно их можно исправить. Действительно, результат g obs = const ( g 0 ) может быть получен из функциональных интегралов только для g 0 1 , в то время как его справедливость для g 0 1 , основанная на уравнении 1, может быть связана с другими причинами; при g 0 ≈ 1 этот результат, вероятно, нарушается, но совпадение двух постоянных значений по порядку величины можно ожидать из условия согласования. В Монте - Карло результаты [12] , кажется, подтверждает качественную справедливость аргументов Ландау-Померанчука, хотя иная интерпретация также возможна.
Случай (c) в классификации Боголюбова и Ширкова соответствует квантовой тривиальности в полной теории (вне контекста возмущений), что можно увидеть с помощью сокращения до абсурда . Действительно, если g obs <∞ , теория внутренне противоречива. Единственный способ избежать этого - при μ 0 → ∞ , что возможно только при g obs → 0 . Это широко распространенное мнение [ кем? ], что и КЭД, и теория φ 4 тривиальны в континуальном пределе.
Феноменологические аспекты
В теории, предназначенной для представления физического взаимодействия, где известно, что константа связи отлична от нуля, полюсы Ландау или тривиальность могут рассматриваться как признак неполноты теории . Например, КЭД обычно не считается законченной теорией сама по себе, потому что она не описывает другие фундаментальные взаимодействия и содержит полюс Ландау. Обычно КЭД является частью более фундаментальной электрослабой теории . Группа U (1) Y электрослабой теории также имеет полюс Ландау, который обычно рассматривается [ кем? ], чтобы быть сигналом о необходимости окончательного включения в Теорию Великого Объединения . Масштаб большого объединения обеспечил бы естественное отсечение значительно ниже шкалы Ландау, не давая полюсу иметь наблюдаемые физические последствия.
Проблема полюса Ландау в КЭД представляет чисто академический интерес по следующей причине. Роль g obs в уравнениях. 1, 2 играет постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137, а масштаб Ландау для КЭД оценивается как 10 286 эВ, что далеко за пределами любой шкалы энергий, относящейся к наблюдаемой физике. Для сравнения: максимальные энергии, доступные на Большом адронном коллайдере, составляют порядка 10 13 эВ, в то время как масштаб Планка , при котором квантовая гравитация становится важной и актуальность самой квантовой теории поля может быть поставлена под сомнение, составляет 10 28 эВ.
Хиггс в стандартной модели в физике элементарных частиц описываются ф 4 теории (см Quartic взаимодействия ). Если последний имеет полюс Ландау, то этот факт используется для установления «границы тривиальности» массы Хиггса. Граница зависит от масштаба, в котором, как предполагается, вступает новая физика, и максимального допустимого значения четвертичной связи (ее физическое значение неизвестно). Для больших муфт требуются непертурбативные методы. В этом контексте также были полезны расчеты решетки. [13]
Связь со статистической физикой
Более глубокое понимание физического смысла и обобщения процесса перенормировки, приводящего к полюсам Ландау, приходит из физики конденсированного состояния. В статье Лео Каданова 1966 г. была предложена ренормализационная группа «блочного спина». [14] блокировании идея является способ определения компонентов теории на больших расстояниях , как агрегаты компонентов на более коротких расстояниях. Этот подход был разработан Кеннетом Уилсоном . [15] Он был удостоен Нобелевской премии за этот решающий вклад в 1982 году.
Предположим, что у нас есть теория, описываемая некоторой функцией переменных состояния и набор констант связи . Эта функция может быть статистической суммой , действием или гамильтонианом . Рассмотрим некое блокирующее преобразование переменных состояния, количество должно быть меньше количества . Теперь попробуем переписатьфункционировать только с точки зрения. Если это достигается определенным изменением параметров,, то теория называется перенормируемой . Самая важная информация в потоке RG - это его фиксированные точки . Возможные макроскопические состояния системы в большом масштабе задаются этим набором неподвижных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовую тривиальность и обладает полюсом Ландау. Многочисленные неподвижные точки появляются при изучении решеточных теорий Хиггса , но неизвестно, соответствуют ли они теориям свободного поля. [3]
Пертурбативные вычисления большого порядка
Решение задачи о полюсе Ландау требует вычисления функции Гелл-Манна – Лоу β ( g ) при произвольном g и, в частности, ее асимптотики при g → ∞ . Диаграммные расчеты позволяют получить лишь несколько коэффициентов разложения β 2 , β 3 , ... , что не позволяет исследовать β- функцию в целом. Прогресс стал возможен после разработки метода Липатова для вычисления больших порядков теории возмущений: [16] Теперь можно попытаться интерполировать известные коэффициенты β 2 , β 3 , ... с их поведением большого порядка, а затем суммировать ряд возмущений.
Первые попытки восстановления β- функции этим методом упираются в тривиальность теории φ 4 . Применение более совершенных методов суммирования дало показатель степени α в асимптотическом поведении β ( g ) ∝ g α , значение, близкое к единице. Гипотеза об асимптотическом поведении β ( g ) recently g была недавно представлена аналитически для теории φ 4 и КЭД. [17] [18] [19] Вместе с положительностью β ( g ) , полученной суммированием ряда, это предполагает случай (b) приведенной выше классификации Боголюбова и Ширкова и, следовательно, отсутствие полюса Ландау в этих теориях. , предполагая, что теория возмущений верна (но см. обсуждение выше во введении).
