В математике простейшая форма закона параллелограмма (также называемая тождеством параллелограмма ) принадлежит элементарной геометрии . В нем говорится, что сумма квадратов длин четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин двух диагоналей. Мы используем следующие обозначения сторон: AB , BC , CD , DA . Но поскольку в евклидовой геометрии параллелограмм обязательно имеет равные противоположные стороны, т. Е. AB = CD и BC = DA , закон можно сформулировать как
Параллелограмм. Стороны показаны синим цветом, а диагонали - красным.
Если параллелограмм представляет собой прямоугольник , две диагонали имеют одинаковую длину AC = BD , поэтому
и утверждение сводится к теореме Пифагора . Для общего четырехугольника с четырьмя сторонами, не обязательно равными,
где x - длина отрезка прямой, соединяющего середины диагоналей. Из диаграммы видно, что x = 0 для параллелограмма, и поэтому общая формула упрощается до закона параллелограмма.
ДоказательствоПусть в параллелограмме справа AD = BC = a , AB = DC = b , ∠BAD = α . Используя закон косинусов в треугольнике △ BAD, получаем:
В параллелограмме соседние углы являются дополнительными , поэтому ∠ADC = 180 ° - α . Используя закон косинусов в треугольнике △ ADC, получаем:
Применяя тригонометрическое тождество к предыдущему результату получаем:
Теперь сумма квадратов можно выразить как:
После упрощения этого выражения получаем:
Закон параллелограмма во внутренних пространствах продуктаВекторы, участвующие в законе параллелограмма.
В нормированном пространстве формулировка закона параллелограмма представляет собой уравнение, связывающее нормы :
- для всех
Закон параллелограмма эквивалентен, казалось бы, более слабому утверждению:
- для всех
потому что обратное неравенство может быть получено из него, подставив для x идля y , а затем упрощая. При таком же доказательстве закон параллелограмма также эквивалентен:
- для всех
Во внутреннем пространстве продукта норма определяется с помощью внутреннего продукта :
Как следствие этого определения, в пространстве внутреннего продукта закон параллелограмма является алгебраическим тождеством, легко устанавливаемым с использованием свойств внутреннего продукта:
Добавляем эти два выражения:
как требуется.
Если x ортогонален y , то и приведенное выше уравнение для нормы суммы принимает следующий вид:
что является теоремой Пифагора .
Нормированные векторные пространства, удовлетворяющие закону параллелограммаБольшинство вещественных и сложных нормированных векторных пространств не имеют скалярных произведений, но все нормированные векторные пространства имеют нормы (по определению). Например, широко используемая норма является р -норма :
где компоненты вектора .
Имея норму, можно оценить обе стороны приведенного выше закона параллелограмма. Примечателен тот факт, что если выполняется закон параллелограмма, то норма должна возникать обычным образом из некоторого внутреннего продукта. В частности, это верно для p -нормы тогда и только тогда, когда p = 2, так называемая евклидова норма или стандартная норма. [1] [2]
Для любой нормы, удовлетворяющей закону параллелограмма (которая обязательно является нормой внутреннего продукта), внутренний продукт, порождающий норму, является уникальным вследствие тождества поляризации . В реальном случае идентичность поляризации определяется выражением:
или, что эквивалентно
- или же
В сложном случае это определяется как:
Например, используя p -норму с p = 2 и действительными векторами а также , оценка внутреннего продукта происходит следующим образом:
который является стандартным скалярным произведением двух векторов.
Смотрите такжеРекомендацииВнешние ссылки