Смотрите также
- Абсолютно горячий
Рекомендации
- ^ Призрак Ландау - Оксфордский индекс
- ^ Лев Ландау , в Вольфганга Паули , изд. (1955). Нильс Бор и развитие физики . Лондон: Pergamon Press.
- ^ а б DJE Callaway (1988). «Погоня за мелочами: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Отчеты по физике . 167 (5): 241–320. Bibcode : 1988PhR ... 167..241C . DOI : 10.1016 / 0370-1573 (88) 90008-7 .
- ^ Каллавей, DJE; Петронцио, Р. (1986). «МОГУТ ли существовать элементарные скалярные частицы ?: (II). Скалярная электродинамика» . Ядерная физика Б . 277 (1): 50–66. Bibcode : 1986NuPhB.277 ... 50С . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (86) 90431-1 .
- ^ Göckeler, M .; Р. Хорсли; В. Линке; П. Раков; Г. Ширхольц; Х. Штюбен (1998). «Есть ли проблема полюса Ландау в КЭД?». Письма с физическим обзором . 80 (19): 4119–4122. arXiv : hep-th / 9712244 . Bibcode : 1998PhRvL..80.4119G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.80.4119 . S2CID 119494925 .
- ^ Kim, S .; Джон Б. Когут; Ломбардо Мария Паола (31 января 2002). «Калиброванные Намбу – Йона-Лазинио исследования тривиальности квантовой электродинамики». Physical Review D . 65 (5): 054015. arXiv : hep-lat / 0112009 . Bibcode : 2002PhRvD..65e4015K . DOI : 10.1103 / PhysRevD.65.054015 . S2CID 15420646 .
- ^ Гис, Хольгер; Jaeckel, Joerg (9 сентября 2004 г.). «Перенормировка потока КЭД». Письма с физическим обзором . 93 (11): 110405. arXiv : hep-ph / 0405183 . Bibcode : 2004PhRvL..93k0405G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.93.110405 . PMID 15447325 . S2CID 222197 .
- ^ Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов и И. М. Халатников, Докл. Акад. АН СССР 95, 497, 773, 1177 (1954).
- ^ Гелл-Манн, М .; Низкий, FE (1954). «Квантовая электродинамика на малых расстояниях» (PDF) . Физический обзор . 95 (5): 1300–1320. Bibcode : 1954PhRv ... 95.1300G . DOI : 10.1103 / PhysRev.95.1300 .
- ^ Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, 3-е изд. (Наука, М., 1976; Wiley, New York, 1980).
- ^ Л.Д. Ландау, И.Я. Померанчук, Докл. Акад. АН СССР 102, 489 (1955); И.Я. Померанчук, Докл. Акад. АН СССР 103, 1005 (1955).
- ^ Каллавей, DJE; Петронцио, Р. (1984). "Исследование ренормгруппы Монте-Карло теории поля φ4" . Ядерная физика Б . 240 (4): 577. Bibcode : 1984NuPhB.240..577C . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (84) 90246-3 .
- ^ Например, Каллавей, DJE; Петронцио, Р. (1987). "Является ли масса Хиггса стандартной моделью предсказуемой?" . Ядерная физика Б . 292 : 497–526. Bibcode : 1987NuPhB.292..497C . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (87) 90657-2 .Хеллер, Урс; Маркус Кломфасс; Герберт Нойбергер; Паволс Вранас (1993-09-20). «Численный анализ оценки тривиальности массы Хиггса». Ядерная физика Б . 405 (2–3): 555–573. arXiv : hep-ph / 9303215 . Bibcode : 1993NuPhB.405..555H . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (93) 90559-8 . S2CID 7146602 ., что предполагает M H <710 ГэВ .
- ^ LP Kadanoff (1966): "Законы масштабирования для моделей Изинга около", Physics (Лонг-Айленд-Сити, Нью-Йорк) 2 , 263.
- ^ KG Wilson (1975): Ренормализационная группа: критические явления и проблема Кондо, Rev. Mod. Phys. 47 , 4, 773.
- ^ LNLipatov, Zh.Eksp.Teor.Fiz. 72, 411 (1977) [Сов. Физ. ЖЭТФ 45, 216 (1977)].
- ^ Суслов И.М. (2008). «Ренормгрупповые функции теории φ4 в пределе сильной связи: аналитические результаты». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 107 (3): 413–429. arXiv : 1010.4081 . Bibcode : 2008JETP..107..413S . DOI : 10.1134 / S1063776108090094 . S2CID 119205490 .
- ^ Суслов И.М. (2010). «Асимптотика β-функции в теории ϕ4: схема без комплексных параметров». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 111 (3): 450–465. arXiv : 1010,4317 . Bibcode : 2010JETP..111..450S . DOI : 10.1134 / S1063776110090153 . S2CID 118545858 .
- ^ Суслов И.М. (2009). «Точная асимптотика β-функции в квантовой электродинамике». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 108 (6): 980–984. arXiv : 0804.2650 . Bibcode : 2009JETP..108..980S . DOI : 10.1134 / S1063776109060089 . S2CID 7219671 .